【正文】 二重積分的概念、性質(zhì)與計(jì)算） 已給二重積分 ??D dxy ?2，其中區(qū)域是單位圓 122 ??yx 在第一象限的部分。判斷如下各累次積分是否正確： （ 1） ??D dxy ?2= ?? ? 21 0 21 0 y dyxydx （ ）；（ 2） ??D dxy ?2=? ?? ? ??????2 21 0 1 0 2y x dxdyxy（ ）； 22 （ 3） ??D dxy ?2= ?? 1 0 21 0 dyxydx （ ）； (4) ??D dxy ?2= ?? ? 21 0 21 0 x dyxydx （ ）； （ 5） ??D dxy ?2= ? ? ???? ??? 1 0 32 0 22 s i nc oss i nc os drrddr drrD?????? ? ( ). 判斷下列更換二重積分的積分次序的式子的對(duì)錯(cuò)： （ 1） ? ? ? ?? ??1 0 1 0 1 0 1 0 2 2 ),(),(x y dxyxfdydyyxfdx ( ) （ 2） ? ? ? ?? ??1 0 2 0 1 0 2 0 2 2 ),(),(xx yy dxyxfdydyyxfdx ( ) 若 D 是以 )0)(,(),3()0,2()0,0( ?aaaCaaBaAO 、 為頂點(diǎn)的平行四邊形，則??D d?1 = 。 比較 ??Dxyde ?和 ???Dyx de ?的大小，其中??? ?? ?? 10 10: yxD。 估計(jì) ?dyxxyID?? ??4 )(的值，其中??? ?? ?? 20 20: yxD。 求 ??Dxyd?，其中 D 由 byyaxx ???? 、 00 所圍成 ? ?0,0 ?? ba . 計(jì)算 ??Dxydxe ?，其中??? ??? ?? 01 10: yxD。 計(jì)算 ?dyyD??sin，其中 D 是由 1?? yxy 、 及 y 軸所圍成的區(qū)域。 計(jì)算 ??D dxy ?2，其中 D 是單位圓在第一象限的部分。 自 測(cè) 題 7 一、填空或選擇 二元函數(shù)2222 1a rc s i n4ln yxyxz ????的定義域是 ； 設(shè) ? ?2),( yxyxxyf ??，則 ),( yxf = ； 交換積分次序： ?? ?x dyyxfdx 1 0 1 0 ),(= ； 當(dāng) D 是（ ）圍成的區(qū)域時(shí)， ?? ?D dxdy 1。 23 軸、 y 軸及 022 ??? yx B. 31,21 ?? yx C. x 軸、 y 軸及 34 ?? yx 、 D. 11 ???? yxyx 、 設(shè) ? ?dx dyyxID?? ??22，其中 D 由 222 ayx ?? 所圍成，則 I=( ) A. 42 0 0 2 ardrad a ??? ?? ? B. 42 0 0 2 21 ardrrda ??? ?? ? C. 32 0 0 2 32 adrrda ??? ?? ? D. 42 0 0 2 2 aadrad a ??? ?? ? 設(shè) ? ? ? ? 23221 , yxzyxzyxz ?????? ，則（ ） A. 1z 與 2z 是相同函數(shù) B. 1z 與 3z 是相同函數(shù) C. 2z 與 3z 是相同函數(shù) 曲線???????44xyzy 在點(diǎn) (2,4,5)處的切線與 x 軸的正向所成的角為 ； 由 10 ??? xyxy 、 所圍成的閉區(qū)域化為不等式組為 。 二、計(jì)算 xyyx esin10lim??； xyxyyx 93lim00 ???? 求 yxz ln? 的偏導(dǎo)數(shù)。 計(jì)算 ? ? ?dyxD?? ?22，其中 D 是閉區(qū)域： ????? xxy 0,s in0 。 第八 部分 無窮級(jí)數(shù) 考核知識(shí)點(diǎn) ：數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念；級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散；級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)；級(jí)數(shù)收斂的必要條件 ：比較判別法；比值判別法 ：絕對(duì)收斂；條件收斂；交錯(cuò)級(jí)數(shù)；萊布尼茨判別法 考核要求 、發(fā)散的概念。知道級(jí)數(shù)收斂 的必要條件，了解級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)。 0nn r???的斂散性。 。會(huì)用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法。 01n n???與 p 級(jí)數(shù)01pn n???的斂散性。 24 。會(huì)使用萊布尼茨判別法。 練習(xí) （數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)） 判斷對(duì)錯(cuò)： 若 0lim ??? nn u， 則級(jí)數(shù) ???1n nu發(fā)散。（ ） 若 0lim ??? nn u，則級(jí)數(shù) ???1n nu收斂；（ ） 收斂級(jí)數(shù)加括號(hào)后所成的新級(jí)數(shù)仍收斂于原級(jí)數(shù)的和。（ ） 發(fā)散級(jí)數(shù)加括號(hào)后所成的新級(jí)數(shù)仍發(fā)散。 （ ） 判 斷 級(jí) 數(shù) 的 斂 散 性 ： 5 、 ? ???? ??1 1n nn； 6 、 ??? ?1 )2(1n nn； 7 、 ??? ?13 1n nn ； ??? ?1 97)1(n nnn ； ???1 21n n； ???????? ???????? ???????? ???????? ? 473523 4131413141314131 練習(xí) （正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法） 判定 ???1 22cosn nn?的斂散性。 判定 ??? ???1 3 35423n nnn 的斂散性。 判定 ??? ?1 2 23n nnn的斂散性。 討論 )0(1)1(1 ????? pnn pn 的斂散性。 試判定 ??? ???1 2 112)1(nn nn 是否收斂？若收斂，試確定是條件收斂還是絕對(duì)收斂。 考核知識(shí)點(diǎn) ：收斂半徑；收斂區(qū)間；收斂域 考核要求 (和、差、逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)積分 )。 、收斂域的方法 (包括端點(diǎn)處的收斂性 )。 1, si n , c o s , ln (1 ) , 1xe x x x x? ?的馬克勞林展開式，將一些簡(jiǎn)單的初等函數(shù)展 開為 x 或 ()oxx? 的冪函數(shù)。 練習(xí) （冪級(jí)數(shù)） 求 ??? ?1 )1(nnnnx的收斂半徑 R 和收斂區(qū)間 (不討論端點(diǎn) )。 25 求 ??? ??1212)1(nnnnx的收斂區(qū)間 (不討論端點(diǎn) )。 求 ??? ??1 3)42(n nnnx的收斂區(qū)間 (不討論端點(diǎn) )。 求 ??? ?0 )1(nnxn 的和函數(shù) )(xS 。 自 測(cè) 題 8 一、填空或選擇 部分和數(shù)列 ??nS 有界是正項(xiàng)級(jí)數(shù) ???1n nu收斂的 條件； 0lim ??? nn u是級(jí)數(shù) ???1n nu收斂的 條件； 若級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) ??? ?1 11n pn收斂，則 p 的取值范圍是 ； 如果級(jí)數(shù) ???1n nu收斂，級(jí)數(shù)：（ 1） ? ???? ?1 100n nu、（ 2) ??? ?1 100n nu、 (3) ???1100n nu、 (4) ???? 1100 n nu 中收斂的級(jí)數(shù)有 ； 級(jí)數(shù) )0()2()1(0 ????? qqnnn收斂，則 q 的取值范圍是 ； 若級(jí)數(shù) ???1n nu收斂于 S ，級(jí)數(shù) ??? ??1 1)(n nn uu則（ ） S2 B. 收斂于 12 uS? C. 收斂于 12 uS? 若級(jí)數(shù) ???12n na和 ???12n nb都收斂，則級(jí)數(shù)nn nba???1( ) )(xf 是以 ?2 為周期的函數(shù)，且 ? ??? ,2)( ???? ? xeexf xx ，則它的傅里葉級(jí)數(shù) ( ) 二、判定下列級(jí)數(shù)的斂散性 ?????1 2)1(1n nn ??? ?1 1lnn nnn ???11n nn ??? ?0 )!1(1n n 26 三、求 ???1 !nnxn 的收斂半徑與收斂區(qū)間（不討論端點(diǎn)）。 第九 部分 常微分方程 考核知識(shí)點(diǎn) ：微分方程的定義；階解；通解；初始條件；特解 考核要求 、解、通解、初始條件和特解等概念。 。 。 練習(xí) （基本概念，可分離變量型微分 方程） 下列微分方程的階為： （ 1） yxdxdy ??2 ； （ 2） sdtdsdt sd 2222 ?? ； （ 3） xyyyyy 2s i n512104)4( ??????????? ； 判斷對(duì)錯(cuò)：（ 1） CtCts ???? 是方程 22 ??dtsd 的通解； ( ) （ 2） tts 2 ??? 不是方程 22 ??dtsd 的特解； ( ) （ 3） xCy 2sin? 是微分方程 0422 ?? ydxyd 的解，但既不是通解，也不是特解。（ ） 計(jì)算： 解微分方程yxy??。 求微分方程 yxy ??cos 滿足條件210??xy的特解。 解微分方程 ? ? 0262 ??? ydxdyxy 練習(xí) （齊次方程，一階線性微分方程） 求方程 dxdyxydxdyxy ?? 22 的通解。 求微分方程 022 ????? yxyyx 滿足條件 11??xy 的特解。 解微分方程 xxexyy s in2co s ??? 。 若曲線上任一點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)處橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)之和，且經(jīng)過點(diǎn)（ 0， 2），求此曲線方程。 27 考核知識(shí)點(diǎn) 1. () ()ny f x? 型方程。 2. ( , )y f x y?? ?? 型方程。 考核要求 () ()ny f x? 型方程。 ( , )y f x y?? ?? 型方程。 練習(xí) （可降階的高階微分方程） 求方程 xy 3cos??? 的通解。 求微分方程 0?????? xyy 的通解。 求方程 ? ? 021 2 ?????? yxyx 滿足初始條件 3)0(0)0( ??? yy 、 的特解。 求方程 ? ? 02 ??????? yyyy 滿足初始條件 2)0(1)0( ???? yy 、 的特解。 考核知識(shí)點(diǎn) 考核要求 。 。 (自由項(xiàng)限定為 ( ) ( ) axnf x p x e? ，其中()npx為 x 的 n 次多項(xiàng)式， a 為實(shí)常數(shù)； ( ) ( c os sin )xf x e A x B x? ????，其中 , , ,AB??為實(shí)常數(shù) )。 練習(xí) （二階常系數(shù)線性微分方程） 設(shè) xexyxy ?????? 2221 33 、 是某二階線性非齊次微分方程的兩個(gè)特解，且相應(yīng)齊次方程的一個(gè)解為 xy ?3 ，則該微分方程的通解為