【正文】 （ 2）有界變量乘無窮小量是無窮小量 典型例題： 例一：當(dāng) 時，下列變量中哪個是無窮大量？哪個是無窮小量？ 例二：求下列極限 定義三：若 α→0 ， β→0 ，即 α 與 β 都是無窮小量 （ 1） 若 ，就說 β 是 α 的高階無窮小，記作 β ＝ o(α) （ 2） 若 ，就說 β 是 α 的同階無窮小，記作 β ＝ O(α) （ 3） 若 ，就說 β 與 α 等價，記作 β ～ α （ 4） 若 ，就說 β 是 α 的低階無窮小。 定義二：若 n→∞ 時，級數(shù) 的前 n項和 的極限若為常數(shù) S，即： 就說級數(shù) 的和是 S，并且說級數(shù) 收斂，或者說級數(shù) 收斂于 S 否則，就說級數(shù) 是發(fā)散的。 典型例題 ：討論下列數(shù)列的斂散性，若收斂，請求出它的極限： 解： ，當(dāng) n 無限變大時，觀察下表： n 1 2 3 4 5 6 7 … 1/2 1/4 1/8 1/16 1/32 1/64 1/128 … 可見 n→∞ 時， 與數(shù) 0無接近，即： 解：數(shù)列 d的第 n項 在（－ 1）與 1之間跳動，故 不與任何常數(shù)接近，故數(shù)列沒有極限，它是發(fā)散的。 ，會求間斷點，知道閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。 ，會求等比級數(shù)的和。 學(xué)員可以看出，分段函數(shù)不是由六類基本初等函數(shù)進行四則運算和復(fù)合運算生成，而是分段生成的函數(shù)，所以 不是初等函數(shù)，在本教程中，也僅僅是分段函數(shù)不是初等函數(shù)。 ② 冪函數(shù) 函數(shù) y=xa叫冪函數(shù) 在冪函數(shù)中，最常見的有下面幾種情形。 典型例題： 例一，指出下列函數(shù)中是否是周期函數(shù)，若是，則寫出其周期 T 例二 例三 三、反函數(shù)的概念及圖形 根據(jù)反函數(shù)的定義，在求反函數(shù)時的步驟如下： 典型例題，求下列函數(shù)的反函數(shù) 解：第一步，解出 x 先移項得 y(x+3)=x2 ∴ yx+3y=x2 再合并含有 x 的項 yxx=23y ② y=ln(1+2x)+3 解：第一步，解出 x 因為 (y3)=ln(1+2x) 根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義 得 第二步 將上式中的 x 與 y 對換得 解： 3y=sin(2x1) 根據(jù)反三角函數(shù)的定義 ∴ arcsin3y=2x1 兩邊同乘 2ex得 2yex=(ex)2+1 ∴ (ex)22yex+1=0 四、復(fù)合函數(shù)，初等函數(shù) (1)復(fù)合函數(shù)的定義 典型例題 例一 寫出由下列函數(shù)復(fù)合而生成的復(fù)合函數(shù)。 ② 在 ，則有 所以在 是增加的，且記區(qū)間 是 的增區(qū)間 （ 2）函數(shù)的奇偶性 偶函數(shù)的圖形恒有關(guān)于 y 軸的對稱點（ x,y）與（ x,y），所以偶函數(shù)的圖形關(guān)于 y軸對稱 奇函數(shù)的圖形恒有關(guān)于原點的對稱點（ x， y）與（ x,y），所以奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點對稱，見下圖。 若只讓 x≥0，則 ，這時它們就相同了。 （ 2） 解： y=x 的定義域是 ，而 的定義域是 。 第 一 章 函數(shù)及其圖形 一、考核內(nèi)容 ，初等函數(shù) 二、基本概念，主要公式，典型例題 （ 1）定義：若變量 x 在某一變域 D 中的任取一值時，變量 y 按某確定的法則有一個惟一確定值與 x 的這個值對應(yīng)，就說變量 y 是變量 x 的函數(shù)，記作 其中 x 叫自變量， y 叫因變量 自變量 x 的取值范圍叫定義域，記作 Df 例如大家在中學(xué)學(xué)過的 叫多項式函數(shù)， 叫以 a 為底的對數(shù)函數(shù)，叫以 a 為底的指數(shù)函數(shù) ， 叫正弦函數(shù)，它們都是函數(shù) （ 2）典型例題 例一，求下列函數(shù)的定義域 （ 1） 解：分式的分母不能為零，所以 . 用區(qū)間表示為 Df： （ 2） 解：偶次根式的被開方數(shù)不能小于 0，所以得 ，方程的根為 x1=2， x2=3， 所以不等式的解只能在 取得，經(jīng)驗算知解為 。 本章總的要求是：理解多元函數(shù)概念和二元函數(shù)的幾何意義；清楚偏導(dǎo)數(shù)和全微分的定義；了解高階偏導(dǎo)數(shù)的定義及混合偏導(dǎo)數(shù)在一定條件下與對變量求導(dǎo)次序的無關(guān)性；掌握復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)的求導(dǎo)法則；理解二元函數(shù)的極值概念并掌握其求法；理解二重 積分的定義及其幾何意義；掌握二重積分的計算方法。 本章重點：不定積分和定積分的概念及其計算，變上限積分求導(dǎo)公式和牛頓－布萊布尼茨公式，定積分的應(yīng)用。 本章重點：拉格朗日中值定理，洛必達法則，函數(shù)單調(diào)性的判定，函數(shù)的極值、最值及其求法和實際應(yīng)用。 知道函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)的含義 ，要求達到 領(lǐng)會 層次 清楚函數(shù)在一點連 續(xù)是函數(shù)在該點可導(dǎo)的必要條件 ，要求達到 綜合應(yīng)用 層次 熟練掌握可導(dǎo)函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則 清楚反函數(shù)的求導(dǎo)法則 準(zhǔn)確理解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則（鏈?zhǔn)椒▌t）并能在計算中熟練運用 對于由多個函數(shù)的積、商、方冪所構(gòu)成的函數(shù)，會用取對數(shù)求導(dǎo)的方法計算其導(dǎo)數(shù)。領(lǐng)會 層次。 本章總的要求是：理解導(dǎo)數(shù)和微分的定義，清楚它們之間的關(guān)系；知道導(dǎo)數(shù)的幾何意義和實際意義；知道平面曲線的切線方程的求法；理解函數(shù)可導(dǎo)與連續(xù)之間的關(guān)系；熟練掌握函數(shù)求導(dǎo)的各種法則，特別是復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則；熟記基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式；會求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)；掌握微分的基本公式和運算法則；理解函數(shù)的邊際函數(shù)和彈性函數(shù)及其意義。 會找函數(shù)的間斷點 ，要求達到 識記 層次。 會判斷兩個無窮小量的階的高低或是否等階。 難點：極限的概念 （三）考核要求 ，要求達到 領(lǐng)會 層次 知道數(shù)列的定義、通項及其在數(shù)軸上的表示 知道單調(diào)數(shù)列和有界數(shù)列，會判別比較簡單的數(shù)列的單調(diào)性和有界性 理解數(shù)列收斂的定義及其幾何意義（不要求 ε N 描述） ，要求達 領(lǐng)會 層次。 第二章 極限和連續(xù) （一）考核的知識點 ，無窮大量 （二）自學(xué)要求 極限理論是微積分學(xué)的基礎(chǔ)，微積分中的基本概念都是運用極限方法闡述的，連續(xù)函數(shù)是應(yīng)用最為廣泛的函數(shù)。 知道什么是基本初等函數(shù)，熟悉其定義域、基本特性和圖形（不含余切、正割、余割及其反函數(shù)的圖形）。 ，要求達到 領(lǐng)會 層次。 ，要求達到 識記 層次。 本章總的要求是：理解一元函數(shù)的定義及函數(shù)與圖形之間的關(guān)系；了解函數(shù)的幾種常用表示方法；理解函數(shù)的幾種基本特性 ；理解函數(shù)的反函數(shù)及它們的圖形之間的關(guān)系；掌握函數(shù)的復(fù)合和分解；熟練掌握基本初等函數(shù)及其圖形的性態(tài)；知道什么是初等函數(shù)；知道幾種常用的經(jīng)濟函數(shù)；能根據(jù)比較簡單的實際問題建立其中蘊含的函數(shù)關(guān)系。 本章重點：函數(shù)概念和基本初等函數(shù) 難點：函數(shù)的復(fù)合 （三）考核要求 ，要求達到 領(lǐng)會 層次。 知道函數(shù)的三種表示法 ―― 解析法，表格法，圖像法，并知道它們各自的特點。 知道函數(shù)的反函數(shù)的概念，清楚單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù) 會求比較簡單的定義域、值域和圖形與其反 函數(shù)的定義域、值域和圖形之間的關(guān)系 ，要求達到 簡單應(yīng)用 層次。 知道反正弦、反余弦和反正切函數(shù)的取值范圍 知道初等函數(shù)的構(gòu)成 ，要求達到 簡單應(yīng)用 層次。所以，學(xué)好本章將為以后的學(xué)習(xí)奠定必要的基礎(chǔ)。 知道數(shù)項級數(shù)的定義，了解其收斂和發(fā)散的概念 知道級數(shù)收斂的必要條件 會判斷等比級數(shù)的斂散性，并在收斂時求出其和 ，要求達到 領(lǐng)會 層次 理解函數(shù)極限的定義（不要求 ε δ 和 ε N 描述） 理解函數(shù)的單側(cè)極限，知道函數(shù)極限與單側(cè)極限之間的關(guān)系 ，要求達到 識記 層次 清楚極限的惟一性 清楚收斂數(shù)列的有界性和有極限的函數(shù)的局部有界性 ，要求達到 簡單應(yīng)用 層次。 ，要求達到 簡單應(yīng)用 層次。 知道閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)必有 界并有最大值和最小值 知道閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理和零點定理 會用零點定理判斷簡單的函數(shù)方程在給定區(qū)間上根的存在性。 本章重點：導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義和作為變化率的實際意義，各種求導(dǎo)法則和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及微分公式。 熟知函數(shù)在一定的導(dǎo)數(shù)和左、右導(dǎo)數(shù)的定義及它們之間的關(guān)系。 ，要求達到 綜合應(yīng)用 層次 熟記基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式并能熟練運用 ，要求達到 簡單應(yīng)用 層次 清楚高階導(dǎo)數(shù)的定 義，會求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù) 清楚二階導(dǎo)數(shù)表示作直線運動的物體的加速度 ，要求達到 領(lǐng)會 層次。 難點：函數(shù)最值的應(yīng)用 （三）考核要求 ，要求達到 領(lǐng)會 層次 能正確陳述羅爾定理，知道其幾何意義 能正確陳述拉格朗日中值定理并清楚其幾何意義 知道導(dǎo)數(shù)恒等于零的函數(shù)必為常數(shù)，導(dǎo)數(shù)處處相等的兩個函數(shù)只能相差一個常數(shù) 必達法則，要求達到 綜合應(yīng)用 層次 準(zhǔn)確理解洛必達法則 能識別各種類型的未定式，并會運用洛必達法則求極限 ，要求達到 簡單應(yīng)用 層次 清楚導(dǎo)數(shù)的符號與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系 會差別函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，并會求函數(shù)的單調(diào)性區(qū)間 會用函數(shù)的單調(diào)性證明簡單的不等式 ，要求達到 綜合應(yīng)用 層次 清楚函數(shù)極值的定義，知道這是函數(shù)的一種局部性態(tài) 知道什么叫函數(shù)的駐點，清楚函數(shù)的極值點 與駐點和不可導(dǎo)點之間的關(guān)系 掌握函數(shù)在一點取得極值的兩種判別點 會求函數(shù)的極值 ，要求達到 綜合應(yīng)用 層次 知道函數(shù)最值的定義及其與極值的區(qū)別 清楚最值的求法 能解決比較簡單的求最值的應(yīng)用問題 ，要求達到 簡單應(yīng)用 層次 清楚曲線在給定區(qū)間上 凹 、 凸 的定義 會判別曲線在給定區(qū)間上的凹凸性和求出曲線的凹凸區(qū)間 知道曲線的拐點和定義，會求曲線的拐點或判定一個點 是否是拐點 ，要求達到 領(lǐng)會 層次 知道曲線的水平和鉛直漸近線的定義及其意義，會求曲線的這兩類漸近線。 （三）考核要求 ，不定積分的基本性質(zhì)，要求達到 領(lǐng)會 層次。 本章重點：偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念及其計算，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，二重積分的計算。 ∴ Df： （ 3） 解：取對數(shù)的數(shù)只能大于 0，所以有 分子的根和分母的根分別為 x1=2,x2=5, 所以不等式的解只能在 取得，經(jīng)驗算知解為 ∴ Df： （ 4） 解：取反正弦或反余弦的數(shù)只能在 1 與 1 之間，所以有 解得 ∴ Df：［ 4， 2］ 例二 解： f(1)表示將函數(shù) f(x)中的 x 換為 1，叫函數(shù) f(x)在 x 取 1 時的值，所以 例三，已知 f(x)的定義域為 (2， 5］，求 f(x－ 2)的定義域 解： f(x)的定義域為 (2， 5］，即 2＜ x≤5 ∴ f(u)的定義域為 2＜ u≤5 ∴ f(x－ 2)的定義域為 2＜ x－ 2≤5 解得 4＜ x≤7 ∴ f(x－ 2)的定義域為 Df：（ 4， 7］ 例四 已知 g(x)的定義域為［ 0， 9］，求 f(x)=g(x－ 2)+g(x+2)的定義域 解：因為 g(x)的定義域為［ 0， 9］，即 0≤x≤9，所以 g(x－ 2)的定義域為 0≤x－ 2≤9，解得 2≤x≤11， 同理 g(x+2)的定義域為 0≤x+2≤9 解得 2≤x≤7 ∴ f(x)的定義域為 它的公共部分為 ∴ f(x)的定義域 Df:[2,7] 例五 下列各對函數(shù)是否相同？若不同，請說明 x 取何值時是相同的 （ 1） 解：在 中， x 的取值范圍為 ，而在 中， x 的取值范圍為，因為 x 取值范圍不同，所以它們是不同的函數(shù)，例如 無意義，而 有意義且 。因為定義域不同，所以它們是不同的函數(shù)。 2．函數(shù)的幾種特性。 典型題：