【正文】 一點(diǎn) a＜ c＜ b，使 x=c是方程 f(x)=0 的根。 零值定理的正確性是明顯的。我們用下圖說(shuō)明： 由于 f（ a）， f（ b）的異號(hào)，所以曲線 y＝ f（ x）在 x＝ a與 x＝ b處的幾何點(diǎn) A與B分別在 x軸的兩側(cè)；由于 y＝ f（ x） 的圖形連續(xù)，所以它與 x必相交，交點(diǎn) x＝ c 處的y＝ 0，即 f（ c）＝ 0 典型例題：證明方程 在（ 1， 2）內(nèi)至少有一根 證：即需證明方程 在（ 1， 2）內(nèi)至少有一根，令 ∵f （ x）至少在 [1,2]上有意義 ∴f （ x）至少在 [1,2]上連續(xù) f（ 1） =2＜ 0,與 f(2)=30＞ 0異號(hào) ∴f(x) 滿足零值定理的兩個(gè)條件 ∴ 在（ 1， 2）內(nèi)至少有一點(diǎn) 1＜ c＜ 2，使 f(c)=0 即 x=c是方程 f（ x）＝ 0的根 ∴x ＝ c 是方程 的根 三、同步練習(xí)題 （一）填空 （二）計(jì)算下列極限： （三）證明題 （ 19）證明方程 （ 20）若 f（ x）在 [a,b]上連續(xù)且 f(a)＞ a,f(b)＜ b 證明方程 f(x)=x,在 (a,b)內(nèi)至少有一個(gè)根 三、同步練習(xí)題 （一）填空 （二）計(jì)算下列極限： 另： （三）證明題 （ 19）證明方程 ，在（ 0， 1）內(nèi)至少有一根 證明：令 f（ x） = f（ x）在 [0， 1]上連續(xù) f（ 0） = 1＜ 0， f（ 1） = 1＞ 0， ∴ f（ 0）與 f（ 1）異號(hào) 由零值定理，存在 0＜ c＜ 1， 使 f（ c） =0， 即 x=c 是方程 f（ x） =0 的根 即 x=c 是方程 =0 的根 （ 20）若 f（ x）在 [a,b]上連續(xù)且 f（ a）＞ a,f（ b）＜ b 證明方程 f（ x） =x,在（ a,b）內(nèi)至少有一個(gè)根 證明：令 g（ x） =f（ x） x ∵ f（ x）在 [a,b]上是連續(xù)的 ∴ g（ x）在 [a， b]上連續(xù) ∵ g（ a） =f（ a） a＞ 0， g（ b） =f（ b） b＜ 0 異號(hào) ∴ 存在 a＜ c＜ b，使 g（ c） =0，即有 x=c 是方程 g（ x） =0 的根 即 x=c 是方程 f（ x） x=0 的根 高數(shù)（一）微積分 模擬試題（三） 一、試題部分 （一）單項(xiàng)選擇（每小題 2 分，共 10 分） 上的圖形為下圖，則函數(shù) 上是（ ） （ A）增加且凹的， （ B）減少且凹的， （ C）增加且凸的， （ D）減少且凸的， （二）填空題（每小題 3 分，共 30 分） 6. 7. 8. 在點(diǎn) x=0 處 的切線方程為 的水平漸近線是 10. 11. ，知 14. =[0,1； ]時(shí)， （三）計(jì)算題（每小題 5 分，共 45 分） 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. （四）（應(yīng)用題（每小題 5 分，共 10 分） Q 與 P 價(jià)格的關(guān)系為 P=,該產(chǎn)品的固定成本為 1000，邊際成本 MC=10，若產(chǎn)銷平衡，求 ① 收入函數(shù)， ② 成本函數(shù)， ③ 最大利潤(rùn) y= 在區(qū)間［ 0,2］上的圖形的面積和繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而生成的旋轉(zhuǎn)體體積 （五）證明題（ 5 分） 27. ，并用此結(jié)果計(jì)算 二、解答部分 （一）單項(xiàng)選擇題 1. 2. ∴ 選（ A） 3. ∴ 選 (A) 4. ∴ 選（ A） 5. 是凸的 ∴ ，選 (C) （二）填空題 6. 7. ～ ， ln(1+2x)～ 2x， 8. 即： y1=2x 9. ∴ y=0 是水平漸近線 10. 11. 12. 13. 14. 15. （三）計(jì)算題 16. 17. 18. 令 19. 20. 21. 22. 23. 24. 極大值為 (0)=0 極小值為 （四）應(yīng)用題 25. ① ② ∵ Q=0 時(shí)， C=1000， ∴ 1000=C1， ∴ C=1000＋ 10Q ③ L=R－ C=－ 1000＋ 10Q－ =, ∴ 駐點(diǎn) Q=500 =0 ∴ Q=500 是唯一極大值點(diǎn)， ∴ Q=500 是最大值點(diǎn) 最大利潤(rùn)為： L(500)=1000+50002500=1500 26. ∴ 旋轉(zhuǎn)體體積 V等于 D1的旋轉(zhuǎn)體體積 V1與 D2的旋轉(zhuǎn)體體積 V2之和， 根據(jù)對(duì)稱性 V1=V2 （五）證明題 27. ① 令 x=1t， ∴ dx=dt 且 t=1x， x=0 時(shí)， t=1； x=1 時(shí)， t=0 ② 第 三 章 一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分 一、考核內(nèi)容 ，左導(dǎo)數(shù)，右導(dǎo) 數(shù)的概念及它們之間的關(guān)系。知道導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義。知道函數(shù)可導(dǎo)和連續(xù)的關(guān)系。 ，熟記導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算公式和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式，掌握初等函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的方法 ，會(huì)求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，會(huì)求某些函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。 。 二、基本概念，主要定理和公式。典型例題。 （一）導(dǎo)數(shù)的概念 用 表示變量 u 的初值， u 表示變量 u 的終值，則符號(hào) 叫變量 u 的增量或變化量。 若 y 與 x 之間有函數(shù)關(guān)系且 y=f(x)，則 y0=f( )這時(shí)有 仍舊表示 y 的改變量與 x 的改變量的比。 定義一： 若極限 存在 就說(shuō)極限是函數(shù) y=f(x)在點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù)，記作 即： 函數(shù) y=f(x)在點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù)還可表示為 典型例題 例二：已知 g(x)在點(diǎn) x=a 連續(xù)， f(x)=(xa)g(x),求 定義一：也可表示為下面形式 定義二： 例三：己 知函數(shù) f(x)在點(diǎn) 的導(dǎo)數(shù) ，求極限 例三的結(jié)果可以作為公式使用。 例四：已知 ，計(jì)算 （二）基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算公式 定義：若極限 存在，就說(shuō)此極限是函數(shù) y=f(x)的導(dǎo)數(shù)，記作 。 下面的結(jié)果是數(shù)學(xué)工作者根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義計(jì)算的結(jié)果，學(xué)員應(yīng)熟記下面重要公式： 以上 16 個(gè)結(jié)果，希 望同學(xué)們能夠通過(guò)做練習(xí)熟練掌握住，因?yàn)橐脤?dǎo)數(shù)的定義求得 16 個(gè)基本數(shù)的導(dǎo)數(shù)，比較麻煩，用了導(dǎo)數(shù)公式表，如果碰到是基本初等函數(shù)求導(dǎo)，不用導(dǎo)數(shù)的定義，用導(dǎo)數(shù)公式表即可， 因此用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)數(shù)，多數(shù)是分段函數(shù)或者必須用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)的情況。 典型例題 例一：填空 冪函數(shù)的寫法： 下面第二節(jié) 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算公式與極限的四則運(yùn)算公式有區(qū)別，我們不加推導(dǎo)地用定義的形式介紹如下： 定理：若函數(shù) u(x)與 v(x)都有導(dǎo)數(shù)，則 如果兩個(gè)函數(shù)中，其中有一個(gè)是常數(shù)，根據(jù)乘法公式：兩項(xiàng)和，第一項(xiàng)是第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 乘以第二個(gè)函數(shù)，第二項(xiàng)是第一個(gè)函數(shù)乘以第二個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由于常數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于零，常數(shù)乘以該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)就為零，所以，如果一個(gè)系數(shù)乘以一個(gè)函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，系數(shù)照常寫，只要求該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即可。 例二：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 以后，我們也將函數(shù) f(x)在點(diǎn) x=a 處的導(dǎo)數(shù)稱為導(dǎo)數(shù) 在點(diǎn) x=a 處的值， 簡(jiǎn)稱函數(shù) f(x)在 x=a 處的導(dǎo)數(shù)（值）。 例三：已知 解：因?yàn)?是導(dǎo)數(shù) 在 x=1 處的值，所以，第一步先求導(dǎo)數(shù) 第二步，再求導(dǎo)數(shù) 在 x=1 處的值 =2+1=3 今后，若函數(shù) f(x)在點(diǎn) 的導(dǎo)數(shù)值 存在，就說(shuō)函數(shù) f(x)在點(diǎn) 可導(dǎo)；反之，若函數(shù) f(x)在點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)值 不存在，就說(shuō)函數(shù) f(x)在點(diǎn) 不可導(dǎo)。 一個(gè)函數(shù) f(x)在某一點(diǎn) 可導(dǎo)與該點(diǎn) 連續(xù)有下面的關(guān)系： 證：因?yàn)?f(x)在 x= 可導(dǎo) 請(qǐng)學(xué)員注意，本定理只說(shuō)明函數(shù) f(x)在某一點(diǎn)可導(dǎo)，則在該點(diǎn)一定連續(xù)，即可導(dǎo)是連續(xù)的充分條件，反過(guò)來(lái)未必正確，我們可以舉一個(gè)例子說(shuō)明函數(shù) f(x)在一點(diǎn)連續(xù)，在該點(diǎn)未必可導(dǎo)，請(qǐng)看： 關(guān)于導(dǎo)數(shù)，左導(dǎo)數(shù)，右導(dǎo)數(shù)有下面關(guān)系： 用定義求函數(shù) f(x)的左右導(dǎo)數(shù)是很不方便，但是在特殊情況下可以比較方便的求函數(shù)的左導(dǎo) 數(shù)和右導(dǎo)數(shù) 上面的定理說(shuō)明， f(x)的左導(dǎo)數(shù)值 等于 f(x)在點(diǎn) 的左函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)值；右導(dǎo)數(shù)值 等于 f(x)的右函數(shù) 在點(diǎn) 的導(dǎo)數(shù)值。 典型例題 證： (ⅰ ) (ⅱ )f(a)=0 ∴ f(x)在 x=a 連續(xù) 本例再一次說(shuō)明連續(xù)函數(shù)不一定可 導(dǎo) （三）導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義 （ 1）導(dǎo)數(shù)的幾何意義 若曲線 y=f(x)在其上一點(diǎn) 處有切線 (見(jiàn)下圖 )，則可證明切線的斜率 K 與函數(shù)f(x)在點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù)值 相等。即 因而有曲線 在點(diǎn) 處的切線方程為 ，其中 曲線 在點(diǎn) 處的法線方程為 例一：（ 1）求曲線 (2)求曲線 的平行于直線 的切線方程。 解：先求切點(diǎn)，因?yàn)橹本€ 的斜率就是 x 的系數(shù)，所以 的斜率為 4。由于 的切線與直線 平行，所以切線的斜率與直線 的斜率相等，得 ，解得 。 當(dāng) 時(shí)， 這時(shí)的切線為 ； 當(dāng) 時(shí)， ，這時(shí)的切線為 下面第三節(jié) 例二：（ 1） 己知在點(diǎn)（ 1， 0）相切，求 a， b， c. 解：切點(diǎn)（ ）是曲線上的點(diǎn)，代入曲線方程， （ i） （ ⅱ ） ∵ 兩曲線在（ 1， 0）相切， ∴ 它們?cè)邳c(diǎn)（ 1， 0）的切線斜率相等，即 ∴ 3+a=2b 解得 a=1， b=1， c=1 （ 2）巳知 解：設(shè)切點(diǎn)為（ ），所以切點(diǎn)處兩曲線的斜率相同，得 ∴ ln2a=1 （ 2）導(dǎo)數(shù)的力學(xué)意義 若質(zhì)點(diǎn)在直線上的運(yùn)動(dòng)路程 s 與時(shí)間 t 的關(guān)系為 s=s（ t），則該質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為： 例三：質(zhì)點(diǎn)在直線上的運(yùn)動(dòng)方程為 ，求質(zhì)點(diǎn)的速度及在時(shí)刻 t=2 的瞬時(shí)速度： （四）復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和對(duì)數(shù)求導(dǎo)法。 （ 1）復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 下面，我們不加推導(dǎo)的介紹復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式： 上面的公式叫鏈導(dǎo)公式，其中 典型例題 解：先寫出復(fù)合過(guò)程 ， 解：先寫出復(fù)合過(guò)程， 在經(jīng)過(guò)多次練習(xí)對(duì)鏈導(dǎo)公式掌握熟練以后， 復(fù)合過(guò)程可以記在心里而不必寫出，直接用鏈導(dǎo)公式寫出結(jié)