【文章內(nèi)容簡介】 函數(shù) y=logax 及三角函數(shù) y=sinx， y=cosx， y=tanx， y=cotx， y=secx， y=cscx，反三角函數(shù) y=arcsinx， y=arccosx，y=arctanx，這六大類基本初等函數(shù)經(jīng)過四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)運(yùn)算而生成的函數(shù)叫初等函數(shù)。 例如： （ 4）分段函數(shù) 如果變量 y 與變量 x 的對應(yīng)關(guān)系在 x 的不同取值范圍內(nèi) 的表示式不同，例如 2≤x＜ 0 時， y=2x+1 0≤x≤3時， y=x2+1 為了表示得更精簡，可以將上面的表示式合并為 這樣的函數(shù)叫分段函數(shù)。 學(xué)員可以看出，分段函數(shù)不是由六類基本初等函數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算生成，而是分段生成的函數(shù)，所以 不是初等函數(shù)，在本教程中，也僅僅是分段函數(shù)不是初等函數(shù)。 典型題 例一 若 解： ， 求 ① f(x), ② f(x)+f(x) 解： 例三 求： y=f(x)的反函數(shù) y=f－ 1(x) 解： （ 1） 1≤x＜ 1 時， y=x1,所以 y 的取值范圍為 2≤y＜ 0。 由 y=x1 解得 x=y+1， 2≤y＜ 0,再將 x 與 y 對換得： y=f－ 1(x)=x+1,2≤x＜ 0 (2)1≤x＜ 3 時， 1≤y＜ 5 ； 例四 解： （三）同步練習(xí)題 同步練習(xí)題答案 （ 1） Df：（ 3， 0） u（ 0， 2） （ 3） Df： [1， 4] （ 4） Df： [1， 10] （ 5） f{f(x)}=x （ 6）偶函數(shù) （ 7）在［ 2， 3］上有界，在（ 1， 2）上無界 （ 8） T=4π （ 10） f1(x)=1+log2(x1)，即 y=1+log2(x1)。 第二章 極限與連續(xù) 一、考核內(nèi)容 。 ，會求等比級數(shù)的和。 ，會求函數(shù)的極限。 ，性質(zhì)，會比較無窮小量，知道無窮大量的概念。 。 ，會求間斷點(diǎn)，知道閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。 二、基本概念，主要公式，典型例題 （一）數(shù)列極限的概念 定義一：一列有順序的數(shù) 叫數(shù)列，簡記作 ，其中 叫第一項(xiàng)， 叫第二項(xiàng)， 叫第 n 項(xiàng)。 定義二：當(dāng) n 無限變大時，如果數(shù)列 的第 n項(xiàng) 與一個常數(shù) a 無限接近，就說常數(shù) a是數(shù)列 的極限，并且說數(shù)列收斂，也可以說數(shù)列 收斂于常數(shù) a，記作： （當(dāng) n→∞ 時）或 如果不存在這樣的常數(shù) a，就說數(shù)列 發(fā)散。 定義三：當(dāng) n無限變大時，如果數(shù)列 的第 n項(xiàng) 的絕對值 無限變大，就說數(shù)列無限變大，記作： （當(dāng) n→∞ 時）或記作 由于這時數(shù)列 的極限不是常數(shù)，所以數(shù)列無限變大是發(fā)散的。 典型例題 ：討論下列數(shù)列的斂散性，若收斂，請求出它的極限： 解： ，當(dāng) n 無限變大時，觀察下表： n 1 2 3 4 5 6 7 … 1/2 1/4 1/8 1/16 1/32 1/64 1/128 … 可見 n→∞ 時， 與數(shù) 0無接近，即： 解：數(shù)列 d的第 n項(xiàng) 在（－ 1）與 1之間跳動，故 不與任何常數(shù)接近，故數(shù)列沒有極限，它是發(fā)散的。 由（ 3）與（ 6）可知，等比數(shù)列 有下面結(jié)果： （二）數(shù)項(xiàng)級數(shù) 定義一：數(shù)列 的和 叫數(shù)項(xiàng)級數(shù)。 符號 叫數(shù)項(xiàng)級數(shù) , 的前 n 項(xiàng)和。 例如： 叫前 5項(xiàng)和。 定義二：若 n→∞ 時，級數(shù) 的前 n項(xiàng)和 的極限若為常數(shù) S，即： 就說級數(shù) 的和是 S，并且說級數(shù) 收斂，或者說級數(shù) 收斂于 S 否則，就說級數(shù) 是發(fā)散的。 典型例題： 例一：討論數(shù)項(xiàng)級數(shù) 的斂散性。 如例一 ：討論數(shù)項(xiàng)級數(shù) 的斂散性． 參見教材 55 頁面 例二：討論數(shù)項(xiàng)級數(shù) 的斂散性 例三：討論等比級數(shù) 的斂散性 解：（ ⅰ ） 時， （ ⅱ ） 時 的在 0 與 1 間跳躍， ∴ 不存在。 總結(jié)上面結(jié)果 有下面公式： 例四：求下列等比級數(shù)的和 根據(jù)等比級數(shù)求和公式有： 下面為第二節(jié) （三） 函數(shù)的極限 定義一：當(dāng) x與數(shù) a無限接近時，如果函數(shù) f（ x）的值與常數(shù) A 無限接近，就說 x與數(shù) a無限接近時， f（ x）的極限是常數(shù) A，記作： 典型例題：求下列函數(shù)的極限 定義二：若當(dāng) x＜ a且與數(shù) a無限接近時（記作 ），函數(shù) f（ x）與常數(shù) A無限接近，就說函數(shù) f（ x）的左極限是數(shù) A，記作： 若當(dāng) xa 且與數(shù) a無限接近時，（記作 ） ,函數(shù) f（ x）與常數(shù) A無限接近，就說函數(shù) f（ x）的右極限是數(shù) A，記作： 顯然，下面定理是成立的 定理 典型例題 定義三 （ 1）若 x0且 |x|無限變大時（記作 ） ,函數(shù) f（ x）與常數(shù) A 無限接近，就說 時，函數(shù) f（ x）的極限是常數(shù) A，記作： （ 2）若 x0 且 |x|無限變大時（記作 ），函數(shù) f（ x）與常數(shù) A無限接近，就說 時，函數(shù) f（ x）的極限是常數(shù) A，記作： （ 3）當(dāng) x的絕對值 |x|無限變大時（記作 ） ,函數(shù) f（ x）與常數(shù) A無限接近，就說 時， f（ x）的極限是常數(shù) A，記作： 顯然，下 面的結(jié)論是正確的 典型例題 例一：求下列極限 例二：求極限 （四） 極限的四則運(yùn)算法則 關(guān)于極限的運(yùn)算，我們不加證明地介紹下面的定理： 若在 x的同一變化過程中， ， ，則有下面結(jié)果： 典型例題 例一：求下列極限 下面的結(jié)果，學(xué)員可以當(dāng)作公式加以應(yīng)用 例三：直接利用上面的公式求極限 解： ①0 ； ②3 ； ③ 例四：求極限 下面為第三節(jié) （五）無窮大量，無窮小量 定義一：若變量 u的絕對值 |μ| 無限變大，就說變量 u 是無窮大量，記作： 定義二：若變量 u的極限為 0，就說變量 u是無窮小量，記作： 性質(zhì)一：若 u是無窮大量，則 1/u是無窮小量 若 u是無窮小量，則 1/u是無窮大量。 性質(zhì)二：（ 1）無窮小量乘無窮小量仍是無窮小量 （ 2）有界變量乘無窮小量是無窮小量 典型例題： 例一：當(dāng) 時，下列變量中哪個是無窮大量？哪個是無窮小量？ 例二：求下列極限 定義三：若 α→0 ， β→0 ，即 α 與 β 都是無窮小量 （ 1） 若 ，就說 β 是 α 的高階無窮小，記作 β ＝ o(α) （ 2） 若 ，就說 β 是 α 的同階無窮小，記作 β ＝ O(α) （ 3） 若 ，就說 β 與 α 等價，記作 β ～ α （ 4） 若 ，就說 β 是 α 的低階無窮小。 典型例題： 例一：當(dāng) x 0時，請將下列無窮小量與 x進(jìn)行比較 下面的結(jié)果是重要的結(jié)果，請學(xué)員熟記： x 0時 ,下面的無窮小量都是等價的 . 在求極限時，下面的定理常常能將問題變得簡單： 定理（等價代換定理） 若 u→0 ， ν→0 ，且 u～ ν ，則有 （ 1） （ 2） 證：（ 1） （ 2） 等價代換定理的好處是可以用一個簡單的無窮小量 ν 去替換等價的復(fù)雜的無窮小量 μ 學(xué)員特別要注意的是只有乘除法才能等價替換，加減法不能等價替換！ 典型例題：求下列極限 例二：用等價無窮小替換計(jì)算 注意：下面的計(jì)算有錯誤 錯誤的原因在第一個等式不成立，因?yàn)槲覀兯娴募訙p法不能等價替換。 （六）兩個重要的極限 下面我們不加證明地給出兩個重要極限，讀者可以利用它們作為公式 求其它的極限 上面的結(jié)果叫第一個重要極限，實(shí)際上在介紹等價替換時就有上面的結(jié)果 典型例題：計(jì)算 上面的公式叫第二個重要極限，在利用上面的公式求其它極限時常常需要利用下面的公式進(jìn)行代數(shù)化簡： 典型題一：求下列極限 注意： ，要將這種極限與 相區(qū)別 例二 : 求下列極限 例三： 驗(yàn)證 （七）函數(shù)的連續(xù)性 否則，就說 f(x)在 處間斷； 即 處的間斷。 否則，就說 f(x)在 處間斷。 典型例題 例一 討 論下列函數(shù)在分段點(diǎn)的連續(xù)性 解：用定義一： f(0)=0 ∴f(x) 在 x=0 連續(xù)。 解：（ ⅰ ）在 x=0 點(diǎn)處 f(0)=1 ∴f(x) 在點(diǎn) x＝ 0 處連續(xù) （ ⅱ ）在 x=2 處 ∴f(x) 在點(diǎn) x=2處不連續(xù) 例三：已知 在點(diǎn) x＝ 0連續(xù)，求 a， b： 對于初等函數(shù)，有下面的結(jié) 論 定理：（ 1）一切初等函數(shù)在它有意義的區(qū)間上處處連續(xù) （ 2）一切初等函數(shù)，在它的無意義點(diǎn)上一定間斷 典型例題 例一：求函數(shù) 的間斷點(diǎn)和連續(xù)區(qū)間。 解：（ ⅰ ） f(x)是初等函數(shù)，它在（ ∞ ， 1），（ 1， 1），（ 1， +∞ ）上處處有意義。 ∴f(x) 在（ ∞ ， 1），（ 1， 1），（ 1， +∞ ）上處處連續(xù)。 （ ⅱ ） f(x)在 x＝ 1,x=1 上無意義，所以 f(x)在 x＝ 1， x＝ 1處間斷。 關(guān)于間斷點(diǎn)，本教程有三種類型： （ 1） 若 則間斷點(diǎn) x＝ a叫可去間斷點(diǎn)； （ 2） 若 ，則間斷點(diǎn) x＝ a，叫無窮間斷點(diǎn)； （ 3） 若 ，則間斷點(diǎn) x＝ a 叫跳躍間斷點(diǎn)。 例二：求下列函數(shù)的間斷點(diǎn)，并指出其類型 解： ∵f(x) 在＝ 2 處無意義，所以 x=2 是 f(x)的間斷點(diǎn) 解： ∵f(x) 在 x＝ 2處無意義，所以 x＝ 2 是 f(x)的間斷點(diǎn) 解： ∵f(x) 在 x＝ 2處無意義，所以 x＝ 2 是 f(x)的間斷點(diǎn) 解： ∵f(x) 在 x＝ 0處無意義， x＝ 0是 f(x)的間斷點(diǎn)， 由于 ，所以 x＝ 0是 f(x)的無窮間斷點(diǎn) （八）在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)的性質(zhì) 在閉區(qū)間上處處連續(xù)的函數(shù)有兩條重要性質(zhì)，我們用定理的形式介紹一下。 定理（最大值最小值定理） 如果函數(shù) f（ x）在閉區(qū)間 [a,b]上處處連續(xù)，則函數(shù) f（ x）在閉區(qū)間 [a,b]上一定有最大值 M和最小值 m 推論：若 f（ x）在閉區(qū)間 [a,b]上連續(xù)，則 f（ x）在閉區(qū)間 [a,b]上有界，且 注意上面結(jié)論的兩個條件缺一不可，例 在開區(qū)間 (0,1)上處處連續(xù)，因?yàn)樗诖藚^(qū)間上沒有無意義的點(diǎn)。 x→0 時， 無限變大，所以它沒有最大值。而 0＜ x＜ 1 時， f(x)也取不到最小值 1 定理（零值定理） 如果 f（ x）在閉區(qū)間 [a,b]上處處連續(xù)，而且 f(x)在端點(diǎn)的函數(shù)值 f(a),f(b)異號。 則在 (a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn) a＜ c＜ b， 能使 f(c)=0 或者說在 (a,b)內(nèi)至少存在