【文章內(nèi)容簡介】 7。y=02238。(3) 同理在yOz面上的投影也為線段236。z=2,|y|163。 237。x=02238。例3 設(shè)一個(gè)立體由上半球面z=4x2y2和錐面z=3(x2+y2)所圍成, 求它在xOy面上的投影.解 半球面和錐面的交線為22236。239。z=4xyC:237。, 22239。238。z=3(x+y)236。x2+y2=1消去z得投影柱面x+y=1,則交線C在xOy面上的投影為 237。. z=0238。22\所求立體在xOy面上的投影為 x2+y2163。1.考大題一般集中在下面兩節(jié)：即平面和直線部分。第五節(jié) 平面及其方程一、平面的點(diǎn)法式方程：A(xx0)+B(yy0)+C(zz0)=0.二、平面的一般方程：注意有Ax+By+Cz+D=0, A=0等條件時(shí)，平面的特點(diǎn). xyz++=1. abc(k=1,2,3)的平面方程為 三、平面的截距式方程：四、平面的三點(diǎn)式方程：過三點(diǎn)Mk(xk,yk,zk)xx1x2x1x3x1yy1y2y1y3y1zz1z2z1=0 z3z1四、兩平面的夾角：設(shè)有兩平面P1和P2：rP1:A1x+B1y+C1z+D1=0, n1={A1,B1,C1}則兩平面的夾角 coqs=|A1A2+B1B2+C1C2|A+B+CA+B+C212121222222從兩向量垂直和平行的充要條件，即可推出：（1） P1^P2 的充要條件是A1A2+B1B2+C1C2=0；（2）P1//P2的充要條件是 A1B1C1==. A2B2C2A1B1C1D1===. A2B2C2D2. （3）P1與P2重合的充要條件是 五、點(diǎn)到平面的距離：d=|Ax0+By0+Cz0+D|A+B+C222第六節(jié) 空間直線及其方程一、空間直線的一般方程：237。236。A1x+B1y+C1z+D1=0, 238。A2x+B2y+C2z+D2=0.xx0yy0zz0== mnp 二、空間直線的對(duì)稱式方程與參數(shù)方程：三、兩直線的夾角設(shè)s1={m1,n1,p1}，s2={m2,n2,p2}分別是直線L1，L2的方向向量，則L1與L2的夾角j應(yīng)是(s1,s2)和(s1,s2)=p (s1,s2)兩者中的銳角. 因此cosj=|cos(s1,s2)|. 仿照對(duì)于平面夾角的討論可以得到下列結(jié)果. vvvvvvvvvvvv|s1s2||m1m2+n1n2+p1p2|（1） cosj=； =222222|s1||s2|m1+n1+p1m2+n2+p2（2）L1^L2的充要條件是m1m2+n1n2+p1p2=0；（3）L1//L2的充要條件是四、直線與平面的夾角（1）設(shè)直線的方向向量為s={m,n,p}，平面的法向量n={A,B,C},直線與平面的夾角r217。r為j，則 sinj=|cos(s,n)|=m1n1p==1. m2n2p2rr|Am+Bn+Cp|A+B+Cm+n+p222222；（2）L^P的充要條件是ABC==。 mnp（3）L//P的充要條件是Am+Bn+Cp=0.五、平面束通過空間一直線可作無窮多個(gè)平面, 236。A1x+B1y+C1z+D1=0, 237。Ax+By+Cz+D=則方程(A1x+B1y+C1z+D1)+l(A2x+B2y+C2z+D2)=0,稱為過直線L的平面束方程, 其中l(wèi)為參數(shù).注: 上述平面束包含了除平面A2x+B2y+C2z+D2=0之外的過直線L的所有平面.236。x+y+z+1=0. 例1 用對(duì)稱式方程及參數(shù)方程表示直線 237。2xy+3z+4=0238。解 在直線上任取一點(diǎn)(x0,y0,z0),例如,236。y+z0+2=0取x0=1222。237。0222。y0=0,z0=2, y3z6=00238。0得點(diǎn)坐標(biāo)(1,0,2),因所求直線與兩平面的法向量都垂直,rvrijkrrr可取s=n1180。n2=111={4,1,3},213對(duì)稱式方程 x1y0z+2==, 413236。x=1+4t239。. 參數(shù)方程 237。y=t239。z=23t238。例2 求過點(diǎn)(3,2,5)且與兩平面x4z=3和2xy5z =1的交線平行于的直線方程.vvrvr解 設(shè)所求直線的方向向量為s={m,n,p},根據(jù)題意知s^n1,s^n2, rrvijkrvv取s=n1180。n2=104={4,3,1},215所求直線的方程x+3y2z5==. 431x+1y1z垂直相交的直線方程. ==321例3 求過點(diǎn)M(2, 1, 3)且與直線解 先作一過點(diǎn)M且與已知直線垂直的平面P,3(x2)+2(y1)(z3)=0,再求已知直線與該平面的交點(diǎn)N, 236。x=3t1x+1y1z239。===t237。y=2t+1. 令321239。z=t238。代入平面方程得t=3230。2133246。,交點(diǎn)N231。,247。,取所求直線得方向向量為, 7232。777248。133252。236。12624252。236。2=237。－2－1，－－3253。=237。，－253。, 77254。238。777254。238。7所求直線方程為 平面束236。x+2yz6=0例4 過直線L:237。作平面P, 使它垂直于平面P1:x+2y+z=0. x2y+z=0238。x－2y1z－3==. 2－14解 設(shè)過直線L的平面束213。(l)的方程為(x+2yz6)+l(x2y+z)=0,即(1+l)x+2(1l)y+(l1)z6=0.現(xiàn)要在上述平面束中找出一個(gè)平面圖P,使它垂直于題設(shè)平面P1,因平面垂直于平面P1,故rrrv平面P的法向量n(l)垂直于平面P1的法向量n1={1,2,1}.于是n(l)n1=0,即1(1+l)x+4(1l)+(l1)=0.解得l=2,故所求平面方程為p:3x2y+z6=，平面x2y+z=0不是所求平面.第九章：多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用第一節(jié)：多元函數(shù)的基本概念 會(huì)求多元函數(shù)的定義域、極限（重要） 知道證明極限不存在的方法沿不同路徑趨近定點(diǎn)時(shí)，極限不相等！（通?？紤]三條路徑：lim沿平行x軸方向：limf(x,y)；沿平行y軸方向：x=xx174。x0y=y00f(x,y) y174。y0沿直線 y=y0+k(xx0) 方向：x174。x0y0+k(xx0)174。y0limf(x,y)第二節(jié)：偏導(dǎo)數(shù)會(huì)求二階以下的偏導(dǎo)數(shù)；注意在界點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義來求（見P67）。 偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)性的關(guān)系，混合偏導(dǎo)數(shù)相等的條件。 討論多元函數(shù)在一點(diǎn)處的極限、連續(xù)、可導(dǎo)性。注意：偏導(dǎo)數(shù)是把其他變量看成常數(shù)來求導(dǎo)數(shù)，所以本質(zhì)上還是一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。第三節(jié)：全微分全微分公式，可微、可導(dǎo)、連續(xù)之間的關(guān)系（小題）第四節(jié)：多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 ‘‘的意義（見P79，例4）重要 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式，注意記號(hào)f1’,f12 全微分公式： dz=fu(u,v)du+fv(u,v)dv第五節(jié)：隱函數(shù)求導(dǎo)公式方程或方程組的隱函數(shù)求導(dǎo)方法： （1）.公式法；（2）兩邊求導(dǎo)法； 附：二元線性代數(shù)方程組237。236。a1x+b1y=c1解的公式238。a2x+b2y=c2x=1a1b1a2b2c1c2b1b2；y=1a1b1a2b2a1a2c1c2 注意函數(shù)F(x,y,z)=x+y+z與方程F(x,y,z)=x+y+z=0的偏導(dǎo)數(shù)的區(qū)別。以對(duì)求導(dǎo)為例，前者把xz看成常數(shù)，后者把z看成函數(shù)z=z(x,y)。第六節(jié)：多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用 向量值函數(shù)的極限、連續(xù)與導(dǎo)數(shù)通過其分量函數(shù)來實(shí)現(xiàn) 向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義：終端曲線在某點(diǎn)處的切向量 向量值函數(shù)的物理意義：一階導(dǎo)數(shù)為速度，二階導(dǎo)數(shù)為加速度 空間曲線（參數(shù)形式、236。y=j(x)以及一般形式）的切向量237。238。z=y(x)T記切線和法平面方程。一般形式時(shí)有兩種方法，公式法和兩邊求導(dǎo)法 空間曲面（隱式和顯式）的法向量、及切平面與法線的方程。第七節(jié)：方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度公式；二者之間的關(guān)系（梯度的模為方向?qū)?shù)的最大值，梯度方向?yàn)楹瘮?shù)變化最快的方向）；梯度的幾何意義為為等值線（面）上某點(diǎn)的法線方向（參見例6）。第八節(jié)：多元函數(shù)的極值及其求法 求極值的一般步驟：一、求駐點(diǎn)；二、判別 條件極值的求法：（1）轉(zhuǎn)化為無條件極值；（2）的拉格朗日乘數(shù)法。 第十章 重積分【本章重要知識(shí)點(diǎn)】、三重積分的概念，了解重積分的性質(zhì)，知道二重積分中值定理。，掌握三重積分在直角坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系下的計(jì)算方法。（如平面圖形的面積、體積、曲面面積）和物理量（如質(zhì)量、質(zhì)心坐標(biāo)、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、引力等）。第一、二節(jié) 二重積分 一、主要內(nèi)容1．二重積分的幾何與物理意義：2．二重積分的性質(zhì)：性質(zhì)性質(zhì)242。242。242。242。Dkf(x,y)ds=k242。242。f(x,y)ds，k為非零常數(shù)； DD{f(x,y)177。g(x,y)}ds=242。242。f(x,y)ds177。242。242。g(x,y)ds； DD性質(zhì)若D=D1+D2，且D1ID2=f（除邊沿部分外），則242。242。Df(x,y)ds=242。242。f(x,y)ds+242。242。D1D2f(x,y)dsf(x,y)ds179。242。242。g(x,y)ds； D性質(zhì)若f(x,y)179。g(x,y)，(x,y)206。D，則：特例：⑴ 若f(x,y)179。0，(x,y)206。D，則⑵ |242。242。D242。242。Df(x,y)ds179。0； 242。242。Df(x,y)ds|163。242。242。|f(x,y)|ds D性質(zhì)（估值定理）若m163。f(x,y)163。M，(x,y)206。D，則ms163。242。242。Df(x,y)ds163。Ms （s是D的面積）性質(zhì)（中值定理）若f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則存在(x,h)206。D，使得：242。242。Df(x,y)ds=f(x,h)s （s是D的面積）3. 直角坐標(biāo)下二重積分的計(jì)算： ①對(duì)于一般的二重積分242。242。Df(x,y)ds，若其積分區(qū)域D為X型區(qū)域，即D：bj2(x)a163。x163。b236。，則也有：f(x,y)ds=[f(x,y)dy]dx； 237。242。242。242。242。Daj(x)1238。j1(x)163。y163。j2(x)②同理，若積分區(qū)域D為Y型區(qū)域，即D：237。236。c163。y1