【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 問(wèn)底半徑 與高各為多少時(shí)表面積最小 ？ 解： 本題的解法 和l 6 結(jié)果 與 21 完全相同 。 生產(chǎn)一種體積為 V 的 無(wú) 蓋圓柱形容器，問(wèn)容器的底半徑與高各為多少時(shí)用料最省 ？ 解： 設(shè)容器的底半徑為 r ，高為 h ， 則 無(wú) 蓋 圓柱形容器表面積為 rVrrhrS 2ππ2π 22 ????，令 02π22 ???? rVrS， 得 rhVr ?? ,π3 ， 由實(shí)際問(wèn)題可知，當(dāng)?shù)装霃? πVr?與高 rh? 時(shí)可使用料最省 。 22 欲做一個(gè)底為正方形，容積為 32立方米的長(zhǎng)方體開(kāi)口容器，怎樣做法用料最省？（ 0707 考題 ） 解： 設(shè)底 邊的邊長(zhǎng) 為 x ，高為 h ， 用材料為 y ，由已知 322 ??Vhx ，2xVh?， 表面積 xVxxhxy 44 22 ???? ， 令 0422 ???? xVxy，得 6423 ?? Vx ， 此時(shí) ,4?x2xVh?=2 由實(shí)際問(wèn)題可知， 4?x 是函數(shù)的極小值點(diǎn)，所以 當(dāng) 4?x ， 2?h 時(shí)用料最省 。 欲做一個(gè)底為正方形，容積為 立方米的長(zhǎng)方體開(kāi)口容器，怎樣做法用料最省？ 解： 本題 的解法 與 22 同，只需把 V= 代入即可。 類(lèi)型 3 求 求曲線 kxy ?2 上的點(diǎn)，使其到點(diǎn) )0,(aA 的距離最短． 曲線 kxy ?2 上的點(diǎn)到點(diǎn) )0,(aA 的距離平方為kxaxyaxL ?????? 222 )()( 0)(2 ????? kaxL ， kax ??22 31 在拋物線 xy 42 ? 上求一點(diǎn)，使其與 x 軸上的點(diǎn) )0,3(A 的距離最短 ． 解：設(shè)所求點(diǎn) P（ x， y），則滿足 xy 42 ? ，點(diǎn) P 到點(diǎn) A 的距離之平方為 xxyxL 4)3()3( 222 ?????? 令 04)3(2 ????? xL ，解得 1?x 是唯一駐點(diǎn)，易知 1?x 是函數(shù)的極小值點(diǎn)， 當(dāng) 1?x 時(shí)， 2?y 或 2??y ，所以滿足條件的有兩個(gè)點(diǎn)（ 1， 2）和（ 1，－ 2） 32 求曲線 xy 22 ? 上的點(diǎn)，使其到點(diǎn) )0,2(A 的距離最短． 解： 曲線 xy 22? 上 的點(diǎn)到點(diǎn) A （ 2 ， 0 ） 的距離 之平方 為xxyxL 2)2()2( 222 ?????? 令 02)2(2 ????? xL ，得 1?x ， 由此 222 ?? xy ， 2??y 即曲線 xy 22? 上的點(diǎn)（ 1， 2 ）和（ 1， 2? ）到點(diǎn) A（ 2， 0）的距離最短。 08074 求曲線 2xy? 上的點(diǎn)，使其到點(diǎn) A（ 0， 2）的距離最短。 解： 曲線 2xy? 上的 點(diǎn) 到點(diǎn) A （ 0 ， 2 ） 的 距 離 公 式 為 222 )2()2( ?????? yyyxd d 與 2d 在同一點(diǎn)取到最大值，為計(jì)算方便求 2d 的最大值點(diǎn)， 22 )2( ??? yyd 32)2(21)( 2 ?????? yyd 令 0)( 2 ??d 得23?y，并由此解出 26??x ， 即曲線 2xy? 上的 點(diǎn)（ 23,26 ）和點(diǎn)（ 23,26? ）到點(diǎn) A（ 0， 2）的距離最短 高等數(shù)學(xué)（ 1）學(xué)習(xí)輔導(dǎo) (一 ) 第一章 函數(shù) ⒈理解函數(shù)的概念；掌握函數(shù) )(xfy? 中符號(hào) f ( )的含義；了解函數(shù)的兩要素；會(huì)求函數(shù)的定義域及函數(shù)值；會(huì)判斷兩個(gè)函數(shù)是否相等。 兩個(gè)函數(shù)相等的充分必要條件是定義域相等且對(duì)應(yīng)關(guān)系相同。 ⒉了解函數(shù)的主要性質(zhì)，即單調(diào)性、奇偶性、有界性和周期性 。 若對(duì)任意 x ，有 )()( xfxf ?? ，則 )(xf 稱(chēng)為偶函數(shù)，偶函數(shù)的圖形關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng)。 若對(duì)任意 x ，有 )()( xfxf ??? ，則 )(xf 稱(chēng)為奇函數(shù)，奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。 掌握奇偶函數(shù)的判別方法。 掌握單調(diào)函數(shù)、有界函數(shù)及周期函數(shù)的圖形特點(diǎn)。 ⒊熟練掌握基本初等函數(shù)的解析表達(dá)式、定義域、主要性質(zhì)和圖形。 基本初等函數(shù)是指以下幾種類(lèi)型： ① 常數(shù)函數(shù)： cy? ② 冪函數(shù)： )( 為實(shí)數(shù)??xy ? ③ 指數(shù)函數(shù)： )1,0( ??? aaay x ④ 對(duì)數(shù)函數(shù)： )1,0(lo g ??? aaxy a ⑤ 三角函數(shù)： xxxx c o t,tan,c o s,s in ⑥ 反三角函數(shù)： xxx a r c ta n,a r c c o s,a r c s i n ⒋了解復(fù)合函數(shù)、初等函數(shù)的概念，會(huì)把一個(gè)復(fù)合函數(shù)分解成較簡(jiǎn)單的函數(shù)。 7 如函數(shù) )1(arctan2e xy ?? 可以分解 uy e? ， 2vu? ， wv arctan? ， xw ??1 。分解后的函數(shù)前三個(gè)都是基本初等函數(shù)，而第四個(gè)函數(shù)是常數(shù)函 數(shù)和冪函數(shù)的和。 ⒌會(huì)列簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題的函數(shù)關(guān)系式。 例題選解 一、填空題 ⒈設(shè) )0(1)1( 2 ???? xxxxf，則 f x( )? 。 解：設(shè) xt1?，則 tx1?，得 t ttttf22 11111)( ?????? 故 xxxf 211)( ???。 ⒉函數(shù) xxxf ???? 5)2ln(1)(的定義域是 。 解：對(duì)函數(shù)的第一項(xiàng)，要求 02??x 且 0)2ln( ??x ，即 2?x 且 3?x ；對(duì)函數(shù)的第二項(xiàng)，要求 05 ??x ，即 5?x 。取公共部分，得函數(shù)定義域?yàn)?]5,3()3,2( ? 。 ⒊函數(shù) )(xf 的定義域?yàn)?]1,0[ ，則 )(lnxf 的定義域是 。 解：要使 )(lnxf 有意義，必須使 1ln0 ?? x ，由此得 )(lnxf 定義域?yàn)?]e,1[ 。 ⒋函數(shù) 392??? xxy的定義域?yàn)? 。 解：要使 392??? xxy有意義，必須滿足 092 ??x 且 03??x ，即 ??? ??33xx成立，解不等式方程組，得出 ??? ? ??? 3 33x xx 或，故得出函數(shù)的定義域?yàn)?),3(]3,( ?????? 。 ⒌設(shè) 2)(xx aaxf ???，則函數(shù)的圖形關(guān)于 對(duì)稱(chēng)。 解： )(xf 的定義域?yàn)?),( ???? ，且有 )(222)( )( xfaaaaaaxf xxxxxx ???????? ????? 即 )(xf 是偶函數(shù)，故圖形關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng)。 二、單項(xiàng)選擇題 ⒈下列各對(duì)函數(shù)中，（ ）是相同的。 A. xxgxxf ?? )(,)( 2 ； B. f x x g x x( ) ln , ( ) ln? ?2 2； C. f x x g x x( ) ln , ( ) ln? ?3 3； D. f xxx g x x( ) , ( )? ?? ? ?2 11 1 解： A 中兩函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同 , xxx ??2 ， B, D 三個(gè)選項(xiàng)中的每對(duì)函數(shù)的定義域都不同，所以 A B, D 都不是正確的選項(xiàng)；而選項(xiàng) C 中的函數(shù)定義域相等，且對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，故選項(xiàng) C 正確。 ⒉設(shè)函數(shù) fx() 的定義域?yàn)?( , )???? ，則函數(shù) f x f x( ) ( )－ ? 的圖形關(guān)于（ ）對(duì)稱(chēng)。 ＝ x； 軸； 軸； 解：設(shè) )()()( xfxfxF ??? ，則對(duì)任意 x 有 )())()(()()())(()()( xFxfxfxfxfxfxfxF ??????????????? 即 )(xF 是奇函數(shù)，故圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。選項(xiàng) D 正確。 3．設(shè)函數(shù) fx() 的定義域是全體實(shí)數(shù)，則函數(shù) )()( xfxf ?? 是（ ）． ； ； ； 數(shù) 解： A, B, D 三個(gè)選項(xiàng)都不一定滿足。 設(shè) )()()( xfxfxF ??? ，則對(duì)任意 x 有 )()()()()())(()()( xFxfxfxfxfxfxfxF ????????????? 即 )(xF 是偶函數(shù)，故選項(xiàng) C 正確。 ⒋函數(shù) )1,0(11)( ????? aaaaxxf xx（ ） ； B. 是偶函數(shù)； ； 。 解：利用奇偶函數(shù)的定義進(jìn)行驗(yàn)證。 )(11)1( )1(11)()( xfaaxaa aaxaaxxf xxxx xxxx ????????????? ???? 所以 B 正確。 8 ⒌若函數(shù) 221)1( xxxxf ???，則 ?)(xf （ ） A. 2x ； B. 22?x ； C. 2)1( ?x ； D. 12?x 。 解：因?yàn)?2)1(2121 22222 ???????? xxxxxx 所以 2)1()1( 2 ???? xxxxf 則 2)( 2 ?? xxf ，故選項(xiàng) B 正確。 第二章 極限與連續(xù) ⒈知道數(shù)列極限的“ ??N ”定義；了解函數(shù)極限的描述性定義。 ⒉理解無(wú)窮小量的概念；了解無(wú)窮小量的運(yùn)算性質(zhì)及其與無(wú)窮大量的關(guān)系；知道無(wú)窮小量的比較。 無(wú)窮小量的運(yùn)算性質(zhì)主要有： ① 有限個(gè)無(wú)窮小量的代數(shù)和是無(wú)窮小量； ② 有限個(gè)無(wú)窮小量的乘積是無(wú)窮小量； ③ 無(wú)窮小量和有界變量的乘積是無(wú)窮小量。 ⒊熟練掌握極限的計(jì)算方法：包括極限的四則運(yùn)算法則，消去極限式中的不定因子，利用無(wú)窮小量的運(yùn)算性質(zhì)，有理化根式，兩個(gè) 重要極限，函數(shù)的連續(xù)性等方法。 求極限有幾種典型的類(lèi)型 （ 1） aaxaxaxaaxax axakkkkxkkx 21)())((l i ml i m222020 ???????????? （ 2） 1001002 ))((l i ml i m00 xxxxxxxxxx baxxxxxx ??????? ???? （ 3）???????????????? ?????????mnmnbamnbxbxbxbaxaxaxammmmnnnnxx 00111011100l i m0 ?? ⒋熟練掌握兩個(gè)重要極限： limsinxxx? ?0 1 lim( )x xx?? ? ?11 e （或 lim( )x xx? ? ?011 e） 重要極限的一般形式： limsin ( )( )( )???xxx? ?0 1 lim ( ( ) )( )( )f x f xf x? ? ? ?1 1 e （或 lim ( ( ))( ) ( )g x g xg x? ? ?011 e） 利用兩個(gè)重要極限求極限，往往需要作適當(dāng)?shù)淖儞Q，將所求極限的函數(shù)變形為重要極限或重要極限的擴(kuò)展形式，再利用重要極限的結(jié)論和極限的四則運(yùn)算法則，如 3133s i nl i ms i nl i m3133s i ns i n31l i m3s i ns i nl i m0000 ?????????xxxxxxxxxxxxxx 312122eee])11[(l i m])21[(l i m)11()21(l i m1121l i m)12(l i m ?????????????????????????? ????????????? xxxxxxxxxxxxxxxxxxx ⒌理解函數(shù)連續(xù)性的定義；會(huì)判斷函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性；會(huì)求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間；了解函數(shù)間斷點(diǎn)的概念；會(huì)對(duì)函數(shù)的間斷點(diǎn)進(jìn)行分類(lèi)。 間斷點(diǎn)的分類(lèi)： 已知點(diǎn) 0xx? 是的間斷點(diǎn)， 若 )(xf 在點(diǎn) 0xx? 的左、右極限都存在，則 0xx? 稱(chēng)為 )(xf 的第一類(lèi)間斷點(diǎn)； 若 )(xf 在點(diǎn) 0xx? 的左、右極限有一個(gè)不存在，則 0xx? 稱(chēng)為 )(xf 的第二類(lèi)間斷點(diǎn)。 ⒍理解連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為 0）及復(fù)合仍是連續(xù)函數(shù)，初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)的結(jié)論，知道閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的幾個(gè)結(jié)論。 典型例題解析 一、填空題 ⒈極限 limsinsinxx xx? ?02 1 。 9 解： 010s i nl i m1s i nl i m)s i n1s i n(l i ms i n1s i nl i m 000