【正文】 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式，一層一層求導(dǎo)，關(guān)鍵是不要遺漏，最后化簡。 y y x? ( ) 由方程 xyxyy? ?e ln確定，求ddyx。 解：方法一：等式兩端對 x 求導(dǎo)得 2e y yxyxyyyxy y ???????? 整理得 xxyyx xyyy y ????? e22 方法二：由一階微 分形式不變性和微分法則，原式兩端求微分得 左端 yyxxyxyxy yyy dedd)e(d)(d)e(d ??????? 右端 2dd)(d)(l nd y yxxyxyyxxyyx ????? 由此得 2 dddedd y yxxyxyyyxxy y ????? 整理得 xxyyx xyyxy y ???? edd 22 y y x? ( ) 由參數(shù)方程 x ty t?? ??????221 確定，求ddyx。 解：由參數(shù)求導(dǎo)法 ttxyxytt 122 1dd ??????? 5．設(shè) xxy arctan)1( 2?? ，求 y? 。 解 1a rc t a n211)1(a rc t a n2 22 ??????? xxxxxxy 13 21 2a rc t a n2)1a rc t a n2( xxxxxy ???????? 第四章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用典型例題 一、填空題 )1ln( 2xy ?? 的單調(diào)增加區(qū)間是 . 解： 212xxy ????，當(dāng) 0?x 時 0??y .故函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是 )0,(?? . ??? xxx 1lnlim1 . 解：由洛必達法則 111l i m)1( )( l nl i m1lnl i m 111 ?????? ??? ??? xxxxx xxx )ee(21)( xxxf ???的極小值點為 。 解： )ee(21)( xxxf ????，令 0)( ??xf ， 解 得駐點 0?x ，又 0?x 時，0)( ??xf ； 0?x 時， 0)( ??xf ，所以 0?x 是函數(shù) )ee(21)( xxxf ??? 的極小值點。 二、單選題 12??xy 在區(qū)間 ]2,2[? 上是（ ） A） 單調(diào)增加 B）單調(diào)減少 C）先單調(diào)增加再單調(diào)減少 D）先單調(diào)減少再單調(diào)增加 解：選擇 D xy 2?? ，當(dāng) 0?x 時， 0)( ??xf ；當(dāng) 0?x 時， 0)( ??xf ；所以在區(qū)間 ]2,2[?上函數(shù) 12??xy 先單調(diào)減少再單調(diào)增加。 2. 若函數(shù) )(xfy? 滿足條件（ ），則在 ),( ba 內(nèi)至少存在一點 )( ba ???? ，使得 ab afbff ???? )()()(? 成立。 A）在 ),( ba 內(nèi)連續(xù)； B）在 ),( ba 內(nèi)可導(dǎo)； C）在 ),( ba 內(nèi)連續(xù)，在 ),( ba 內(nèi)可導(dǎo)； D）在 ],[ ba 內(nèi)連續(xù)，在 ),( ba 內(nèi)可導(dǎo)。 解：選擇 D。 由拉格朗日定理條件，函數(shù) )(xf 在 ],[ ba 內(nèi)連續(xù)，在 ),( ba 內(nèi)可導(dǎo)，所以選擇 D正確。 3. 滿足方程 0)( ??xf 的點是函數(shù) )(xfy? 的（ ）。 A）極值點 B）拐點 C）駐點 D）間斷點 解：選擇 C。 依駐點定義，函數(shù)的駐點是使函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)為零的點。 )(xf 在 ),( ba 內(nèi)連續(xù)， ),(0 bax ? ，且 0)()( 00 ????? xfxf ，則函數(shù)在 0xx? 處（ ）。 A）取得極大值 B）取得極小值 C）一定有拐點 ))(,( 00 xfx D）可能有極值，也可能有拐點 解：選擇 D 函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)為零，說明 0x 可能是函數(shù)的極值點；函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)為零，說明 0x可能是函數(shù)的拐點，所以選擇 D。 三、解答題 求函數(shù) )1ln( xxy ??? 的單調(diào)區(qū)間。 解：函數(shù) )1ln( xxy ??? 的定義區(qū)間為 ),1( ??? ，由于 xxxy ?????? 11 11 令 0??y ，解得 0?x ，這樣可以將定義區(qū)間分成 )0,1(? 和 ),0( ?? 兩個區(qū)間來討論。當(dāng) 01 ??? x 時， 0??y ；當(dāng) ????x0 是， 0??y 。 由此得出，函數(shù) )1ln( xxy ??? 在 )0,1(? 內(nèi)單調(diào)遞減，在 ),0( ?? 內(nèi)單調(diào)增加。 欲做一個底為正方形，容積為 108 立方米的長方體開口容器，怎樣做法所用材料最?。? 解：設(shè)底邊邊長為 x ，高為 h ，所用材料為 y 且 22108,108 xhhx ?? xhxy 42 ?? 14 22224321084 xxxxx ???? 232 43224322 xxxxy ?????? 令 0??y 得 60)216(2 3 ???? xx ， 且因為 0,6。0,6 ?????? yxyx ，所以 108,6 ?? yx 為最小值 .此時 3?h 。 于是以 6 米為底邊長， 3 米為高做長方體容器用料最省。 3．證明題：當(dāng) 1?x 時，證明不等式 ee xx? 證 設(shè)函數(shù) xxf ln)( ? ，因為 )(xf 在 ),0( ?? 上連續(xù)可導(dǎo)，所以 )(xf 在 ],1[ x 上滿足拉格朗日中值定理條件，有公式可得 )1)(()1()( ???? xcffxf 其中 xc??1 ，即 )1(11lnln ??? xcx 又由于 1?c ，有 11?c 故有 1ln ??xx 兩邊同時取以 e 為底的指數(shù)，有 1ln ee ?? xx 即 eexx? 所以當(dāng) 1?x 時，有不等式 ee xx? 成立 . 第 5 章學(xué)習(xí)輔導(dǎo)（ 2） 典型例題解析 一、填空題 ⒈曲線在任意一點處的切線斜率為 2x ，且曲線過點 (,)25 ， 則曲線方程為 。 解： cxxx ??? 2d2 ，即 曲線方程為 cxy ?? 2 。將點 )5,2( 代入得 1?c ，所求曲線方程為 12 ??xy ⒉已知函數(shù) f x() 的一個原函數(shù)是 2arctanx ，則 ?? )(xf 。 解： 42 12)(a rc t a n)( xxxxf ???? 24424444 )1( 62)1( 8)1(2)1 2()( x xx xxxxxf ???? ??????? ⒊已知 Fx() 是 f x() 的一個原函數(shù)，那么 f ax b x( )? ?? d 。 解：用湊微分法 )d()(1)d()(1d)( ??? ?????? baxbaxfaaxbaxfaxbaxf cbaxFabaxFa ????? ? )(1)(d1 二、單項選擇題 ⒈設(shè) cxxxxf ??? lnd)( ，則 ?)(xf （ ）。 A. 1ln?x ； B. xln ； C. x ； D. xxln 解：因 1lnln)ln()( ?????? xxxxxxxf 故選項 A 正確． ⒉設(shè) Fx() 是 f x() 的一個原函數(shù)，則等式（ ）成立。 A.dd dx f x x F x( ( ) ) ( )? ?； B. ? ? ?? F x x f x c( ) ( )d ； C. ? ?? F x x F x( ) ( )d ； D.dd dx f x x f x( ( ) ) ( )? ? 解：正確的等式關(guān)系是 )()d)((dd xfxxfx ?? cxFxxF ???? )(d)( 故選項 D 正確． ⒊設(shè) Fx() 是 f x() 的一個原函數(shù)，則 ??? xxxf d)1( 2 （ ）。 15 ??? 10 210 2 33 dttdxx A. cxF ?? )1( 2 ； B. cxF ??? )1( 2 ； C. cxF ??? )1(21 2； D. cxF ?)( 解：由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得 )1)(1(21])1(21[ 222 ???????? xxfxF )1()1)(1(21 222 xxfxxf ??????? 故選項 C 正確． 三、計算題 ⒈計算下列積分： ⑴x x x12?? d ⑵ 122?? xx xd 解：⑴利用第一換元法 ??? ??????? )d(112 1)d(12 1d1 22222 xxxxxxx cxx ?????? ? 22 1)1d( ⑵利用第二換元法，設(shè) tx sin? ， ttx dcosd ? ? ??? ??????? tttt ttt ttxx x 1)ds i n1(ds i ns i n1ds i n c osc osd1 22 222 2 cxxxctt ????????? a rc s i n1c ot 2 ⒉計算下列積分： ⑴ ? xxdarcsin ⑵ ? xxxdln2 解：⑴利用分部積分法 ??? ????? xxxxxxxxxxx d1a rc s i n)(a rc s i nda rc s i nda rc s i n 2 )d(112 1a rc s i n 22? ???? xxxx cxxx ???? 21a rc s i n ⑵利用分部積分法 )lnd(1ln)1d(lndln 2 ??? ????? xxx xxxxx x cxxxxxx x ??????? ? 1lnd1ln 2 高等數(shù)學(xué)（ 1）第六章學(xué)習(xí)輔導(dǎo) 綜合練習(xí)題 （一）單項選擇題 （ 1）．下列式子中， 正確的是（ ）。 A. 0)(22 ?? dxxf B. C. dxxdxx ?? ? 1010 2 D. (2). 下列式子中，正確的是（ ） A. xtdtx c osc os0 ????????? B. C. 0cos0 ?????????x tdt D. xtdtx c osc os0 ????????? (3) 下列廣義積分收斂的是（ ）。 A ???0 de xx .B. xxd11??? C. ???0 cos dxx D. xx d1 21??? (4) 若 )(xf 是 ],[ aa? 上的連續(xù)偶函數(shù)，則 )()( ???aa dxxf 。 A. ??0 d)(a xxf B． 0 ?? ? baab dxxfdxxf )()(xtd t co sco s /20 ??????????? 16 24 x?C． ??0 d)(2 a xxf D． ?a xxf0 d)( (5) 若 )(xf 與 )(xg 是 ],[ ba 上的兩條光滑曲線