【正文】 ．，則的分布函數(shù)．，則 6 ．，則． 協(xié)方差 ．1．統(tǒng)計(jì)量就是 不含未知參數(shù)的樣本函數(shù) ． 2．參數(shù)估計(jì)的兩種方法是 點(diǎn)估計(jì) 和 區(qū)間估計(jì) ．常用的參數(shù)點(diǎn)估計(jì)有 矩估計(jì)法 和 最大似然估計(jì) 兩種方法． 3．比較估計(jì)量好壞的兩個(gè)重要標(biāo)準(zhǔn)是 無(wú)偏性 ， 有效性 ． 4．設(shè)是來(lái)自正態(tài)總體（已知）的樣本值，按給定的顯著性水平檢驗(yàn)，需選取統(tǒng)計(jì)量． 5．假設(shè)檢驗(yàn)中的顯著性水平為事件（u為臨界值）發(fā)生的概率．1. 設(shè)均為n階可逆矩陣，逆矩陣分別為，則　2. 向量組線性相關(guān)，則.　3. 已知，則．4. 已知隨機(jī)變量，那么．　5. 設(shè)是來(lái)自正態(tài)總體的一個(gè)樣本，則．1. 設(shè)均為3階矩陣，且，則．，則．23. 設(shè)是三個(gè)事件，那么發(fā)生，但至少有一個(gè)不發(fā)生的事件表示為.4. 設(shè)隨機(jī)變量，則．　5. 設(shè)是來(lái)自正態(tài)總體的一個(gè)樣本，則． 三、計(jì)算題1. 已知，證明可逆，并求．解： ， 因?yàn)?，所以 可逆 且 2. 設(shè)矩陣，求（1），（2）．解： （1） （2）利用初等行變換得　　　　　　　　　　　　　　即　　　　 3. 設(shè)矩陣，求及．　　解： 利用初等行變換得　　　　　　　　　　　　　　即　　　　　　　　　由矩陣乘法得　　　　　4. 已知，其中，求．解：由方程，得，且 利用初等行變換得　　　　　　　　　　　　　　即　　　　由矩陣乘法得　　　　　5. 設(shè)矩陣，求矩陣的秩．解：用初等行變換將矩陣化為階梯形　　　　　 由此可知矩陣的秩為2．　　　6. 求向量組，，的秩，并求該向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組．解：將向量組組成的矩陣化為階梯形　　　 　　由此可知該向量組的秩為3，且是一個(gè)極大無(wú)關(guān)組． 7. 分別說(shuō)明當(dāng)取何值時(shí)，線性方程組無(wú)解、有唯一解、有無(wú)窮多解．在有無(wú)窮多解的情況下求出一般解．　　解： 將方程組的增廣矩陣化為階梯形　　　　　　…　　當(dāng)時(shí)，方程組無(wú)解。當(dāng)時(shí)，方程組有唯一解。當(dāng)時(shí)，方程組有無(wú)窮多解?！　　　　　　　　　≡诜匠探M有無(wú)窮多解的情況下，一般解為　　　　　?。ㄆ渲袨樽杂晌粗浚　　?. 求線性方程組的全部解．解：將方程組的增廣矩陣化為階梯形　　　　　此時(shí)齊次方程組化為　　　　　分別令，和，得齊次方程組的一組基礎(chǔ)解系　　　　　　 　　　　　　　　　　令，得非齊次方程組的一個(gè)特解　　　　　由此得原方程組的全部解為　　　　　?。ㄆ渲袨槿我獬?shù)）　　9. 設(shè)齊次線性方程組的系數(shù)矩陣經(jīng)過(guò)初等行變換，得求此齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系和通解．解： 因?yàn)?得一般解： （其中是自由元） 令，得；令，得．所以，是方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系． 方程組的通解為：，其中是任意常數(shù)． 10．當(dāng)取何值時(shí)，線性方程組有解，在有解的情況下求方程組的全部解．解：將方程組的增廣矩陣化為階梯形　　　　　由此可知當(dāng)時(shí)，方程組無(wú)解。當(dāng)時(shí)，方程組有解。　　　　此時(shí)齊次方程組化為　　　　　分別令及，得齊次方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系　　　　　令，得非齊次方程組的一個(gè)特解　　　　　由此得原方程組的全部解為　　　　　?。ㄆ渲袨槿我獬?shù)）　　11. 假設(shè)為兩事件，已知，求．解： 12. 一批產(chǎn)品分別來(lái)自甲、乙、丙三個(gè)廠家，其中50%來(lái)自甲廠、30%來(lái)自乙廠、20%來(lái)自丙廠。現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任取一件，求取出的產(chǎn)品是合格品的概率.解：設(shè)如下事件：?。骸爱a(chǎn)品來(lái)自甲廠” ?。骸爱a(chǎn)品來(lái)自乙廠” ：“產(chǎn)品來(lái)自丙廠” ：“產(chǎn)品是合格品”由全概公式有　　　　　　　　　由對(duì)立事件的關(guān)系可知　　　　　13. 一袋中有10個(gè)球，其中3個(gè)黑球7個(gè)白球．今從中依次無(wú)放回地抽取兩個(gè)，求第2次抽取出的是黑球的概率.解：設(shè)如下事件：?。骸暗?次抽取出的是黑球” ：“第2次抽取出的是黑球”顯然有，由全概公式得　　　　　　　　 　　　　14. 已知某批零件的加工由兩道工序完成，，兩道工序的次品率彼此無(wú)關(guān)，求這批零件的合格率.解： 設(shè)如下事件：?。骸暗谝坏拦ば蚣庸さ牧慵谴纹贰保骸暗诙拦ば蚣庸さ牧慵谴纹贰?：“零件是合格品”由事件的關(guān)系有　　　　　　　　　　　　已知相互獨(dú)立，由加法公式得　　　　　　　　　　 　　由對(duì)立事件的關(guān)系可知 　15. 設(shè)，求；（2）；（3）.解： （1） （2） （3）16. 設(shè)，試求⑴；⑵．（已知）解：⑴　　　　　　　　 　…… ⑵　　　　　　　 　17. 設(shè)，求⑴；⑵．解：⑴由期望的定義得 　　 　 ⑵ 　　　　　 18. 某車間生產(chǎn)滾珠，已知滾珠直徑服從正態(tài)分布．今從一批產(chǎn)品里隨機(jī)取出9個(gè)，若已知這批滾珠直徑的方差為，．解：由于已知，故選取樣本函數(shù)　　　已知，經(jīng)計(jì)算得　　　　　，又由已知條件，故此置信區(qū)間為　　　19. 據(jù)資料分析，某廠生產(chǎn)的一批磚，其抗斷強(qiáng)度，今從這批磚中隨機(jī)地抽取了9塊，測(cè)得抗斷強(qiáng)度（單位：kg／cm2），問(wèn)這批磚的抗斷強(qiáng)度是否合格（）．解： 零假設(shè)．由于已知，故選取樣本函數(shù)　　　　　已知，經(jīng)計(jì)算得，　 　　由已知條件，故拒絕零假設(shè)，即這批磚的抗斷強(qiáng)度不合格?！　?0. 對(duì)一種產(chǎn)品的某項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)進(jìn)行測(cè)量，該指標(biāo)服從正態(tài)分布，今從這種產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取了16件，，（）．解： 由于未知，故選取樣本函數(shù)　　　　已知，經(jīng)計(jì)算得　　　　　　　　　　，又由已知條件，故此置信區(qū)間為　　　 ⒈設(shè)，求⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹．答案： ⒉設(shè)，求．解： ⒊已知，求滿足方程中的．解： ⒋寫(xiě)出4階行列式中元素的代數(shù)余子式，并求其值．答案： ⒌用初等行變換求下列矩陣的逆矩陣： ⑴ ； ⑵ ； ⑶ ．解：（1）（2）(過(guò)程略) (3) ⒍求矩陣的秩．解： 　　1．用消元法解線性方程組解：　　方程組解為２．設(shè)有線性方程組 為何值時(shí)，方程組有唯一解?或有無(wú)窮多解?解：］ 當(dāng)且時(shí)，方程組有唯一解當(dāng)時(shí)，方程組有無(wú)窮多解 ３．判斷向量能否由向量組線性表出，若能，寫(xiě)出一種表出方式．其中 解：向量能否由向量組線性表出，當(dāng)且僅當(dāng)方程組有解這里　 方程組無(wú)解 不能由向量線性表出 ４．計(jì)算下列向量組的秩，并且（1）判斷該向量組是否線性相關(guān) 解：該向量組線性相關(guān) ５．求齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系．解： 方程組的一般解為　　令，得基礎(chǔ)解系　 ６．求下列線性方程組的全部解． 解：　　方程組一般解為令，這里，為任意常數(shù)，得方程組通解７．試證：任一４維向量都可由向量組，，線性表示，且表示方式唯一，寫(xiě)出這種表示方式．證明：　　　任一４維向量可唯一表示為　　⒏試證：線性方程組有解時(shí)，它有唯一解的充分必要條件是：相應(yīng)的齊次線性方程組只有零解．證明：設(shè)為含個(gè)未知量的線性方程組　　　該方程組有解，即從而有唯一解當(dāng)且僅當(dāng)而相應(yīng)齊次線性方程組只有零解的充分必要條件是 有唯一解的充分必要條件是：相應(yīng)的齊次線性方程組只有零解9．設(shè)是可逆矩陣Ａ的特征值，且，試證：是矩陣的特征值．證明：是可逆矩陣Ａ的特征值　　　 存在向量，使 即是矩陣的特征值10．用配方法將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型．解：　令，，即則將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型　，試用的運(yùn)算分別表示下列事件： ⑴ 中至少有一個(gè)發(fā)生； ⑵ 中只有一個(gè)發(fā)生； ⑶ 中至多有一個(gè)發(fā)生； ⑷ 中至少有兩個(gè)發(fā)生； ⑸ 中不多于兩個(gè)發(fā)生； ⑹ 中只有發(fā)生．解:(1) (2) (3) (4) (5) (6)2. 袋中有3個(gè)紅球，2個(gè)白球，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2個(gè)球，求下列事件的概率： ⑴ 2球恰好同色； ⑵ 2球中至少有1紅球．解:設(shè)=“2球恰好同色”，=“2球中至少有1紅球” 3. 加工某種零件需要兩道工序，第一道工序的次品率是2%，如果第一道工序出次品則此零件為次品；如果第一道工序出正品，則由第二道工序加工，第二道工序的次品率是3%，求加工出來(lái)的零件是正品的概率．解：設(shè)“第i道工序出正品”（i=1,2）4. 市場(chǎng)供應(yīng)的熱水瓶中，甲廠產(chǎn)品占50%，乙廠產(chǎn)品占30%，丙廠產(chǎn)品占20%，甲、乙、丙廠產(chǎn)品的合格率分別為90%,85%,80%，求買到一個(gè)熱水瓶是合格品的概率．解：設(shè) 5. 某射手連續(xù)向一目標(biāo)射擊，直到命中為止．已知他每發(fā)命中的概率是，求所需設(shè)計(jì)次數(shù)的概率分布．解：……………………故X的概率分布是試求．解：試求．解：8. 設(shè)，求．解：9. 設(shè)，計(jì)算⑴；⑵．解：，已知，設(shè)，求．解： 1．設(shè)對(duì)總體得到一個(gè)容量為10的樣本值, , , , , , , , , 試分別計(jì)算樣本均值和樣本方差．解： 2．設(shè)總體的概率密度函數(shù)為試分別用矩估計(jì)法和最大似然估計(jì)法估計(jì)參數(shù)． 解：提示教材第214頁(yè)例3矩估計(jì)：最大似然估計(jì)：， 3．測(cè)兩點(diǎn)之間的直線距離5次，測(cè)得距離的值為（單位：m）： 測(cè)量值可以認(rèn)為是服從正態(tài)分布的，求與的估計(jì)值．并在⑴；⑵未知的情況下，．解： （1）當(dāng)時(shí)，由1－α＝， 查表得： 故所求置信區(qū)間為： （2）當(dāng)未知時(shí)，用替代，查t (4, ) ，得 故所求置信區(qū)間為：4．設(shè)某產(chǎn)品的性能指標(biāo)服從正態(tài)分布，從歷史資料已知，抽查10個(gè)樣品，求得均值為17，取顯著性水平，問(wèn)原假設(shè)是否成立． 解：，由 ，查表得：因?yàn)? ，所以拒絕 5．某零件長(zhǎng)度服從正態(tài)分布，現(xiàn)換了新材料，從產(chǎn)品中隨機(jī)抽取8個(gè)樣品，測(cè)得的長(zhǎng)度為（單位：cm）：, , , , , , , 問(wèn)用新材料做的零件平均長(zhǎng)度是否起了變化（）．解：由已知條件可求得： ∵ | T | ∴ 接受H0即用新材料做的零件平均長(zhǎng)度沒(méi)有變化。2. 當(dāng)取何值時(shí)，線性方程組有解，在有解的情況下求方程組的全部解．解：將方程組的增廣矩陣化為階梯形　　　　　由此可知當(dāng)時(shí)，方程組無(wú)解。當(dāng)時(shí)，方程組有解?！　　　　　?分　　此時(shí)相應(yīng)齊次方程組的一般解為　　　　　 （是自由未知量）分別令及，得齊次方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系　　　　　令，得非齊次方程組的一個(gè)特解　　　　　由此得原方程組的全部解為　?。ㄆ渲袨槿我獬?shù)）　4. 已知某種零件重量，采用新技術(shù)后，取了9個(gè)樣品，測(cè)得重量（單位：kg），已知方差不變，問(wèn)平均重量是否仍為15（）？解： 零假設(shè)．由于已知，故選取樣本函數(shù)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　已知，經(jīng)計(jì)算得　　　　　，　　　 　　　　　由已知條件，故接受零假設(shè)，即零件平均重量仍為15．　1已知，其中，求．解：利用初等行變換得　　　　　　　　　　　　　　即　　　　 　 　　由矩陣乘法運(yùn)算得　　　　　的全部解．解： 將方程組的增廣矩陣化為階梯形　　　　　　　方程組的一般解為　　　　　?。ㄆ渲袨樽杂晌粗浚? 令=0，得到方程的一個(gè)特解. 方程組相應(yīng)的齊次方程的一般解為 　?。ㄆ渲袨樽杂晌粗浚┝?1，得到方程的一個(gè)基礎(chǔ)解系. 于是，方程組的全部解為 （其中為任意常數(shù)） 3. 設(shè)，求和.（其中,）解：設(shè)　　　 　 == 4. 某一批零件重量，隨機(jī)抽取4個(gè)測(cè)得重量（單位：千克）, , , ，可否認(rèn)為這批零件的平均重量為15千克(已知)？解：零假設(shè)．由于已知，故選取樣本函數(shù)　　　　　　　　　　　　　　　經(jīng)計(jì)算得　　　　　　　　　　　　，已知，故接受零假設(shè)，即可以認(rèn)為這批零件的平均重量為15千克四、證明題 1. 設(shè)是階矩陣，可逆，且，試證：．證明：在的兩端右乘，得　　　　　上式左端為 右端為 故有 證畢　　　2. 設(shè),是同階對(duì)稱矩陣，試證：也是對(duì)稱矩陣．證明：因 故可知是對(duì)稱矩陣．證畢3. 可逆的對(duì)稱矩陣的逆矩陣也是對(duì)稱矩陣．證明：設(shè)可逆，且則，所以也是對(duì)稱矩陣． 證畢4. 設(shè)是線性無(wú)關(guān)的，證明, 也線性無(wú)關(guān). 證明： 設(shè)有一組數(shù)，使得 成立，即，由已知線性無(wú)關(guān)，故有該方程組只有零解，得，故是線性無(wú)關(guān)的 證畢5. 設(shè),是兩個(gè)隨機(jī)事件，試證：．證明：由事件的關(guān)系可知　　　　　而，故由加法公式和乘法公式可知　　　　　 證畢6. 已知隨機(jī)事件,滿足，試證：．證明：已知，由事件的關(guān)系可知　　　　　而，故由概率的性質(zhì)可知　　　　　即　　　　 證畢7. 設(shè)隨機(jī)事件,滿足，試證：．證明： 由可知，因此得，故　　　　　由因?yàn)?，故有　　　　? 證畢8. 設(shè)隨機(jī)變量的均值、方