【正文】 求極限有幾種典型的類型 （ 1） aaxaxaxaaxax axakkkkxkkx 21)())((l i ml i m222020 ???????????? （ 2） 1001002 ))((l i ml i m00 xxxxxxxxxx baxxxxxx ??????? ???? （ 3）???????????????? ?????????mnmnbamnbxbxbxbaxaxaxammmmnnnnxx 00111011100l i m0 ?? ⒋熟練掌握兩個(gè)重要極限： limsinxxx? ?0 1 lim( )x xx?? ? ?11 e （或 lim( )x xx? ? ?011 e） 重要極限的一般形式： limsin ( )( )( )???xxx? ?0 1 lim ( ( ) )( )( )f x f xf x? ? ? ?1 1 e （或 lim ( ( ))( ) ( )g x g xg x? ? ?011 e） 利用兩個(gè)重要極限求極限，往往需要作適當(dāng)?shù)淖儞Q，將所求極限的函數(shù)變形為重要極限或重要極限的擴(kuò)展形式，再利用重要極限的結(jié)論和極限的四則運(yùn)算法則，如 3133s i nl i ms i nl i m3133s i ns i n31l i m3s i ns i nl i m0000 ?????????xxxxxxxxxxxxxx 312122eee])11[(l i m])21[(l i m)11()21(l i m1121l i m)12(l i m ?????????????????????????? ????????????? xxxxxxxxxxxxxxxxxxx ⒌理解函數(shù)連續(xù)性的定義；會(huì)判斷函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性；會(huì)求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間；了解函數(shù)間斷點(diǎn)的概念；會(huì)對函數(shù)的間斷點(diǎn)進(jìn)行分類。 無窮小量的運(yùn)算性質(zhì)主要有： ① 有限個(gè)無窮小量的代數(shù)和是無窮小量； ② 有限個(gè)無窮小量的乘積是無窮小量； ③ 無窮小量和有界變量的乘積是無窮小量。 第二章 極限與連續(xù) ⒈知道數(shù)列極限的“ ??N ”定義；了解函數(shù)極限的描述性定義。 8 ⒌若函數(shù) 221)1( xxxxf ???，則 ?)(xf （ ） A. 2x ； B. 22?x ； C. 2)1( ?x ； D. 12?x 。 解：利用奇偶函數(shù)的定義進(jìn)行驗(yàn)證。 設(shè) )()()( xfxfxF ??? ，則對任意 x 有 )()()()()())(()()( xFxfxfxfxfxfxfxF ????????????? 即 )(xF 是偶函數(shù)，故選項(xiàng) C 正確。選項(xiàng) D 正確。 ⒉設(shè)函數(shù) fx() 的定義域?yàn)?( , )???? ，則函數(shù) f x f x( ) ( )－ ? 的圖形關(guān)于（ ）對稱。 二、單項(xiàng)選擇題 ⒈下列各對函數(shù)中，（ ）是相同的。 ⒌設(shè) 2)(xx aaxf ???，則函數(shù)的圖形關(guān)于 對稱。 ⒋函數(shù) 392??? xxy的定義域?yàn)? 。 ⒊函數(shù) )(xf 的定義域?yàn)?]1,0[ ，則 )(lnxf 的定義域是 。 解：對函數(shù)的第一項(xiàng)，要求 02??x 且 0)2ln( ??x ，即 2?x 且 3?x ；對函數(shù)的第二項(xiàng)，要求 05 ??x ，即 5?x 。 解：設(shè) xt1?，則 tx1?，得 t ttttf22 11111)( ?????? 故 xxxf 211)( ???。 ⒌會(huì)列簡單的應(yīng)用問題的函數(shù)關(guān)系式。 7 如函數(shù) )1(arctan2e xy ?? 可以分解 uy e? ， 2vu? ， wv arctan? ， xw ??1 。 ⒊熟練掌握基本初等函數(shù)的解析表達(dá)式、定義域、主要性質(zhì)和圖形。 掌握奇偶函數(shù)的判別方法。 若對任意 x ，有 )()( xfxf ?? ，則 )(xf 稱為偶函數(shù)，偶函數(shù)的圖形關(guān)于 y 軸對稱。 兩個(gè)函數(shù)相等的充分必要條件是定義域相等且對應(yīng)關(guān)系相同。 08074 求曲線 2xy? 上的點(diǎn)，使其到點(diǎn) A（ 0， 2）的距離最短。 欲做一個(gè)底為正方形，容積為 立方米的長方體開口容器，怎樣做法用料最省？ 解： 本題 的解法 與 22 同，只需把 V= 代入即可。 生產(chǎn)一種體積為 V 的 無 蓋圓柱形容器，問容器的底半徑與高各為多少時(shí)用料最省 ？ 解： 設(shè)容器的底半徑為 r ，高為 h ， 則 無 蓋 圓柱形容器表面積為 rVrrhrS 2ππ2π 22 ????，令 02π22 ???? rVrS， 得 rhVr ?? ,π3 ， 由實(shí)際問題可知，當(dāng)?shù)装霃? πVr?與高 rh? 時(shí)可使用料最省 。 由實(shí)際問題可知，當(dāng)?shù)装霃? π2Vr?與高 rh 2? 時(shí)可使用料最省 。 解：?????? ).(c os.)(c os2ln2)c os()2( x xxxxx xy xx c oss nln2 xxxx ?? 0807. 設(shè) 2sin sin xey x ?? ，求 y? 解：2s i n2s i n c o s2c o s)( s i n)( xxxexey xx ??????? 2xxey? ，求 y? 解： 2222 22)()( xxxx exeexexy ??????? 2sin xey x ?? ，求 ?y 解： xxexxey xx 2c o s)().( s i n s in2s in ??????? xxy ecosln ?? ，求 ?y 解： xxxx xeexy es i ne1).(s i n)(l n ??????? （三） 積分計(jì)算： （ 2 小題， 共 22 分） 湊微分 類型 1： ?? ?? )1(d12 xdxx ?? 計(jì)算 ? xx xd1cos2 解： cxxdxxx x ????? ?? 1s i n)1(1c o sd1c o s2 ? xx dx1sin2． 解： cxxxx x ???? ?? 1c o s)1(dx1s i nd1s i n2 0701 計(jì)算 ? xxxde21 ． 解： ??? ?? )1(dede 121xxx xx cx ?? 1e 湊微分 類型 2： ?? ? xdx ?? 2dx1 .計(jì)算 ? xxxdcos． 解： cxxdxxx x ??? ?? s i n2c os2dc os ? xxdxsin． 解： cxxdxxx ???? ?? c os2s i n2dxs i n ? xe x dx 解 ： cexdexe xxx ??? ?? 22dx 湊微分 類型 3： ?? ? xdx lndx1 ?? ， )ln(dx1 ?? ?? xadx ?? 計(jì)算 ? xdxlnx1 解： cxduux xdx ???? ??? |ln|ln1lnlndxl nx1 . 計(jì)算 ??e1 dln2 xx x 解： ?? ???? e1e1 )ln2()dln2(dln2 xxxx x 25)ln2(21 12 ??? ex 5 定積分計(jì)算題 ， 分部積分法 類型 1 ：cxaxaxdxxaxxax dxax dxx aaaaaa ??????????? ???? ??? 12111 )1( 1ln111ln11ln11ln 計(jì)算 ?e1 lnxdxx 解： 1?a ， cxxxx dxx dxx ????? ? 222 41ln21ln21ln 5 411)4ln2(ln21l nx d2221 2e1eexxxx dxxx e ????? ?? 1)10()(1)ln(dlne1 ???????? eeexxxxx 計(jì)算 ?e1 2 dln xxx 解： 2??a ， cxxxxxddxx x ?????? ?? 1ln1)1(lnln 2 eexx xxxxx x 211)1ln()1(dlndln e1e1 2 ??????? ?? 計(jì)算 dxxxe?1 ln 解：21??a， cxxxxxddxxx ???? ?? 4ln2ln2ln dxxxe?1 ln =421)4ln2(ln2 1 ?????? eexxxxxde 0807 ??e1 lnxdx x 94921)94ln32( xl nx d32 232323e1 23 ????? eexxx 0707 ?? ? e1 3e1 2 nxd31dln xlxxx 91921)91lnx31( 333 ???? eexx 類型 2 ceaxeaexdadxxe axaxaxax ???? ??211)(1 xx dexdxxe 21010 2 21 ?? ? 414101)4121( 222 ???? eexe xx xx dexdxxe ?? ?? ?? 1010 1201)( 1 ?????? ??? eexe xx xx dexdxxe 21010 2 21 ?? ?? ?? 414301)4121( 222 ?????? ??? eexe xx （ 0801 考題） ??10 xdxe x 101)xe(xde10 xx ???? xe 類型 3： caxaaxxaax dxaaxxaax dxx ??????? ?? s i n1c os1c os1c os1s i n2 caxaaxxaax dxaaxxaax dxx ????? ?? c os1s i n1s i n1s i n1c os2 ??20 sin? xdxx 10102)s i nc o s(c o s20 ??????? ? ?? xxxxxd ??20 cos? xdxx 1202)c o ss i n(s i n20 ????? ??? xxxxxd ?? ??????? cxxxx dxxxxxx 2s i n412c os212c os212c os21d2s i n ??20 2sin? xdxx 40402)2s i n412c o s21(2c o s21 20???? ??????? ? xxxxxd 22 2202101 1 1 1c o s 2 s in 2 | s in 2 c o s 2 |2 2 4 2x x d x x x x d x x?? ??? ? ? ? ??? 四、應(yīng)用題（ 1 題， 16 分） 類型 1： 圓柱體上底的中心到下底的邊沿的距離為 l，問當(dāng)?shù)装霃脚c高分別為多少時(shí)，圓柱體的體積最大？ 解：如圖所示，圓柱體高 h 與底半徑 r 滿足 222 lrh ?? 圓柱體的體積公式為 hhlhrV )(π 222 ??? ? 求導(dǎo) 并 令 0)3(π 22 ???? hlV 得 lh 33? ，并由此解出 lr 36? ． 即當(dāng)?shù)装霃?lr 36? ，高 lh 33? 時(shí)，圓柱體的體積最大． 類型 2： 已知體積或容積，求表面積最小時(shí)的尺寸。 11 xxxy e)3( ?? 4 解： y? ＝ ? ?332233xxx e x e?? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?13223 32 xxx e x e??? ? ?????13223 32 xx x e??? ? ????? 12 xxxy lncot 2?? xxxxxxx ??????????? ln2c s c)( l nln)(c s c)ln()( c o t 22222 13 設(shè) xxey x lntan ?? ，求 y? ． 解 ： xxexexxexexxey xxxxx 1s e ctan1)(t a ntan)()(l n)tan( 2 ????????????? 類型 2： 加減法與 復(fù)合函數(shù) 混合運(yùn)算的求導(dǎo)，先