【正文】 因?yàn)?)(xf 在 ),0( ?? 上連續(xù)可導(dǎo)，所以 )(xf 在 ],1[ x 上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件，有公式可得 )1)(()1()( ???? xcffxf 其中 xc??1 ，即 )1(11lnln ??? xcx 又由 于 1?c ，有 11?c 故有 1ln ??xx 兩邊同時(shí)取以 e 為底的指數(shù)，有 1ln ee ?? xx 即 eexx? 所以當(dāng) 1?x 時(shí)，有不等式 ee xx ? 成立 . 第 5 章學(xué)習(xí)輔導(dǎo)（ 2） 典型例題解析 一、填空題 ⒈曲線在任意一點(diǎn)處的切線斜率為 2x ，且曲線過(guò)點(diǎn) (, )25 ，則曲線方程為 。0,6 ?????? yxyx ，所以 108,6 ?? yx 為最小值 .此時(shí) 3?h 。 由此得出，函數(shù) )1ln( xxy ??? 在 )0,1(? 內(nèi)單調(diào)遞減，在 ),0( ?? 內(nèi)單調(diào)增加。 解：函數(shù) )1ln( xxy ??? 的定義區(qū)間為 ),1( ??? ，由于 xxxy ?????? 11 11 令 0??y ，解得 0?x ，這樣可以將定義區(qū)間分成 )0,1(? 和 ),0( ?? 兩個(gè)區(qū)間來(lái)討論。 A）取得極大值 B）取得極小值 C）一定有拐點(diǎn) ))(,( 00 xfx D）可能有極值，也可能有拐點(diǎn) 解：選擇 D 函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)為零，說(shuō)明 0x 可能是函數(shù)的極值點(diǎn)；函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)為零，說(shuō)明 0x 可能是函數(shù)的拐點(diǎn)，所以選擇 D。 依駐點(diǎn)定義，函數(shù)的駐點(diǎn)是使函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)。 3. 滿足方程 0)( ?? xf 的點(diǎn)是函數(shù) )(xfy? 的（ ）。 解：選擇 D。 2. 若函數(shù) )(xfy? 滿足條件（ ），則在 ),( ba 內(nèi)至少存在一點(diǎn) )( ba ???? ，使得 ab afbff ???? )()()(? 成立。 10 解： )ee(21)( xxxf ????，令 0)( ?? xf ，解得駐點(diǎn) 0?x ，又 0?x 時(shí)， 0)( ?? xf ； 0?x 時(shí)， 0)( ?? xf ，所以 0?x是函數(shù) )ee(21)( xxxf ???的極小值點(diǎn)。 解：由參數(shù)求導(dǎo)法 ttxyxytt 122 1dd ??????? 5．設(shè) xxy arctan)1( 2?? ，求 y? 。 y y x? ( ) 由方程 xy xyy? ?e ln確定，求 ddyx 。 三、計(jì)算應(yīng)用題 ⒈設(shè) xxy sin22tan ?? ，求2d ??xy 解：⑴由導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 2ln2c os2c os 2 s in2 xxxy ???? 由此得 xxy x d2d)2ln22c osc os 2(d 2s in22 ????? ?? ?? ⒉設(shè) )(e)e( xfxfy ? ，其中 )(xf 為可微函數(shù)，求 y? 。 5． y x?sin 2 ，則 ??y （ ）。 A. ( , )01 ； B. (, )10 ； C. ( , )0 1? ； D. ( , )?10 解： xy e1??? ，令 0??y 得 0?x 。 3． 設(shè)函數(shù) )2)(1()1()( ???? xxxxxf ，則 ?? )0(f （ ）． ； ； ； D. 2? 解：因?yàn)?)1()1()2()1()2)(1)(1()2)(1()( ?????????????? xxxxxxxxxxxxxf ，其中的三項(xiàng)當(dāng) 0?x 時(shí)為 0，所以 2)20)(10)(10()0( ??????f 故選項(xiàng) C 正確。 A.x1； B. x1?； C. 21x； D. 21x? 解：先要求出 )(xf ，再求 )(xf? 。 A. x2 ； ； ； D 不存在 8 解：因?yàn)?)2(2 )2()(lim2 fx fxfx ?????，且 2)( xxf ? ， 所以 42)2(2 ??? ?xxf，即 C 正確。 ⒊設(shè) f x x x( ) ? ? ?2 4 5，則 f f x[ ( )]? ? 。 ⒉曲線xy 1?在點(diǎn)（ 1， 1）處切線的斜率是 。 第三章 導(dǎo)數(shù)與微分典型例題選解 一、填空題 ⒈設(shè)函數(shù) )(xf 在 0?x 鄰近有定義，且 1)0(,0)0( ??? ff ，則 ?? xxfx)(lim0 。由此要求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)就要先求函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)。 ⒍了解高階導(dǎo)數(shù)的概念；會(huì)求顯函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。 顯然直接求導(dǎo)比較麻煩，可采用取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法，將上式兩端取對(duì)數(shù)得 )2ln(31)1ln(21ln ???? xxy 兩端求導(dǎo)得 )2(3 1)1(2 1 ????? xxyy 整理后便可得 )2(6 821 23 ???????? xx xxxy 若函數(shù) 由參數(shù)方程 7 ??? ?? )( )(ty tx ?? 的形式給出，則有導(dǎo)數(shù)公式 )( )(dd ttxy ????? 能夠熟練地利用導(dǎo)數(shù)基本公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能夠利用隱函數(shù)求導(dǎo)法，取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法，參數(shù)表示的函數(shù)的求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。如果我們把函數(shù)先進(jìn)行變形，即 21212322 212)1( ????????? xxxxxxxxy 再用導(dǎo)數(shù)的加法法則計(jì)算其導(dǎo)數(shù)，于是有 232121 2123 ?? ???? xxxy 這樣計(jì)算不但簡(jiǎn)單而且不易出錯(cuò)。 ⒊熟記導(dǎo)數(shù)基本公式，熟練掌握下列求導(dǎo)方法 （ 1）導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則 （ 2）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 （ 3）隱函數(shù)求導(dǎo)方法 （ 4）對(duì)數(shù)求導(dǎo)方法 （ 5）參數(shù)表示的函數(shù)的求導(dǎo)法 正確的采用求導(dǎo)方法有助于我們的導(dǎo)數(shù)計(jì)算，如 一般當(dāng)函數(shù)表達(dá)式中有乘除關(guān)系或根式時(shí)，求導(dǎo)時(shí)采用取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法， 例如函數(shù)xxy2)1( ?? ，求 y? 。反之則不然，函數(shù) )(xfy? 在 0x 點(diǎn)連續(xù)，在 0x 點(diǎn)不一定可導(dǎo)。導(dǎo)數(shù)的定義式還可寫成極限 00 )()(lim0 xxxfxfxx ??? 函數(shù) )(xf 在點(diǎn) 0xx? 處的導(dǎo)數(shù) )( 0xf? 的幾何意義是曲線 )(xfy? 上點(diǎn) ))(,( 00 xfx 處切線的斜率。在學(xué)習(xí)的時(shí)候要側(cè)重以下幾點(diǎn)： ⒈理解導(dǎo)數(shù)的概念；了解導(dǎo)數(shù)的幾何意義；會(huì)求曲線的切線和法線；會(huì)用定義計(jì)算簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；知道可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。 （ 2）依函數(shù)連續(xù)的定義知，函數(shù)在某點(diǎn)處連續(xù)的充要條件是 )()(l i m)(l i m000 xfxfxf xxxx ?? ?? ?? 于是有 afb ??? )0(1 ，即 1??ba 時(shí)函數(shù)在 0?x 處連續(xù)。 )11(3s i n 11l i m)11(3s i n )11)(11(l i m3s i n 11l i m 000 ??????? ??????? ??? xx xxx xxxx xxx =61213111 1l i m3s i n3l i m31)11(3s i nl i m 000 ??????????? ??? xxxxx x xxx ????????????0s i n001s i n)(xx xxaxbxxxf 問(wèn)（ 1） ba, 為何值時(shí)， )(xf 在 0?x 處有極限存在？ （ 2） ba, 為何值時(shí)， )(xf 在 0?x 處連續(xù)？ 解：（ 1）要 )(xf 在 0?x 處有極限存在，即要 )(lim)(lim00 xfxf xx ?? ?? ?成立。 5 三、計(jì)算應(yīng)用題 ⒈計(jì)算下列極限： ⑴124 23lim 222 ?? ??? xx xxx ⑵ xx xx ??? ?? )13(lim 15510)2(12 )32()1(lim)3( ? ???? x xxx （ 4）xxx 3sin 11lim0 ??? 解 ：⑴61)6)(2( )2)(1(124 2322????? ????? ?? xxxx xxxx xx? ?124 23lim 222 ?? ??? xx xxx=8161lim2 ???? xxx ⑵431331e1ee])31[(l i m])11[(l i m)31()11(l i m)31(l i m)13(l i m ??????????????????????????? xnxnxxnxnxnxxxxxxxx ⑶ 題目所給極限式分子的最高次項(xiàng)為 15510 32)2( xxx ?? 分母的最高次項(xiàng)為 1512x ，由此得 381232)2(12 )32()1(lim 15510 ??? ???? x xxx （ 4）當(dāng) 0?x 時(shí)，分子、分母的極限均為 0，所以不能用極限的除法法則。 ⒉下列函數(shù)在指定的變化過(guò)程中，（ ）是無(wú)窮小量。 解： 32)( ??? xxf ，故 202142)32(3)32()]([ 22 ????????? xxxxxff ⒎函數(shù) )1ln( 2xy ?? 的單調(diào)增加區(qū)間是 。 因?yàn)? 1)0(1)1(l i m01s i nl i m00 ???? ?? ?? fxxx xx 所