【正文】 以函數(shù) )(xf 在 0?x 處是間斷的， 又 )(xf 在 )0,(?? 和 ),0( ?? 都是連續(xù)的，故函數(shù) )(xf 的間斷點是 0?x 。 ⒉ 函數(shù)?????????0101s in)(xxxxxxf 的間斷點是 x? 。 4 典型例題解析 一、填空題 ⒈極限 lim sinsinxx xx? ?02 1 。 間斷點的分類： 已知點 0xx? 是的間斷點， 若 )(xf 在點 0xx? 的左、右極限都存在，則 0xx? 稱為 )(xf 的第一類間斷點； 若 )(xf 在點 0xx? 的左、右極限有一個不存在，則 0xx? 稱為 )(xf 的第二類間斷點。 ⒊熟練掌握極限的計算方法：包括極限的四則運算法則，消去極限式中的不定因子，利用無窮小量的運算性質(zhì)，有理化根式，兩個重要極限，函數(shù)的連續(xù)性等方法。 3 ⒉理解無窮小量的概念；了解無窮小量的運算性質(zhì)及其與無窮大量 的關(guān)系；知道無窮小量的比較。 解：因為 2)1(2121 22222 ???????? xxxxxx 所以 2)1()1( 2 ???? xxxxf 則 2)( 2 ?? xxf ，故選項 B 正確。 )(11)1( )1(11)()( xfaaxaa aaxaaxxf xxxxxxxx ????????????? ???? 所以 B正確。 ⒋函數(shù) )1,0(11)( ????? aaaaxxfxx （ ） ； B. 是偶函數(shù)； ； 。 3． 設(shè)函數(shù) f x() 的定義域是全體實數(shù)，則函數(shù) )()( xfxf ?? 是（ ）． ； ； ； 解： A, B, D 三個選項都不一定滿足。 ＝ x； 軸； 軸； 解：設(shè) )()()( xfxfxF ??? ，則對任意 x 有 )())()(()()())(()()( xFxfxfxfxfxfxfxF ??????????????? 即 )(xF 是 奇函數(shù)，故圖形關(guān)于原點對稱。 A. xxgxxf ?? )(,)( 2 ； B. f x x g x x( ) ln , ( ) ln? ?2 2； C. f x x g x x( ) ln , ( ) ln? ?3 3； D. f x xx g x x( ) , ( )? ?? ? ?2 11 1 解： A 中兩函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系不同 , xxx ??2 ， B, D 三個選項中的每對函數(shù)的定義域都不同，所以 A B, D 都不是正確的選項；而選項 C 中的函數(shù)定義域相等，且對應(yīng)關(guān)系相同，故選項 C 正確。 解： )(xf 的定義域為 ),( ???? ，且有 )(222)( )( xfaaaaaaxf xxxxxx ???????? ????? 即 )(xf 是偶函數(shù)，故圖形關(guān)于 y 軸對稱。 解：要使 392??? xxy 有意義，必須滿足 092 ??x 且 03??x ，即??? ?? 33xx 成立，解不等式方程組，得出??? ???? 3 33x xx 或 ， 2 故得出函數(shù)的定義域為 ),3(]3,( ?????? 。 解：要使 )(lnxf 有意義，必須使 1ln0 ?? x ，由此得 )(lnxf 定義域為 ]e,1[ 。取公共部分，得函數(shù)定義域為 ]5,3()3,2( ? 。 ⒉函數(shù) xxxf ???? 5)2ln( 1)(的定義域是 。 例題選解 一、填空題 ⒈設(shè) )0(1)1( 2 ???? xxxxf ，則 f x( )? 。分解后的函數(shù)前三個都是基本初等函數(shù)，而第四個函數(shù)是常數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的和。 基本初等函數(shù)是指以下幾種類型： ① 常數(shù)函數(shù)： cy? ② 冪函數(shù)： )( 為實數(shù)??xy ? ③ 指數(shù)函數(shù)： )1,0( ??? aaay x ④ 對數(shù)函數(shù)： )1,0(lo g ??? aaxy a ⑤ 三角函數(shù)： xxxx c o t,tan,c o s,s in ⑥ 反三角函數(shù)： xxx a r c ta n,a r c c o s,a r c s in ⒋了解復(fù)合函數(shù)、初等函數(shù)的概念，會把一個復(fù)合函數(shù)分解成較簡單的函數(shù)。 掌握單調(diào)函數(shù)、有界函數(shù)及周期函數(shù)的圖形特點。 若對任意 x ，有 )()( xfxf ??? ，則 )(xf 稱為奇函數(shù)，奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點對稱。 ⒉了解函數(shù)的主要性質(zhì)，即單調(diào)性、奇偶性、有界性和周期性。 1 高等數(shù)學(xué)（ 1）學(xué)習(xí)輔導(dǎo) (一 ) 第一章 函數(shù) ⒈理解函數(shù)的概念；掌握函數(shù) )(xfy? 中符號 f ( )的含義；了解函數(shù)的兩要素；會求函數(shù)的定義域及函數(shù)值；會判斷兩個函數(shù)是否相等。 兩個函數(shù)相等的充分必要條件是定義域相等且對應(yīng)關(guān)系相同。 若對任意 x ，有 )()( xfxf ?? ，則 )(xf 稱為偶函數(shù)，偶函數(shù)的圖形關(guān)于 y 軸對稱。 掌握奇偶函數(shù)的判別方法。 ⒊熟練掌握基本初等函數(shù)的解析表達(dá) 式、定義域、主要性質(zhì)和圖形。 如函數(shù) )1(arctan2e xy ?? 可以分解 uy e? ， 2vu? ， wv arctan? ， xw ??1 。 ⒌會列簡單的應(yīng)用問題的函數(shù)關(guān)系式。 解：設(shè) xt 1? ，則 tx 1? ，得 t ttttf22 11111)( ?????? 故 x xxf 211)( ??? 。 解：對函數(shù)的第一項，要求 02??x 且 0)2ln( ??x ，即 2?x 且 3?x ；對函數(shù)的第二項，要求 05 ??x ，即 5?x 。 ⒊函數(shù) )(xf 的定義域為 ]1,0[ ，則 )(lnxf 的定義域是 。 ⒋ 函數(shù) 392??? xxy 的定義域為 。 ⒌ 設(shè)2)( xx aaxf ???，則函數(shù)的圖形關(guān)于 對稱。 二、單項選擇題 ⒈下列各對函數(shù)中，（ ）是相同的。 ⒉設(shè)函數(shù) f x() 的定義域為 ( , )???? ，則函數(shù) f x f x( ) ( )－ ? 的圖形關(guān)于（ ）對稱。選項 D 正確。 設(shè) )()()( xfxfxF ??? ，則對任意 x 有 )()()()()())(()()( xFxfxfxfxfxfxfxF ????????????? 即 )(xF 是偶函數(shù)，故選項 C 正確。 解：利用奇偶函數(shù)的定義進(jìn)行驗證。 ⒌若函數(shù)22 1)1( xxxxf ???，則 ?)(xf （ ） A. 2x ； B. 22?x ； C. 2)1( ?x ； D. 12?x 。 第二章 極限與連續(xù) ⒈知道數(shù)列極限的“ ??N ”定義；了解函數(shù)極限的描述性定義。 無窮小量的運算性質(zhì)主要有： ① 有限個無窮小量的代數(shù)和是無窮小量； ② 有限個無窮小量的乘積是無窮小量； ③ 無窮小量和有界變量的乘積是無窮小量。 求極限有幾種典型的類型 （ 1）aaxax axaaxax axa kkkkxkkx 21)())((l i ml i m222020 ???????????? （ 2）100 1002 ))((l i ml i m00 xxxxxxxxxx baxxxxxx ??????? ???? （ 3）???????????????? ?????????mnmnbamnbxbxbxbaxaxaxammmmnnnnxx 00111011100l i m0 ?? ⒋熟練掌握兩個重要極限： limsinxxx? ?0 1 lim( )x xx?? ? ?11 e （或 lim( )x xx? ? ?0 11 e） 重要極限的一般形式： lim sin ( )( )( )? ??x xx? ?0 1 lim (( ) )( ) ( )f x f xf x? ? ? ?1 1 e （或 lim ( ( ))( ) ( )g x g xg x? ? ?011 e） 利用兩個重要極限求極限，往往需要作適當(dāng)?shù)淖儞Q，將所求極限的函數(shù)變形為重要極限或重要極限的擴(kuò)展形式，再利用重要極限的結(jié)論和極限的四則運算法則，如 3133s i nl i ms i nl i m3133s i ns i n31l i m3s i ns i nl i m0000 ?????????xxxxxxxxxxxxxx 312122eee])11[(l i m])21[(l i m)11()21(l i m1121l i m)12(l i m ?????????????????????????? ????????????? xxxxxxxxxxxxxxxxxxx ⒌理解函數(shù)連續(xù)性的定義；會判斷函數(shù)在一點的連續(xù)性；會求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間；了解函數(shù)間斷點的概念；會對函數(shù)的間斷點進(jìn)行分類。 ⒍理解連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為 0）及復(fù) 合仍是連續(xù)函數(shù)，初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)的結(jié)論，知道閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的幾個結(jié)論。 解： 010s i nl i m1s i nl i m)s i n1s i n(l i ms i n1s i nl i m 00020 ?????? ???? xxxxxxxxx xxxxxx 注意： 01sinlim0 ?? xxx（無窮小量乘以有界變量等于無窮小量） 111s i nl i m 1s i n1l i ms i nl i m000 ???????xxxxxxxxx，其中xxx sinlim0?=1 是第一個重要極限。