北大版高等數(shù)學(xué)課后習(xí)題答案完整版-展示頁(yè)
2025-01-16 20:44本頁(yè)面
【正文】 (3)不連續(xù)因?yàn)? a, b 滿(mǎn)足 對(duì)一切自然數(shù) n, 證明 9 證 類(lèi)似有 對(duì) 令 證明 : 序列 {an }單調(diào)上升 , 而序列 {bn }單調(diào)下降 ,并且 證令 則由 7 題中的不等式 n n , n . 2 . 我們證明 最后不等式顯然成立 當(dāng) n 時(shí) 故 n . 解 作函數(shù)的圖形 解 ? 關(guān)于有界函數(shù)的定義下 , 證明函數(shù) f ( x)在區(qū)間 [ a, b]上為有界函數(shù)的充要條件 為存在一個(gè)正的常數(shù) M 使得 證設(shè)存在常數(shù) M 1 , N 使得取 則有 反之 , 若存在一個(gè)正的常數(shù) M 使得 則 證明 : 若函數(shù) 及 在 [a, b]上均為有界函數(shù) , 則及 f ( x ) g ( x ) 也都是 [a, b]上的有界函數(shù) . 證存在證明 在 的任一鄰域內(nèi)都是無(wú)界的 , 但當(dāng) 時(shí) f ( x )不是無(wú)窮大量 . x x 1 1 證任取一個(gè)鄰域 和 取正整數(shù) n, 滿(mǎn)足 和 則 故 f ( x)在 無(wú)界 .但是 xn 故當(dāng) 時(shí) f ( x )不是無(wú)窮大量 . 11 證令 則 1 n 1 注意到 y 1 1 我們有 1 f ( x)及 g ( x)在實(shí)軸上有定義且連續(xù) .證明 : 若 f ( x)與 g ( x)在有理數(shù)集合處處 相等 ,則它們?cè)谡麄€(gè)實(shí)軸上處處相等 . 證任取一個(gè)無(wú)理數(shù) x0 , 取有理數(shù)序列 lim 證明 : (1) li 證 證 1 1 0 ln a . 1 在 a 點(diǎn)附近有定義且有極限 又設(shè) 在 a 點(diǎn)附近有 (2) lim 定義 ,且是有界函數(shù) .證明 證設(shè) 對(duì)于任意 存在 使得當(dāng)a 時(shí) 令 則 時(shí) ,| f ( x) g ( x) M 故 在 中連續(xù) , 又設(shè) c 為正的常數(shù) , 定義 g ( x)如下 當(dāng) | f 當(dāng) f ( x) 當(dāng) 試畫(huà)出 g ( x)的略圖 , 并證明 g ( x)在 上連續(xù) . 12 證 (一 )若 則存在 當(dāng) 時(shí) |f(x)|c,g(x)=f(x), 若 則存在 當(dāng) 時(shí) 若 則 對(duì)于任意 不妨設(shè) 存在 使得當(dāng) 時(shí) 設(shè) 若 則 若 則 證 (二 )利用 ( x)) / 2. 1 f ( x)在 [a, b]上連續(xù) , 又設(shè) 其中 x1 , x2 , 證明存在一點(diǎn) 使得 證若 則取 即可 . 否則設(shè) 在 [ x1 , x3 ]連續(xù) , 根據(jù)連續(xù)函數(shù)的中間值定理 , 存在一點(diǎn) 使得 設(shè) 在點(diǎn) x0連續(xù)而 g ( x)在點(diǎn) x0附近有定義 , 但在 x0 不連續(xù)問(wèn) 是否在 x0 連續(xù) , 其中 k , l 為常數(shù) . 解如果在 x0 連續(xù) 。 (3) g (r )是否是 r 的可導(dǎo)函數(shù) . 解明顯地時(shí) g (r )連續(xù) 2 2 2 2 在 連續(xù) (2) 時(shí) g (r )可導(dǎo) 在不可導(dǎo) . 3 R R 16 P( x),已知 : 點(diǎn) (1,3)在曲線(xiàn) P ( x)上 , 且解 2 : 若多項(xiàng)式 P( x)可表為 則 稱(chēng) x0 是 P ( x)的m重根 .今若已知 x0是 P ( x)的 k重根 ,證明 x0是 的 重根 證由定義 x0 是 的 重根 . 17 f ( x)在 中有定義 , 且滿(mǎn)足 則稱(chēng) f ( x)為偶函數(shù) .設(shè) f ( x) 是偶函數(shù) ,且 存在 , 試證明設(shè) f ( x)在 x0 處可導(dǎo) , 證明 證 證 運(yùn)動(dòng) , 且已知時(shí)刻 時(shí)質(zhì)點(diǎn)所在位置 ( x(t ), y (t ))滿(mǎn)足 : 直線(xiàn) OP 與 x 軸的夾角恰為 t 時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位置速度及 加速度 . y (t ) x 2 (t ) 解 位置 , 2 tan 2 t ). y=x2 18 在 的左右導(dǎo)數(shù) . x x 1/ x 1/ x 1 1 解 f 設(shè) 其中 在 處連續(xù)且 證明 f ( x)在 不可導(dǎo) 證 習(xí)題 19 , 指出錯(cuò)誤并加以改正 錯(cuò) .(cos x 1 1 1 , 錯(cuò)錯(cuò) 2 錯(cuò)記( x ) .現(xiàn)設(shè) 求 求 f ( x 與 是否相同 ? 指出兩者的關(guān)系 . 解 (1) f 與 不同 x cos 4 x. 20 21 1 2 1 2 2 22 x x x a a x a a a x a x ,它與發(fā)射臺(tái)之間 的距離是 t=0 時(shí)向上垂直地發(fā)射火箭 ,初速度為 0,火箭以的勻加 速度 8m/s2 垂直地向上運(yùn)動(dòng) 。 又設(shè) 函數(shù) 在 [c, d ]上嚴(yán)格遞增 , 試求 積分和 其中 是 的反函數(shù) , a c a d b d c a b 解 c a d b 31 在區(qū)間 [0,
試題試卷相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1