信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課后答案完整版-展示頁
2025-06-16 16:23本頁面
【正文】 , 則對(duì)任意a,b∈G1∩G2有ab1∈G1, ab1∈G2, 所以ab1∈G1∩G2, 所以G1∩G2也是G的子群.（14） 證明：設(shè)G是一個(gè)群, 對(duì)任意a,b∈G, 存在一個(gè)G到H的映射f,并且f(ab)=f(a)f(b).對(duì)任意f(a),f(b)∈H有f(a)f(b)=f(ab)∈H, 所以H滿足運(yùn)算的封閉性. 對(duì)任意f(a),f(b),f(c)有(f(a)f(b))f(c)=f(ab)f(c)=f((ab)c), f(a)(f(b)f(c))=f(a)f(bc)=f(a(bc)), 又因?yàn)?ab)c=a(bc), 所以(f(a)f(b))f(c)=f(a)(f(b)f(c)), 所以H滿足結(jié)合律. 對(duì)任意f(a)∈H, 有f(ae)=f(a)=f(a)f(e), 所以f(e)是H的單位元, 對(duì)任意的f(a)∈H, 有f(aa1)=f(e)=f(a)f(a1), 所以f(a)的逆元為f(a1). 所以H是一個(gè)群.（16） 證明：設(shè)a到a1的一一映射為f. 充分性：對(duì)任意G中a,b有f(a)=a1, f(b)=b1, f(ab)=(ab)1又因?yàn)閒同構(gòu), 所以f(ab)=f(a)f(b)=(ab)1=a1b1=(ba)1, 由(ab)1=(ba)1有ba=ab, 所以G是交換群. 必要性由上反推可得.第三章（2） 第一個(gè)問題：設(shè)該有限群為G, 對(duì)任意階大于2的元素a∈G, 有an=e, n為使得上式成立的最小正整數(shù)且n2. 明顯在群中存在一個(gè)a1, 且a≠a1(若相等則a2=e, 與a的階大于2矛盾), 有(a1)n=e, 所以a1的階也大于2. 綜上對(duì)任意階大于2的元素a, 存在a1的階也大于2. 所以結(jié)論成立. 第二個(gè)問題：因?yàn)樵谌篏中只有e的階為1, 在由上個(gè)結(jié)論有階大于2的元素個(gè)數(shù)為偶數(shù), 由已知條件G的階為偶數(shù)可知結(jié)論成立.（5） 對(duì)a生成一個(gè)階為n的循環(huán)群G, am生成的循環(huán)群的階為n/(n,m)=n. 又因?yàn)閍m∈G所以am也生成G.（6） 設(shè)G的階為n, 由已知可得G39。同態(tài)可知f(e)為G39。, 且對(duì)任意gk∈G, 有f(gk)=(f(g))k, 所以G39。也是也是一個(gè)循環(huán)群.（8） 13階：e的階為1, 其他元素階為13, 生成元g1到g12. 16階：e的階為1, g2階為8, g4階為4, g6階為8, g8階為2,g10的階為8, g12的階為4, g14的階為8, 其余的g到g15的階為16且是生成元.（9） 先分別求出15階和20階的正因子為3,5和2,4,5,10所以15階的生成元為g3, g5, 20階的生成元為g2, g4, g5, g10.（10） 略 （11） 因?yàn)閜是素?cái)?shù), 所以階為p的群為循環(huán)群(), 又因?yàn)槿我馔A的有限循環(huán)群同構(gòu)(), 所以結(jié)論成立.（12）因?yàn)閜是pm的因子，p是一個(gè)素?cái)?shù)，由有限群G的子群H中，H階是G階因子可知，pm階群一定有階為P的子群。（15） 設(shè)H1, H2是群G的兩個(gè)正規(guī)子群, H= H1∩H2, 所以有對(duì)任意的a∈G, h1∈H1有ah1a1∈H1, 同樣對(duì)任意的h2∈H2有ah2a1∈H2, 所以對(duì)任意的h∈H1∩H2有, aha1∈H1∩H2, 所以結(jié)論成立. (先要證明H是G的子群, 略)（16） 由題意設(shè)eH, aH是H的唯一兩個(gè)左陪集, . (另證：G=H∪aH, G=H∪Ha, 又因?yàn)镠∩aH=空, H∩Ha=空, 所以有aH=Ha).（17） 由題意有HN=NH即對(duì)任意的hn∈HN有hn=n39。n239。第一個(gè)：是環(huán),沒有單位元,是交換環(huán)第二個(gè)：是環(huán),有單位元1,是交換環(huán)第三個(gè)：是環(huán),有單位元1,是交換環(huán)第四個(gè)：不是環(huán)(不是加法交換群)（11）證明：對(duì)任意的x,y∈S,有ax=0,ay
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