北大版高等數(shù)學(xué)課后習(xí)題答案完整版(參考版)
2025-01-10 20:44本頁面
【正文】 若雷達(dá)探測器始終瞄準(zhǔn)著火箭 .問 :自火箭 發(fā)射后 10 秒鐘時(shí) ,探測器的仰角 的變化速率是多少 ? 1 x(t ) t 2 解 弧度 在圖示的裝置中 , 飛輪的半徑為2m 且以每秒旋轉(zhuǎn) 4 圈的勻角速度按順時(shí)針方向 旋轉(zhuǎn) .問 :當(dāng)飛輪的旋轉(zhuǎn)角為 時(shí) ,活塞向右移動(dòng)的速率是多少 ? 2 23 解活塞向右移動(dòng)的速率是 習(xí)題 24 時(shí) , 下列各函數(shù)是 x的幾階無窮小量 階階 階 . 2 : 當(dāng) 時(shí) 試證明證 設(shè)).試證明 上述結(jié)果有時(shí)可以寫成 證 x0 處的微分是常數(shù)求下列各函數(shù)的微分 設(shè) 計(jì)算當(dāng) x 由 3 變到 時(shí) , 函數(shù)的增量和向相應(yīng)的微分 解 (x 試計(jì)算 5 的近似值 . 1 .16 解 求下列方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)函 數(shù) 2 3 2 3 2 3 1 為常數(shù) 25 sin x M 的導(dǎo)數(shù) 設(shè) y 由下列參數(shù)方程給出 ,求 26 x2 y 上一點(diǎn) M 0 ( x0 , y0 )處的切線方程與法線方程 .并 a 2 b2 證明 :從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)向橢圓周上任一點(diǎn) M 發(fā)射的光線 , 其反射線必通過 橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn) . 切線方程：法線方程：x0 ) 焦點(diǎn) 設(shè) 切線斜率 的斜率的斜率 b 2 x0 . a 2 y0 和 都在區(qū)間 故 27 習(xí)題 證明 證 證明 證設(shè)1) 求 y (6) , y (7) . 解 滿足方程 其中 p, q 為常數(shù) 該取哪些值 ? 解 該取方程 的根 . ,轉(zhuǎn)過的角度 與時(shí)間 t的關(guān)系為 求飛輪 轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度與角加速度 . 解角速度 角加速度其中 n為一個(gè)正整數(shù) , 求 f ( k ) ( x), k為一個(gè)正整數(shù) 解 設(shè) 求 y (50) . 解由 Leibniz 公式 , 28 (50) (49) 其中 C1 與 C2 為任意常數(shù) )是微分方程的解 . 證驗(yàn)證函數(shù)C2 )e ax (其中 C1與 C2為任意常數(shù) )是微分方程 的解 . 證驗(yàn)證函數(shù) 其中 C1 與 C2 為任意常數(shù) )是微分方程 的解 . 證 習(xí)題 29 求下列 不定積分 x x 30 為常數(shù) ). 解設(shè) f ( x)滿足方程求 f ( x). 1 解 習(xí)題 a). b a n n 設(shè)函數(shù) 在 [c, d ]上連續(xù)且 試用定積分表示曲線及 y軸所圍的圖形的面積 。如果 在 x0 不連續(xù) ,因否則 將在 x0 連續(xù) . Dirichlet函數(shù)處處不連續(xù) 證任意取 x0 .取有理數(shù)列 則 取無理數(shù)列 則 故 lim D( x)不存在 , D( x)在 x0 不連續(xù) . x / x 1 | x| (4) lim( x ) y 在 內(nèi)連續(xù) , 且滿足 設(shè) 是一任意數(shù) , 并假定 一般地 試證明 {an }單調(diào)遞減 , 且極限 lim an 存在 . 若 則 l 是方程 的根 ,即 證 單調(diào)遞減 .又 單調(diào)遞減有下界 , 13 故 an 有極限 .設(shè) 則 在 內(nèi)有定義且處處連續(xù) , 并且滿足下列條件 證明 E ( x) 證用數(shù)學(xué)歸納法易得 于是 設(shè) n 是正整數(shù) , 則于對(duì)于任意整數(shù) 1 1 1 1 1 對(duì)于任意整數(shù)即對(duì)于所有有理數(shù) r , 對(duì)于無理數(shù) x, 取有理數(shù)列 由 E ( x)的連續(xù)性 , m m 的連續(xù)性 lim xn 習(xí)題 l , 其質(zhì)量在橫截面的分布上可以看作均勻 的現(xiàn)取桿的左端點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn) O, 桿所在直線為 x軸設(shè)從左端點(diǎn)到 . . 細(xì)桿上任一點(diǎn) x之間那一段的質(zhì)量為給自變量 x一個(gè)增量 求的相應(yīng)增量 問它的物理意義是什么 求極限 lim ,問它的物理意義是什么 求比值 解是 x到 那段細(xì)桿的平均線密度 . 是細(xì)桿在點(diǎn) x 的線密度 14 定義 , 求下列函數(shù)的導(dǎo)函數(shù) 解 (1) 在指定點(diǎn) M ( x0 , f ( x0 ))處的切線方程 解 切線方程 切線方程 試求拋物線上任一點(diǎn) 處的切線斜率 并證明 :從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)射光線時(shí) , 其反射線一定平行于 x 軸 15 證 過點(diǎn) M 的切線 PMN 方程： p y2 切線與 x 軸交點(diǎn)N , 故 過 M 作PQ 平行于 x 軸 , 則 上哪一點(diǎn)的切線與直線 平行 , 并求曲線在該點(diǎn)的切線 和法線方程 . 解 切線方程法線方程 r 處的重力加速度 g 是 r 的函數(shù) , 其表達(dá)式為 其中 R 是地球的半徑 , M 是地球的質(zhì)量 , G 是引力常數(shù) 問 g (r )是否為 r 的連續(xù)函數(shù) : (2)作 g (r )的草圖 。 (2)將 f ( x)表成分段函數(shù) 。1. 證明 3 為無理數(shù) . 證 若 3 不是無理數(shù) ,則 為互素自然數(shù)3q 2 .3 除盡 p 2 , q q 必除盡 p, 否則 或除 p 2 將余 類似得 3 除盡 p, q 互素矛盾 . 2. p 是正的素?cái)?shù) , 證明 p 是無理數(shù) . 設(shè) 證 設(shè) 為互素自然數(shù) ,則素?cái)?shù) p除盡 a 2 , 故 p除盡 類似得 p除盡 a, b為互素自然數(shù)矛盾 . 3. 解下列不等式 \。(2 解 (1)若 則 若 則 若 x 則為任意實(shí)數(shù) ,(1)證明 設(shè) 證明 設(shè) 證. 解下列不等式 解或 或 若若 若證明 若 , 其中 n 為自然數(shù) . n 證若 1, 顯然 為任意一個(gè)開區(qū)間 , 證明 (a,
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