【正文】 ?????? ? 22 1)1d( ⑵利用第二換元法，設(shè) tx sin? ， ttx dcosd ? ? ??? ??????? tttt ttt ttxx x 1)ds i n1(ds i ns i n1ds i n c osc osd1 22 222 2 cxx xctt ????????? a rc s i n1c ot 2 ⒉計算下列積分： ⑴ ? xxdarcsin ⑵ ? xxxdln2 13 ??? 10 210 2 33 dttdxx解：⑴利用分部積分法 ??? ????? xxxxxxxxxxx d1a rc s i n)(a rc s i nda rc s i nda rc s i n 2 )d(112 1a rc s i n 22? ???? xxxx cxxx ???? 21a rc s i n ⑵利用分部積分法 )lnd(1ln)1d(lndln 2 ??? ????? xxx xxxxx x cxx xxxx x ??????? ? 1lnd1ln 2 高等數(shù)學（ 1）第六章學習輔導 綜合練習題 （一）單項選擇題 （ 1）．下列式子中，正確的是（ ）。 A ???0 de xx .B. xxd11??? C. ???0 cos dxx D. xx d1 21??? (4) 若 )(xf 是 ],[ aa? 上的連續(xù)偶函數(shù)，則 )()( ???aa dxxf。 ?? ? baab dxxfdxxf )()(xtd t co sco s /20 ??????????? 14 解：（ 1）根據(jù)定積分定義及性質(zhì)可知 A正確。 在（ 0， 1）區(qū)間內(nèi) ???? ?? dxxdxxxx 1010 22 C 不正確。 故 D 不正確。 由定積分定義知 B 不正確。 (3) ? ?????????????? ?? )ee(l i mdel i mde 000 bbb xbx xx ∴ A不正確。不正確。)0s i n(s i nl i mc osl i mc os00 ??? ???????? ?? bdxxdxxbbb∴ C。 D D 正確 （ 4）由課本 344 頁 （ 6— 4— 2）和 345 頁（ 6— 4— 3）知 C。 （ 5）所圍圖形的面積始終是在上面的函數(shù)減去在下面的函數(shù) ∴ A正確。 (4) ______________420 2 ??? dxx (5) 發(fā)散無窮積分 dxxpa p???? 1____ _____, (a＞ 0 p＞ 0 ) 答案： 解：（ 1） 10c o s1c o sl i mdc o sl i m000 ??? ??? xx ttxxx （ 2） ? ? ???????????? 2 2 221 1 2 2)(),()(,)( x x xxtt exxedtexFdtexF 1)11(l i m_)1(l i ml i m 11 211 21 ??????? ??????????? ?? bxdxxdxx bbbbb 15 24 x?（ 2） 所圍圖形的面積 S= ? ? 40c osc os2c os2s i n200 ??????? ??? xx dx （ 3） 由定積分的幾何意義知 : 定積分的值等于 （ 4） y= 所圍圖形的面積∴ ?? ???? 220 2 2414 dxx （ 5） p≤ 1 時 無窮積分發(fā)散。 A、 0lim ??? nn s； B、 na 單調(diào)上升； C、 0lim ??? nn a D、nn a??lim不存在 當條件（ ）成立時，級數(shù) )(1??? ?n nn ba一定發(fā)散。 若正項級數(shù) ???1n na收斂，則（ ）收斂。 A、 ???1n na發(fā)散則 ???1n nb發(fā)散； B、 ???1n na收斂 則 ???1n nb收斂； C、 ???1n na發(fā)散則 ???1n nb收斂； D、 ???1n na收斂則 ???1n nb發(fā)散。 A、 !))0(()(nfn B ! )()(n xfn 、 C ! )0()(nfn D、!1n 答案： D A B A C （二）填空題 當 q _________時，幾何級數(shù) nn nqa???0收斂。 若級數(shù) ???0n na收斂，則級數(shù) ???0n na_____________。 17 若冪級數(shù) nn nya???0的收斂區(qū)間為（ — 9 ， 9 ），則冪級數(shù) nn n xa20 )3( ????的收斂區(qū)間為 ___________。 ⑵ ? ?? ?ennnnnnnaannnnnnnnnnnn3)11(3l i m)1(3l i m)!(31)!1(3l i ml i m111 ???????????????????1 則由比值判別法可知 ???1!3n nnnn發(fā)散。 求下列冪級數(shù)的收斂半徑 ⑴ ???1nnnx ⑵ ????124 )1(n nnnx 解：⑴ 11limlim 1 ???? ????? n naa nnnn? 因此收斂半徑 R=1， ⑵ 令 ,)1( 2 yx ?? 得冪級數(shù) ???14n nnny 可知 ???14n nnny的收斂半徑為 4 ，所以原冪級數(shù)的收斂半徑 第八章 綜合練習題及參考答案 （一）單項選擇題 下列階數(shù)最高的微分方程是 （ ）。 A； 36 xyyx ??? B、 xyxyey ??5 C、 yxyy ??? D、 )sin (2 yxyy ???? 微分方程 0???? yy 的通解為（ ）。 A、 cxy ??11； B、 cxy ?? C、 xy? ； D、 xy lnln ? 微分方程 xeyyy x c o s2 ??????? 的特解應設(shè)為 ??y （ ）。 二階線性微分方程 0136 ?????? yyy 的特征根為 _________。 二階微分方程 xy?? 的通解為 _____________。 答案： )d)(( )()( cxexqey dxxpdxxp ???? ?? i23??? 兩個 21361 cxcxy ??? 2211 ycycyy ??? ? （三）計算 題 ⑴求一階微分方程的 yxey ??? 2 滿足 0)0( ?y 的特解 ⑵求一階微分方程的 xyyx sin??? 滿足 0)( ??y 的特解 ⑶ 解：⑴微分方程變?yōu)?dxedye xy 2? ，兩邊積分得方程的通解為 cee xy ?? 221 由條件 0)0( ?y 得 21?c ， 故微分方程的的特解 2121 2 ?? xy ee ⑵方法一 由一階線性微分方程的通解公式得 xxcos 19 )c os(1)s i n( 11 cxxcdxxeey dxxdxx ??????? ?? 由條件 0)( ??y 得 1??c ,故微分方程的的特解 )1cos(1 ??? xxy 方法二 由微分方程可得 xxy sin)( ?? ，兩邊積分得方程的通解為 )cos(1 cxxy ??? 由條件 0)( ??y 得 1??c ,故微分方程的的特解 )1cos(1 ??? xxy ⑴求微分方程 xeyyy 2365 ?????? 的通解 解：原方程對應的齊次方程的特征方程為 0652 ??? ?? 特征根為 2,3 21 ???? ?? ， 故齊次微分方程的通解 xx ececy 2231 ?? ?? （其中 21,cc 為任意常數(shù)） 設(shè)原方程的一個特解應為 xAey 2?? ，代入方程得 xx eAe 22 320 ? 得203?A 故微分方程的通解 xxx ececey 22312203 ?? ???（其中 21,cc 為任意常數(shù)） ⑵求微分方程 xeyyy x 5s in44 2?????? 的通解 解：原 方程對應的齊次方程的特征方程為 0442 ??? ?? 得特征根為 221 ???? ， 故齊次微分方程的通解 xexccy 221 )( ??? （其中 21,cc 為任意常數(shù)） 設(shè)原方程的一個特解應為 )5s in5c o s(2 xBxAey x ??? ，代入方程得 251,0 ??? BA 故微分方程的通解 xx exccxey 2212 )(5s i n251 ????（其中 21,cc 為任意常數(shù)）