【正文】 P x x P x xy Q x x c? ????? ]deln1[e d1d1 cxx xxxx ???? ? ? ]deln1[e lnln cxx xx ?? ? ? ]dln1[ cxxxx ?? ? )ln(ln cxx ?? 15．解 在微分方程 yxy ??? 2 中， xxQxP 2)(,1)( ?? 由通解公式 )de2(e)de2(e dd cxxcxxy xxxx ?????? ?? ?? )e2e2(e)de2e2(e cxcxx xxxxxx ?????? ?? ? )e22( xcx ???? 16．解：因?yàn)?xxP 1)( ? ， xxQ sin)( ? ，由通解公式得 )des in(e d1d1 cxxy xxxx ???? ?? = )des in(e lnln cxx xx ??? = )dsin(1 cxxxx ?? = )sinc os(1 cxxxx ??? 四、應(yīng)用題 1．投產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為 36(萬(wàn)元 )，且邊際成本為 )(xC? =2x + 40(萬(wàn)元 /百臺(tái) ). 試求產(chǎn)量由 4 百臺(tái)增至 6 百臺(tái)時(shí)總成本的增量，及產(chǎn)量為多少時(shí)，可使平均成本達(dá)到最低 . 1．解 當(dāng)產(chǎn)量由 4 百臺(tái)增至 6 百臺(tái)時(shí)，總成本的增量為 ? ??? 64 d)402( xxC= 642 )40( xx ?= 100（萬(wàn)元） 9 又 x cxxCxC x? ??? 0 0d)()( =xxx 36402 ?? =xx 3640?? 令 0361)(2 ???? xxC， 解得 6?x . x = 6 是惟一的駐點(diǎn)，而該問(wèn)題確實(shí)存在使平均成本達(dá)到最小的值 . 所以產(chǎn)量為 6 百臺(tái)時(shí)可使平均成本達(dá)到最小 . 2．已知某產(chǎn)品的邊際成本 C? (x)=2（元 /件），固定成本為 0，邊際收益 R? (x)=，問(wèn)產(chǎn)量為多少時(shí)利潤(rùn)最大？在最大利潤(rùn)產(chǎn)量的基礎(chǔ)上再生產(chǎn) 50 件，利潤(rùn)將會(huì)發(fā)生什么變化？ 2．解 因?yàn)檫呺H利潤(rùn) )()()( xCxRxL ????? = – 2 = 令 )(xL? = 0，得 x = 500 x = 500 是惟一駐點(diǎn)，而該問(wèn)題確實(shí) 存在最大值 . 所以，當(dāng)產(chǎn)量為 500 件時(shí)，利潤(rùn)最大 . 當(dāng)產(chǎn)量由 500 件增加至 550件時(shí)，利潤(rùn)改變量為 5505002550500 )(d)( xxxxL ????? ? =500 525 = 25 （元） 即利潤(rùn)將減少 25 元 . 3．生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本為 C? (x)=8x(萬(wàn)元 /百臺(tái) )，邊際收入為 R? (x)=1002x（萬(wàn)元 /百臺(tái)），其中 x為產(chǎn)量，問(wèn)產(chǎn)量為多少時(shí)，利潤(rùn)最大？從利潤(rùn)最大時(shí)的產(chǎn)量再生產(chǎn) 2 百臺(tái)，利潤(rùn)有什 么變化？ 3. 解 L? (x) =R? (x) C? (x) = (100 – 2x) – 8x =100 – 10x 令 L? (x)=0, 得 x = 10（百臺(tái)） 又 x = 10 是 L(x)的唯一駐點(diǎn)，該問(wèn)題確實(shí)存在最大值，故 x = 10 是 L(x)的最大值點(diǎn)，即當(dāng)產(chǎn)量為 10（百臺(tái)）時(shí)，利潤(rùn)最大 . 又 xxxxLL d)10100(d)( 12101210 ?? ???? 20)5100(12102 ???? xx 即從利潤(rùn)最大時(shí)的產(chǎn)量再生產(chǎn) 2 百臺(tái)，利潤(rùn)將減少 20 萬(wàn)元 . 4．已知某產(chǎn)品的邊際成本為 34)( ??? xxC (萬(wàn)元 /百臺(tái) )， x 為產(chǎn)量 (百臺(tái) )，固定成本為 18(萬(wàn)元 )，求最低平均成本 . 4．解：因?yàn)榭偝杀竞瘮?shù)為 ? ?? xxxC d)34()( = cxx ??32 2 當(dāng) x = 0 時(shí)， C(0) = 18，得 c =18 即 C(x)= 1832 2 ?? xx 又平均成本函數(shù)為 xxxxCxA 1832)()( ???? 令 0182)(2 ???? xxA， 解得 x = 3 (百臺(tái) ) 該題確實(shí)存在使平均成本最低的產(chǎn)量 . 所以當(dāng) x = 3 時(shí)，平均成本最低 . 最底平均成本為 9318332)3( ?????A (萬(wàn)元 /百臺(tái) ) 5．設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的總成本函數(shù)為 xxC ??3)( (萬(wàn)元 )，其中 x 為產(chǎn)量，單位：百噸．銷售 x 百噸時(shí)的邊際收入為 xxR 215)( ???（萬(wàn)元 /百噸），求： (1) 利潤(rùn)最大時(shí)的產(chǎn)量； (2) 在利潤(rùn)最大時(shí)的產(chǎn)量的基礎(chǔ)上再生產(chǎn) 1 百噸，利潤(rùn)會(huì)發(fā)生什么變化？ 5．解： (1) 因?yàn)檫呺H成本為 1)( ?? xC ，邊際利潤(rùn) )()()( xCxRxL ????? = 14 – 2x 令 0)( ?? xL ，得 x = 7 由該題實(shí)際意義可知， x = 7 為利潤(rùn)函數(shù) L(x)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn) . 因此，當(dāng)產(chǎn)量為 7 百噸時(shí)利潤(rùn)最大 . (2) 當(dāng)產(chǎn)量由 7 百噸增加至 8 百噸時(shí)，利潤(rùn)改變量為 87287 )14(d)214( xxxxL ????? ? =112 – 64 – 98 + 49 = 1 （萬(wàn)元） 即利潤(rùn)將減少 1 萬(wàn)元 . 第三部 分 線性代數(shù) 10 一、單項(xiàng)選擇題 1．設(shè) A 為 23? 矩陣， B 為 32? 矩陣，則下列運(yùn)算中（ AB ）可以進(jìn)行 . 2．設(shè) BA, 為同階可逆矩陣，則下列等式成立的是（ T111T )()( ??? ? BAAB 3．設(shè) BA, 為同階可逆方陣，則下列說(shuō)法正確的是（ 秩 ?? )( BA 秩 ?)(A 秩 ）． 4．設(shè) BA, 均為 n 階方陣，在下列情況下能推出 A 是單位矩陣的是（ IA ??1 ） 5．設(shè) A 是可逆矩陣，且 A AB I? ? ，則 A? ?1 （ I B? ） . 6．設(shè) )21(?A ， )31(??B ， I 是單位矩陣，則 IBA ?T ＝（ ???????? 52 32） 7．設(shè)下面矩陣 A, B, C 能進(jìn)行 乘法運(yùn)算，那么（ AB = AC， A 可逆 ，則 B = C ）成立 . 8．設(shè) A 是 n 階可逆矩陣， k 是不為 0 的常數(shù)，則 ( )kA? ?1 （ 1 1kA? ）． 9．設(shè)???????????????314231003021A ，則 r(A) =（ 2 ）． 10．設(shè)線性方程組 bAX? 的增廣矩陣通過(guò)初等行變 換化為??????????????00000120214131062131，則此線性方程組的一般解中自由未知量的個(gè)數(shù)為（ 1 ）． 11．線性方程組??? ???? 012121 xx xx 解的情況是（ 無(wú)解 ）． 12．若線性方程組的增廣矩陣為 ??????? 012 21 ?A，則當(dāng) ? ＝（ 12 ）時(shí)線性方程組無(wú)解． 13． 線性方程組 AX?0 只有 零解，則 AX b b? ?( )0（ 可能無(wú)解 ） . 14．設(shè)線性方程組 AX=b中， 若 r(A, b) = 4， r(A) = 3，則該線性方程組（ 無(wú)解 ）． 15．設(shè)線性方程組 bAX? 有唯一解，則相應(yīng)的齊次方程組 OAX? （ 只有零解 ）． 二、填空題 1．兩個(gè)矩陣 BA, 既可相加又可相乘的充分必要條件是 A 與 B 是同階矩陣 2．計(jì)算矩陣乘積 ? ??????????????????10211000321 = [4] 3．若矩陣 A = ? ?21? ， B = ? ?132 ? ，則 ATB= ?????? ? ?? 264 132 4．設(shè) A 為 mn? 矩陣， B 為 st? 矩陣，若 AB 與 BA都可進(jìn)行運(yùn)算，則 mn s t, , , 有關(guān)系式 m t n s? ?, 5．設(shè)????????????13230201aA ，當(dāng) a? 0 時(shí)， A 是對(duì)稱矩陣 . 6．當(dāng) a 3?? 時(shí)，矩陣 ???????? aA 1 31可逆 7．設(shè) BA, 為兩個(gè)已知矩陣，且 BI? 可逆，則方程 XBXA ?? 的解 ?X ABI 1)( ?? 8．設(shè) A 為 n 階可逆矩陣，則 r (A)= n 11 9．若矩陣 A =????????????330204212，則 r(A) =2 10．若 r(A, b) = 4， r(A) = 3，則線性方程組 AX = b 無(wú)解 11．若線性方程組??? ???? 002121 xx xx ? 有非零解，則 ?? 1 12．設(shè)齊次線性方程組 01 ??? nnm XA ，且秩 (A) = r n，則其一般解中的自由未知量的個(gè)數(shù)等于 n – r 13．齊次線性方程組 0?AX 的系數(shù)矩陣為?????????????000020213211A 則此方程組的一般解為 ??? ? ???42431 22 xx xxx (其中 43,xx 是自由未知量 ) 14．線性方程組 AXb? 的增廣矩陣 A 化成階梯形矩陣后為?????????????110000012401021dA 則當(dāng) d 1? 時(shí)，方程組 AXb? 有無(wú)窮多解 . 15．若線性方程組 AX b b? ?( )0有唯一解，則 AX?0 只有 0 解 三、計(jì)算題 1．設(shè)矩陣????????????113421201A ，????????????303112B ，求 BAI )2( T? ． 2．設(shè)矩陣 ?????? ?? 021 201A，???????????200010212B ，?????????????242216C ，計(jì)算 CBA?T ． 3．設(shè)矩陣 A =????????????????1121243613，求 1?A ． 4．設(shè)矩陣 A =??????????? 012411210，求逆矩陣 1?A ． 5．設(shè)矩陣 A = ?????? ? ?021 201， B =??????????142136，計(jì)算 (AB)1． 6． 設(shè)矩陣 A =???????????022011 ， B =?????? ? ?210 321 ，計(jì)算 (BA)1． 7．解矩陣方程 ?????????????? ?? 2143 32 X． 8．解矩陣方程 ?????? ???????? 02 1153 21X. 9．設(shè)線性方程組 12 ?????????????baxxxxxxxx321321312022 討論當(dāng) a， b 為何值時(shí)，方程組無(wú)解，有唯一解，有無(wú)窮多解 . 10．設(shè)線性方程組 ???????????????052231232132131xxxxxxxx，求其系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩，并判斷其解的情況 . 11．求下列線性方程組的一般解： ?????????????????03520230243214321431xxxxxxxxxxx 12．求下列線 性方程組的一般解： ????????????????126142323252321321321xxxxxxxxx 13．設(shè)齊次線性方程組 ??????????????0830352023321321321xxxxxxxxx? 問(wèn) ?取何值時(shí)方程組有非零解，并求一般解 . 14．當(dāng) ? 取何值時(shí)，線性方程組??????????????1542131321321xxxxxxxx? 有解？并