【正文】 1 電大【 經(jīng)濟數(shù)學基礎 】考試小抄 第一部分 微分學 一、單項選擇題 1．函數(shù) ? ?1lg ?? xxy的定義域是（ 1??x 且 0?x ） 2．若函數(shù) )(xf 的定義域是 [0， 1]，則函數(shù) )2( xf 的定義域是 ( ]0,(?? )． 3．下列各函數(shù)對中，（ xxxf 22 c o ssin)( ?? ， 1)( ?xg ）中的兩個函數(shù)相等． 4．設 11)( ??xxf，則 ))(( xff =（ x?11 ）． 5．下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（ 11ln ??? xxy ）． 6．下列函數(shù)中，（ )1ln( ?? xy 不是基本初等函數(shù)． 7．下列結論中，（ 奇函數(shù)的圖形關于坐標原點對稱 ）是正確的． 8. 當 x?0 時，下列變量中（ xx21? ）是無窮大量． 9. 已知 1tan)( ?? xxxf ，當（ x?0 ）時， )(xf 為無窮小量 . 10．函數(shù) sin ,0(),0x xfx xkx? ??? ???? 在 x = 0 處連續(xù)，則 k = ( 1)． 11. 函數(shù)??? ?? ?? 0,1 0,1)( xxxf 在 x = 0 處（ 右連續(xù) ）． 12．曲線11?? xy在點（ 0, 1）處的切線斜率為（ 21? ）． 13. 曲線 xy sin? 在點 (0, 0)處的切線方程為（ y = x ）． 14．若函數(shù) xxf ?)1( ，則 )(xf? =（21x ）． 15．若 xxxf cos)( ? ，則 ?? )(xf （ xxx cossin2 ?? ）． 16．下列函數(shù)在指定區(qū)間 ( , )???? 上單調增加的是（ e x）． 17．下列結論正確的有（ x0是 f (x)的極值點 ）． 18. 設需求量 q 對價格 p 的函數(shù)為 ppq 23)( ?? ，則需求彈性為 Ep=（ ?? pp3 2 ）． 二、填空題 1．函數(shù)??? ??? ????? 20,1 05,2)(2 xxxxxf 的定義域是 [5， 2] 2．函數(shù)xxxf ???? 21)5ln()(的定義域是 (5, 2 ) 3．若函數(shù) 52)1( 2 ???? xxxf ，則 ?)(xf 62?x 4． 設函數(shù) 1)( 2 ??uuf ， xxu 1)( ? ，則 ?))2((uf 43? 5．設 21010)( xxxf ??? ，則函數(shù)的圖形關于 y 軸 對稱． 6．已知生產(chǎn)某種產(chǎn)品的成本函數(shù)為 C(q) = 80 + 2q，則 當產(chǎn)量 q = 50 時，該產(chǎn)品的平均成本為 7．已知某商品的需求函數(shù)為 q = 180 – 4p，其中 p 為該商品的價格，則該商品的收入函數(shù) R(q) = 45q – 2 2 8. ???? xxxxsinlim 1 . 9．已知x xxf sin1)( ??，當 0?x 時， )(xf 為無窮小量． 10. 已知??????????1111)( 2xaxxxxf ，若 f x() 在 ),( ???? 內(nèi)連續(xù)，則 ?a 2 . 11. 函數(shù) 1()1exfx? ?的間斷點是 0x? 12．函數(shù))2)(1( 1)( ??? xxxf的連續(xù)區(qū)間是 )1,( ??? ， )2,1(? ， ),2( ?? 13．曲線 yx? 在點 )1,1( 處的切線斜率是 (1) ? ? 14．函數(shù) y = x 2 + 1 的單調增加區(qū)間為 (0, +? ) 15．已知 xxf 2ln)( ? ，則 ])2([ ?f = 0 16．函數(shù) y x? ?3 1 2( ) 的駐點是 x?1 17．需求量 q 對價格 p 的函數(shù)為 2e100)( ppq ??? ，則需求彈性為 Ep? 2p? 18．已知需求函數(shù)為 pq 32320?? ，其中 p 為價格，則需求彈性 Ep = 10?pp 三、極限與微分計算題 1．解 4 23lim222 ???? xxxx=)2)(2( )1)(2(lim2 ?? ??? xx xxx = )2( 1lim2 ??? xxx = 41 2．解： 23 1lim21 ?? ?? xx xx=)1)(2)(1( 1lim1 ??? ?? xxx xx =21)1)(2( 1lim1 ????? xxx 3．解 0sin2lim 11xxx? ??=0( 1 1 ) s in 2lim ( 1 1 ) ( 1 1 )xxxxx???? ? ? ? = x xxxx2s inlim)11(lim00 ?? ??=2? 2 = 4 4．解 2343lim sin( 3)xxxx???? =3( 3)( 1)lim sin( 3)xxxx???? = 333lim lim ( 1)s in ( 3 )xxx xx??? ??? = 2 5． 解 )1)(2( )1t a n(l i m2)1t a n(l i m 121 ?? ???? ? ?? xx xxx x xx 1 )1t a n(lim21lim11 ? ???? ?? x xx xx 31131 ??? 6． 解 ))32)(1( )23()21(lim 625?? ????? xx xxxx= ))32)(11()213()21(lim625xxxxxx ??????? = 232 3)2(65 ???? 3 7．解： y? (x)= )cos2( ??xxx=2 c oss in2ln2 x xxxx ??? =2 c oss in2ln2 x xxxx ?? 8．解 xxxxf xx 1c os2s in2ln2)( ????? 9．解 因為 5ln5s i n2)c o s2(5ln5)5( c o s2c o s2c o s2 xxx xxy ??????? 所以 5ln25ln52πs i n2)2π( 2πc os2 ??????y 10．解 因為 )(l n)(l n32 31 ??? ? xxy 331ln3 2)(l n32 xxxx ?? ? 所以 xxxy dln3 2d 3? 11． 解 因為 )( c o sc o s5)( s i ne 4s in ????? xxxy x xxxx s inc o s5c o se 4s in ?? 所以 xxxxy x d)s i nc o s5c o se(d 4s in ?? 12．解 因為 )(2ln2)(c os 1 332 ?????? ? xxxy x 2ln2c os3322 xxx ??? 所以 xxxy x d)2ln2c os3(d322 ??? 13．解 )(c o s)2(2s in)( 22 ?????? xxxy xx 2c o s22ln2s in2 xxxx ??? 14．解： )5(e)( l nln3)( 52 ?????? ? xxxxy x xx x 52 5eln3 ??? 15．解 在方程等號兩邊對 x 求導，得 )e()e(])1ln ([ 2 ?????? xyxy 0)(e1)1l n( ???????? yxyxyxy xy xyxy yxyyxx e1]e)1[l n( ??????? 故 ]e)1)[l n(1( e)1( xyxyxxx yxyy ??? ????? 16． 解 對方程兩邊同時求導，得 0eec o s ????? yxyy yy yy yxy e)e(co s ???? )(xy? =yyxy ecos e??. 4 17．解：方程兩邊對 x 求導，得 yxy yy ???? ee yyxy e1 e??? 當 0?x 時， 1?y 所以，0dd?xxy ee01 e 11 ???? 18．解 在方程等號兩邊對 x 求導，得 )()e(])[ c o s ( ?????? xyx y 1e]1)[s in ( ??????? yyyx y )s i n (1)]s i n (e[ yxyyxy ?????? )sin(e )sin(1 yx yxy y ?? ???? 故 xyx yxy y d)s in(e )s in(1d ?? ??? 四、應用題 1．設生產(chǎn)某種產(chǎn)品 x 個單位時的成本函數(shù)為： xxxC )( 2 ??? （萬元） , 求：（ 1）當 10?x 時的總成本、平均成本和邊際成本； （ 2）當產(chǎn)量 x 為多少時，平均成本最小？ 1． 解 （ 1）因為總成本、平均成本和邊際成本分別為： xxxC )( 2 ??? )( ??? xxxC ， )( ??? xxC 所以， )10( 2 ??????C )10( ?????C ， )10( ?????C （ 2）令 )(2 ????? xxC，得 20?x （ 20??x 舍去） 因為 20?x 是其在定義域內(nèi)唯一駐點，且該問題確實存在最小值，所以當 ?x 20 時，平均成本最小 . 2．某廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品，其固定成本為 2021 元，每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品的成本為 60 元，對這種產(chǎn)品的市場需求規(guī)律為 q p? ?1000 10 （ q為需求量， p 為價格） 2． 解 （ 1）成本函數(shù) Cq() = 60q +2021． 因為 q p? ?1000 10 ， 即 p q? ?100 110 ， 所以 收入函數(shù) Rq() =p ? q =(100 110? q )q =100 110 2q q? ． （ 2）因為利潤函數(shù) Lq() =Rq() Cq() =100 110 2q q? (60q +2021) = 40q 1102q 2021 且 ?Lq( ) =(40q 1102q 2021 ?) =40 5 令 ?Lq( ) = 0，即 40 = 0，得 q = 200，它是 Lq() 在其定義域內(nèi)的唯一駐點． 所以， q = 200 是利潤函數(shù) Lq() 的最大值點，即當產(chǎn)量為 200噸時利潤最大 ． 3．設某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為 50000 元，每生產(chǎn)一個單位產(chǎn)品，成本增加 100 元．又已知需求函數(shù) pq 42021 ?? ，其中 p為價格， q 為產(chǎn)量，這種產(chǎn)品在市場上是暢銷的，試求：（ 1）價格為多少時利潤最大？（ 2）最大利潤是多少？ 3．解 （ 1） C(p) = 50000+100q = 50000+100(20214p) =250000400p R(p) =pq = p(20214p)= 2021p4p 2 利潤函數(shù) L(p) = R(p) C(p) =2400p4p 2 250000，且令 )(pL? =2400 – 8p = 0 得 p =300，該問題確實存在最大值 . 所以，當價格為 p =300 元時，利潤最大 . （ 2）最大利潤 1100025000030043002400)300( 2 ??????L （元）． 4．某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品 q 件時的總成本函數(shù)為 C(q) = 20+4q+（元），單位銷售價格為 p = （元 /件），試求：（ 1）產(chǎn)量為多少時可使利潤達到最大？（ 2）最大利潤是多少