【正文】 ）成立，則級(jí)數(shù) ???1n na發(fā)散，其中 nS 表示此級(jí)數(shù)的部分和。 A、 0lim ??? nn s； B、 na 單調(diào)上升； C、 0lim ??? nn a D、nn a??lim不存在 當(dāng)條件（ ）成立時(shí)，級(jí)數(shù) )(1??? ?n nn ba一定發(fā)散。 A、 ???1n na發(fā)散且 ???1n nb收斂； B、 ???1n na發(fā)散； C、 ???1n nb發(fā)散； D、 ???1n na和 ???1n nb都發(fā)散。 若正項(xiàng)級(jí)數(shù) ???1n na收斂，則（ ）收斂。 A、 ???1n na B、 ???12n na C 、 21 )( can n ???? D、 )(1 can n ???? 若兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù) ???1n na、 ???1n nb滿足， ),2,1( ??? nba nn 則結(jié)論（ ），是正確的。 A、 ???1n na發(fā)散則 ???1n nb發(fā)散； B、 ???1n na收斂 則 ???1n nb收斂； C、 ???1n na發(fā)散則 ???1n nb收斂； D、 ???1n na收斂則 ???1n nb發(fā)散。 若 f(x)= nn nxa???0, 則 na = ( )。 A、 !))0(()(nfn B ! )()(n xfn 、 C ! )0()(nfn D、!1n 答案： D A B A C （二）填空題 當(dāng) q _________時(shí)，幾何級(jí)數(shù) nn nqa???0收斂。 級(jí)數(shù) ??? ?1 )151(n n n是 ___________級(jí)數(shù)。 若級(jí)數(shù) ???0n na收斂，則級(jí)數(shù) ???0n na_____________。 指數(shù)函數(shù) f(x)= xe 展成 x的冪級(jí)數(shù)為 __________________。 17 若冪級(jí)數(shù) nn nya???0的收斂區(qū)間為（ — 9 ， 9 ），則冪級(jí)數(shù) nn n xa20 )3( ????的收斂區(qū)間為 ___________。 答案： 1 發(fā)散 收斂 ???0 !nnnx C ( 0 ,6 ) （三）計(jì)算題 判斷下列級(jí)數(shù)的收斂性 ⑴ ??? ?1 )1(1n nn ⑵ ???1!3n nnnn ⑶ ????1)1(nnn 解：⑴此正項(xiàng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)滿足 21)1( 1 nnn ?? n=2,3,…. 由于 ???1 21n n收斂，則由比較判別法可知 ??? ?1 )1(1n nn收斂。 ⑵ ? ?? ?ennnnnnnaannnnnnnnnnnn3)11(3l i m)1(3l i m)!(31)!1(3l i ml i m111 ???????????????????1 則由比值判別法可知 ???1!3n nnnn發(fā)散。 ⑶ 由于 ????1)1(nnn是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，且 na = ,...2,1111,1 ???? ? nann n 及 01limlim ?????? na nnn，由萊布尼茲判別法知級(jí)數(shù) ????1)1(nnn收斂。 求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑 ⑴ ???1nnnx ⑵ ????124 )1(n nnnx 解：⑴ 11limlim 1 ???? ????? n naa nnnn? 因此收斂半徑 R=1， ⑵ 令 ,)1( 2 yx ?? 得冪級(jí)數(shù) ???14n nnny 可知 ???14n nnny的收斂半徑為 4 ，所以原冪級(jí)數(shù)的收斂半徑 第八章 綜合練習(xí)題及參考答案 （一）單項(xiàng)選擇題 下列階數(shù)最高的微分方程是 （ ）。 A； )s in ()( 3 yxyyy ????????? B、 35 65 xyyyyx ??????? ； 41)1(4l i m41)1(41l i ml i m 11 ?????? ???????? n nnnaannnnnnn? 18 C、 246 ????? xyy D、 02)( 2 ????? xyyy 下列一階微分方程中為可分離變量的微分方程是（ ）。 A； 36 xyyx ??? B、 xyxyey ??5 C、 yxyy ??? D、 )sin (2 yxyy ???? 微分方程 0???? yy 的通解為（ ）。 A、 xx ececy 221 ?? B、 xx ececy 221 ?? ?? C 、 xcxcy co ssin 21 ?? D、 xcxcy 2c o s2s in 21 ?? 微分方程 0???xyy的通解為（ ）。 A、 cxy ??11； B、 cxy ?? C、 xy? ； D、 xy lnln ? 微分方程 xeyyy x c o s2 ??????? 的特解應(yīng)設(shè)為 ??y （ ）。 A、 s in )c o s( 21 cxcxey x ?? ? B 、 s in )c o s( 212 cxcexy x ?? ? C xcey x cos?? D、 s in )c o s( 21 cxcey x ?? ? 答案： A C C B D （二）填空題 一階線性微分方程的 )()( xqyxpy ??? 通解公式為 _________。 二階線性微分方程 0136 ?????? yyy 的特征根為 _________。 二階線性微分方程的通解中含有 ____________獨(dú)立的任意常數(shù)。 二階微分方程 xy?? 的通解為 _____________。 若 ?y 是二階線性非齊次微分方程的一個(gè)特解， 2211 ycycy ?? 為其相應(yīng)的齊次微分方程的通解，則非齊次微分方程的通解為 _________________。 答案： )d)(( )()( cxexqey dxxpdxxp ???? ?? i23??? 兩個(gè) 21361 cxcxy ??? 2211 ycycyy ??? ? （三）計(jì)算 題 ⑴求一階微分方程的 yxey ??? 2 滿足 0)0( ?y 的特解 ⑵求一階微分方程的 xyyx sin??? 滿足 0)( ??y 的特解 ⑶ 解：⑴微分方程變?yōu)?dxedye xy 2? ，兩邊積分得方程的通解為 cee xy ?? 221 由條件 0)0( ?y 得 21?c ， 故微分方程的的特解 2121 2 ?? xy ee ⑵方法一 由一階線性微分方程的通解公式得 xxcos 19 )c os(1)s i n( 11 cxxcdxxeey dxxdxx ??????? ?? 由條件 0)( ??y 得 1??c ,故微分方程的的特解 )1cos(1 ??? xxy 方法二 由微分方程可得 xxy sin)( ?? ，兩邊積分得方程的通解為 )cos(1 cxxy ??? 由條件 0)( ??y 得 1??c ,故微分方程的的特解 )1cos(1 ??? xxy ⑴求微分方程 xeyyy 2365 ?????? 的通解 解：原方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為 0652 ??? ?? 特征根為 2,3 21 ???? ?? ， 故齊次微分方程的通解 xx ececy 2231 ?? ?? （其中 21,cc 為任意常數(shù)） 設(shè)原方程的一個(gè)特解應(yīng)為 xAey 2?? ，代入方程得 xx eAe 22 320 ? 得203?A 故微分方程的通解 xxx ececey 22312203 ?? ???（其中 21,cc 為任意常數(shù)） ⑵求微分方程 xeyyy x 5s in44 2?????? 的通解 解：原 方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為 0442 ??? ?? 得特征根為 221 ???? ， 故齊次微分方程的通解 xexccy 221 )( ??? （其中 21,cc 為任意常數(shù)） 設(shè)原方程的一個(gè)特解應(yīng)為 )5s in5c o s(2 xBxAey x ??? ，代入方程得 251,0 ??? BA 故微分方程的通解 xx exccxey 2212 )(5s i n251 ????（其中 21,cc 為任意常數(shù)）