【正文】 p =300，該問題確實存在最大值 . 所以，當價格為 p =300 元時，利潤最大 . （ 2）最大利潤 1100025000030043002400)300( 2 ??????L （元） 4． 某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品 q件時的總成本函數(shù)為 C(q) = 20+4q+（元），單位銷售價格為 p = （元 /件），試求：（ 1）產(chǎn)量為多少時可使利潤達到最大？（ 2）最大利潤是多少？ 4．解 （ 1）由已知 )( qqqqqpR ????? 13 利潤函數(shù)222 qqqqqqCRL ?????????? 則 qL ??? ，令 ???? qL ，解出唯一駐點250?q . 因為利潤函數(shù)存在著最大值，所以當產(chǎn)量為 250 件時可使利潤達到最大， （ 2）最大利潤為 )250( 2 ?????????L （元 5 ． 某 廠 每 天 生 產(chǎn) 某 種 產(chǎn) 品 q 件 的 成 本 函 數(shù) 為9 8 0 )( 2 ??? qqqC （元） .為使平均成本最低，每天產(chǎn)量應為多少？此時，每件產(chǎn)品平均成本為多少？ 5. 解 因為 Cq() = Cqq()= 0 5 36 9800. qq? ? （ q?0 ） ?Cq( ) = ( . )0 5 36 9800qq? ? ?= 05 98002. ? q 令 ?Cq( ) =0，即 0 5 98002. ? q=0，得 q1 =140， q2 = 140（舍去） . q1 =140是 Cq() 在其定義域內(nèi)的唯一駐 點，且該問題確實存在最小值 . 所以 q1 =140 是平均成本函數(shù) Cq() 的最小值點，即為使平均成本最低，每天產(chǎn)量應為 140件 . 此時的平均成本為 C( )140 = 0 5 140 36 9800140. ? ? ?=176 （元 /件） 6．已知某廠生產(chǎn) q 件產(chǎn)品的成本為 C q q q( ) ? ? ?250 20 102（萬元）．問：要使平均成本最少，應生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？ 6． 解 （ 1） 因為 Cq( ) = Cqq()= 250 2010q q? ? ?Cq( ) = ( )250 2010q q? ? ?=? ?250 1102q 令 ?Cq( ) =0，即 ? ? ?250 110 02q，得 q1 =50， q2 =50（舍去）， q1 =50是 Cq() 在其定義域內(nèi)的唯一駐點． 所以， q1 =50是 Cq() 的最小值點，即要使平均成本最少，應生產(chǎn) 50件產(chǎn)品． 7 ． 設 生 產(chǎn) 某 種 產(chǎn) 品 x 個 單 位 時 的 成 本 函 數(shù) 為 ：xxxC )( 2 ??? （萬元） , 求：（ 1）當 10?x 時的總成本、平均成本和邊際成本； （ 2）當產(chǎn)量 x 為多少時，平均成本最?。? 解 （ 1）因為總成本、平均成本和邊際成本分別為： xxxC )( 2 ??? )( ??? xxxC ， )( ??? xxC 所以， )10( 2 ??????C 10100)10( ?????C， )10( ?????C （ 2）令 )(2 ????? xxC，得 20?x （ 20??x舍去） 因為 20?x 是其在定義域內(nèi)唯一駐點，且該問題確實存在最小值，所以當 ?x 20時，平均成本最小 . 8． 某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品 q件時的總成本函數(shù)為 C(q) = 20+4q+（元），單位銷售價格為 p = （元 /件），問產(chǎn)量為多少時可使利潤達到最大？最大利潤是多少 . 解 由已知 )( qqqqqpR ????? 利潤函數(shù)22 qqqqqqCRL ?????????? 則 qL ??? ，令 ???? qL ，解出唯一駐點250?q .因為利潤函數(shù)存在著最大值，所以當產(chǎn)量為 250件時可使利潤達到最大， 且最大利潤為 )250( 2 ?????????L（元） 9 ． 某 廠 每 天 生 產(chǎn) 某 種 產(chǎn) 品 q 件 的 成 本 函 數(shù) 為9 8 0 )( 2 ??? qqqC （元） .為使平均成本最低，每天產(chǎn)量應為多少？此時，每件產(chǎn)品平均成本為多少？ 解 因為 Cq() = Cqq()= 0 5 36 9800. qq? ? （ q?0 ） ?Cq( ) = ( . )0 5 36 9800qq? ? ?=05 98002. ? q 令 ?Cq( ) =0，即 0 5 98002. ? q=0，得 q1 =140， q2 = 140（舍去） . q1 =140 是 Cq() 在其定義域內(nèi)的唯一駐點，且該問題確實存在最小值 . 所以 q1 =140 是平均成本函數(shù) Cq() 的最小值點，即為使平均成本最低，每天產(chǎn)量應為 140件 . 此時的平均成本為 14 C( )140 = 0 5 140 36 9800140. ? ? ?=176 （元 /件） 10． 某廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品，其固定成本為 2021 元，每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品的成本為60 元，對這種產(chǎn)品的市場需求規(guī)律為 q p? ?1000 10 （ q 為需求量， p 為價格）．試求： （ 1）成本函數(shù)，收入函數(shù)； （ 2）產(chǎn)量為多少噸時利潤最大？ 解 （ 1）成本函數(shù) Cq() = 60q +2021． 因為 q p? ?1000 10 ，即 p q? ?100 110 ， 所以 收入函數(shù)Rq() =p ? q =(100 110? q )q =100 110 2q q? ． （ 2 ） 因 為 利 潤 函 數(shù) Lq() = Rq() Cq() =100 110 2q q? (60q +2021) = 40q 1102q 2021 且 ?Lq( ) =(40q 1102q 2021?) =40 令 ?Lq( ) = 0，即 40 = 0，得 q = 200，它是 Lq() 在其定義域內(nèi)的唯一駐點． 所以， q = 200 是利潤函數(shù) Lq() 的最大值點，即當產(chǎn)量為 200噸時利潤最大． 15 （一）填空題 1. ____ ___ ______ ___ ___s i nl i m0 ??? xxxx.答案： 0 2. 設 ???? ???? 0, 0,1)( 2 xk xxxf ，在 0?x 處連續(xù)，則________?k .答案： 1 xy? 在 )1,1( 的切線方程是 .答案：2121 ?? xy 4. 設 函 數(shù) 52)1( 2 ???? xxxf ，則___ _ _ _ _ _ _ _ _ _)( ?? xf .答案： x2 xxxf sin)( ? ，則 __ __ __ __ __)2π( ???f .答案： 2π? （二）單項選擇題 1. 函數(shù)212 ???? xx xy的連續(xù)區(qū)間是（ D ） A． ),1()1,( ????? B． ),2()2,( ??????? C ． ),1()1,2()2,( ???????? D． ),2()2,( ??????? 或 ),1()1,( ????? 2. 下列極限計算正確的是（ B ） A. 1lim0 ?? xxx B. 1lim0 ??? xxx C. 11sinlim0 ?? xxx D. 1sinlim ??? xxx 3. 設 ，則 （ B ）． A ． B ． C． D． 4. 若函數(shù) f (x)在點 x0處可導，則 ( B )是錯誤的． A．函數(shù) f (x)在點 x0處有定義 B． Axfxx ?? )(lim0，但 )( 0xfA? C．函數(shù) f (x)在點 x0處連續(xù) D．函數(shù) f (x)在點 x0處可微 0?x 時，下列變量是無窮小量的是（ C ） . A． x2 B．xxsin C． )1ln( x? D． xcos (三 )解答題 1．計算極限 （ 1） 211 23lim221 ?????? xxxx 2112lim)1)(1()2)(1(lim11????????????xxxxxxxx原式 （ 2） 2186 65lim222 ?????? xxxxx 原式 =4)2) (x(x 3)2) (x(xlim2x? 2143lim2????? xxx （ 3） 2111lim0 ????? xxx 原式 =)11( )11)(11(lim0 ?? ????? xx xxx =11 1lim0 ???? xx 16 =21? （ 4）31423 53lim 22 ??? ???? xx xxx 原式 =22433531xxxx????=31 （ 5）535sin 3sinlim0 ?? xxx 原式 =xxxxx55sin33sinlim530? =53 （ 6） 4)2sin( 4lim22 ???? xxx 原式 =2)2sin(2lim2????xxxx =2)2sin(lim)2(lim22?????xxxxx = 4 2．設函數(shù)????????????0s in0,0,1s in)(xx xxaxbxxxf ， 問：（ 1）當 ba, 為何值時， )(xf 在 0?x 處有極限存在？ （ 2）當 ba, 為何值時， )(xf 在 0?x 處連續(xù) . 解： (1) 1)(lim,)(lim00 ?? ?? ?? xfbxf xx 當 1f ( 0 )f ( x )l i m10x ???? ?有時，ba (2). 1f ( 0 )f ( x )l i m1ba0x ???? ?有時，當 函數(shù) f(x)在 x=0 處連續(xù) . 3．計算下列函數(shù)的導數(shù)或微分： （ 1） 222 2lo g2 ???? xxy x ，求 y? 答案：2ln12ln22 xxy x ???? （ 2）dcx baxy ???，求 y? 答案：22 )()( )()( dcx bcaddcx baxcdcxay ???? ????? （ 3）531?? xy，求 y? 答案： 23)53(23 ????? xy （ 4） xxxy e?? ，求 y? 答案： )(2 1 xx xeexy ????= xx xeex ??2 1 （ 5） bxy ax sine? ，求 yd 答案： ∵ )c o s( si nc o ssi n)( si n( si n)(bxbbxebxbebxaebxebxeyaxaxaxaxax????????? ∴ dxbxbbxaedy ax )c ossi n( ?? （ 6） xxy x ?? 1e ，求 yd 答案： ∵ xexy x 231 12 ???? ∴ dxexxdy x )123( 12?? （ 7） 2ecos xxy ??? ，求 yd 答案： ∵