【正文】 yyxy e1 e??? 當(dāng) 0?x 時(shí)， 1?y 所以，0dd?xxy ee01 e 11 ???? 18．解 在方程等號(hào)兩邊對(duì) x 求導(dǎo)，得 )()e(])[ c o s ( ?????? xyx y 1e]1)[s in ( ??????? yyyx y )s i n (1)]s i n (e[ yxyyxy ?????? )sin(e )sin(1 yx yxy y ?? ???? 故 xyx yxy y d)s in(e )s in(1d ?? ??? 四、應(yīng)用題 1．設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品 x 個(gè)單位時(shí)的成本函數(shù)為： xxxC )( 2 ??? （萬(wàn)元） , 求：（ 1）當(dāng) 10?x 時(shí)的總成本、平均成本和邊際成本； （ 2）當(dāng)產(chǎn)量 x 為多少時(shí)，平均成本最??？ 1． 解 （ 1）因?yàn)榭偝杀尽⑵骄杀竞瓦呺H成本分別為： xxxC )( 2 ??? )( ??? xxxC ， )( ??? xxC 所以， )10( 2 ??????C )10( ?????C ， )10( ?????C （ 2）令 )(2 ????? xxC，得 20?x （ 20??x 舍去） 因?yàn)?20?x 是其在定義域內(nèi)唯一駐點(diǎn)，且該問(wèn)題確實(shí)存在最小值，所以當(dāng) ?x 20 時(shí)，平均成本最小 . 2．某廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品，其固定成本為 2021 元，每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品的成本為 60 元，對(duì)這種產(chǎn)品的市場(chǎng)需求規(guī)律為 q p? ?1000 10 （ q為需求量， p 為價(jià)格） 2． 解 （ 1）成本函數(shù) Cq() = 60q +2021． 因?yàn)? q p? ?1000 10 ， 即 p q? ?100 110 ， 所以 收入函數(shù) Rq() =p ? q =(100 110? q )q =100 110 2q q? ． （ 2）因?yàn)槔麧?rùn)函數(shù) Lq() =Rq() Cq() =100 110 2q q? (60q +2021) = 40q 1102q 2021 且 ?Lq( ) =(40q 1102q 2021 ?) =40 5 令 ?Lq( ) = 0，即 40 = 0，得 q = 200，它是 Lq() 在其定義域內(nèi)的唯一駐點(diǎn)． 所以， q = 200 是利潤(rùn)函數(shù) Lq() 的最大值點(diǎn)，即當(dāng)產(chǎn)量為 200噸時(shí)利潤(rùn)最大 ． 3．設(shè)某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為 50000 元，每生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品，成本增加 100 元．又已知需求函數(shù) pq 42021 ?? ，其中 p為價(jià)格， q 為產(chǎn)量，這種產(chǎn)品在市場(chǎng)上是暢銷(xiāo)的，試求：（ 1）價(jià)格為多少時(shí)利潤(rùn)最大？（ 2）最大利潤(rùn)是多少？ 3．解 （ 1） C(p) = 50000+100q = 50000+100(20214p) =250000400p R(p) =pq = p(20214p)= 2021p4p 2 利潤(rùn)函數(shù) L(p) = R(p) C(p) =2400p4p 2 250000，且令 )(pL? =2400 – 8p = 0 得 p =300，該問(wèn)題確實(shí)存在最大值 . 所以，當(dāng)價(jià)格為 p =300 元時(shí)，利潤(rùn)最大 . （ 2）最大利潤(rùn) 1100025000030043002400)300( 2 ??????L （元）． 4．某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品 q 件時(shí)的總成本函數(shù)為 C(q) = 20+4q+（元），單位銷(xiāo)售價(jià)格為 p = （元 /件），試求：（ 1）產(chǎn)量為多少時(shí)可使利潤(rùn)達(dá)到最大？（ 2）最大利潤(rùn)是多少？ 4．解 （ 1）由已知 )( qqqqqpR ????? 利潤(rùn)函數(shù) 222 qqqqqqCRL ?????????? 則 qL ??? ，令 ???? qL ，解出唯一駐點(diǎn) 250?q . 因?yàn)槔麧?rùn)函數(shù)存在著最大值，所以當(dāng)產(chǎn)量為 250 件時(shí)可使利潤(rùn)達(dá)到最大， （ 2）最大利潤(rùn)為 )250( 2 ?????????L （元） 5．某廠每天生產(chǎn)某種產(chǎn)品 q 件的成本函數(shù)為 9 8 0 )( 2 ??? qqqC （元） .為使平均成本最低，每天產(chǎn)量應(yīng)為多少？此時(shí)，每件產(chǎn)品平均成本為多少？ 5. 解 因?yàn)? Cq() =Cqq()= 0 5 36 9800. qq? ? （ q?0 ） ?Cq( ) = ( . )0 5 36 9800qq? ? ?=05 98002. ? q 令 ?Cq( ) =0，即 0 5 98002. ? q=0，得 q1 =140， q2 = 140（舍去） . q1 =140 是 Cq() 在其定義域內(nèi)的唯一駐點(diǎn)，且該問(wèn)題確實(shí)存在最小值 . 所以 q1 =140 是平均成本函數(shù) Cq() 的最小值點(diǎn)，即為使平均成本最低，每天產(chǎn)量應(yīng)為 140 件 . 此時(shí)的平均成本為 C( )140 = 0 5 140 36 9800140. ? ? ?=176 （元 /件） 6．已知某廠生產(chǎn) q 件產(chǎn)品的成本為 C q q q( ) ? ? ?250 20 102（萬(wàn)元）．問(wèn)：要使平均成本最少，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？ 6． 解 （ 1） 因?yàn)? Cq() =Cqq()= 250 2010q q? ? ?Cq( ) = ( )250 2010q q? ? ?=? ?250 1102q 令 ?Cq( ) =0，即 ? ? ?250 110 02q，得 q1 =50， q2 =50（舍去）， q1 =50 是 Cq() 在其定義域內(nèi)的唯一駐點(diǎn)． 所以， q1 =50 是 Cq() 的最小值點(diǎn) ，即要使平均成本最少，應(yīng)生產(chǎn) 50 件產(chǎn)品． 第二部分 積分學(xué) 一、單項(xiàng)選擇題 6 1．在切線斜率為 2x 的積分曲線族中，通過(guò)點(diǎn)（ 1, 4）的曲線為（ y = x2 + 3 ）． 2. 若 ? ?10 d)2( xkx= 2，則 k =（ 1）． 3．下列等式不成立的是（ )1d(dlnxxx ? ）． 4．若 cxxf x ??? ?? 2ed)( ，則 )(xf? =（ 2e41 x?? ） . 5. ??? )d(e xx （ cx xx ?? ?? ee ）． 6. 若 cxxf xx ???? 11 ede)( ，則 f (x) =（21x ）． 7. 若 )(xF 是 )(xf 的一個(gè)原函數(shù)，則下列等式成立的是 ( )()(d)( aFxFxxfxa ???)． 8．下列定積分中積分值為 0 的是（ xxx d2ee11???? ） 9． 下列無(wú)窮積分中收斂的是 （ ? ??1 2 d1 xx）． 10．設(shè) R? (q)=1004q ，若銷(xiāo)售量由 10 單位減少到 5 單位，則收入 R的改變量是（ 350 ）． 11．下列微分方程中，（ xxyyy e2 ??? ）是線性微分方程． 12．微分方程 0)()( 432 ??????? xyyyy 的階是（ 1） . 二、填空題 1． ?? ? xx ded 2 xxde 2? 2．函數(shù) xxf 2sin)( ? 的原函數(shù)是 21 cos2x + c (c 是任意常數(shù) ) 3．若 cxxxf ???? 2)1(d)( ，則 ?)(xf )1(2 ?x 4．若 cxFxxf ??? )(d)( ，則 xf xx )de(e ??? = cF x ?? ? )e( 5． ???e1 2 dx)1ln(dd xx0 6． ????11 22 d)1( xx x0 7． 無(wú)窮積分 ? ???0 2 d)1( 1 xx是 收斂的 （判別其 斂散性） 8．設(shè)邊際收入函數(shù)為 R? (q) = 2 + 3q，且 R (0) = 0，則平均收入函數(shù)為 2 + q23 ． 9. 0e)( 23 ????? ? yy x 是 2 階微分方程 . 10．微分方程 2xy?? 的通解是 cxy ?? 33 三、計(jì)算題 ⒈ 解 cxxxxx x ???? ?? 1c o s)1(d1s i nd1s i n2 2．解 cxx x xxx ??? ?? 22ln 2)(d22d2 3．解 cxxxxxxxxxx ??????? ?? s i nc osdc osc osds i n 7 4．解 ? ? xxx d1)ln( = ? ??? xxxxx d1)(21ln1)(21 22 = cxxxxx ????4)l n2(21 22 5．解 xxx d)e1(e3ln0 2? ?=? ??3ln0 2 )ed(1)e1( xx= 3ln03)e1(31 x?=356 6．解 )(l nd2ln2)2(dlndln e1e1e1e1 xxxxxxxxx ??? ??? e1e1 4e2d2e2 xxx ???? ? e24d2e2 e1 ???? ? xx 7．解 xxx dln1 12e1? ?= )lnd(1ln1 12e1 xx ???= 2e1ln12 x?= )13(2 ? 8．解 xxx d2cos20?? = 202sin21 ?xx xxd2sin21 20?? = 202cos41 ?x = 21? 9．解法一 xx xxxxx d1)1l n(d)1l n( 1e01e01e0 ????? ????? = xx d)111(1e 1e0?? ???? = 1e0)]1ln([1e ????? xx ＝ eln =1 解法二 令 1??xu ，則 uuuuuuuxx d1lndlnd)1l n( e1e1e11e0 ??? ????? = 11eee e1 ????? u 10．解 因?yàn)? xxP 1)( ? ， 1)( 2 ?? xxQ 用公式 ]d1)e([e d12d1 cxxy xxxx ????? ?? ]d1)e([e ln2ln cxx xx ??? ?? xcxxcxxx ?????? 24]24[1 324 由 4712141)1( 3 ???? cy ， 得 1?c 所以，特解為 xxxy 1243 ??? 11．解 將方程分離變量： xyy xy dede 32 ??? 等式兩端積分得 cxy ???? ? 3e31e21 2 將初始條件 3)1( ??y 代入，得 c???? ?? 33 e31e21 ， c = 3e61 ?? 所以，特解為： 33 ee2e3 2 ?? ?? xy 12．解：方程兩端乘以 x1 ，得 8 xxxyxy ln2 ??? 即 xxxy ln)( ?? 兩邊求積分，得 cxxxxx xxy ???? ?? 2ln)(l ndlndln 2 通解為： cxxxy ?? 2ln 2 由 11??xy，得 1?c 所以，滿足初始條件的特解為： xxxy ?? 2ln 2 13．解 將原方程分離變量 xxyy y dcotlnd ? 兩端積分得 lnlny = lnC sinx 通解為 y = eC sinx 14. 解 將原方程化為： xyxy ln11 ??? ，它是一階線性微分方程， xxP 1)( ?? ， xxQ ln1)( ? 用公式 ( ) d ( ) de [ ( ) e d ]