【正文】 ∴ f(x)= arctan x 處處可導(dǎo)，處處 連續(xù)，所以 f(x)=arctanx 在 [a， b]上滿足拉格朗日定理的二個(gè)條件，因此存在 a＜ c＜ b，使 。所以在（ 0， 1）內(nèi)至少存在一個(gè)數(shù) c (0＜ c＜ 1) 使 。 ④ ， 處處可導(dǎo)且 處處連續(xù)， f(1)=1， f(1)=1。 解： ① 在 [1， 1]上處處有意義，沒有無意義的點(diǎn)，因?yàn)樗麤]有分母，所以 在 b區(qū)間 [1， 1]上處處連續(xù)滿足第一個(gè)條件。 二、基本概念、主要定理和公式、典型例題 Ⅰ 微分中值定理 今后 ，如果函數(shù) f(x)在某一點(diǎn) x0處的導(dǎo)數(shù)值 =0，就說這一點(diǎn) 是駐點(diǎn)，因此羅爾中值定理的結(jié)論也可以說 f(x)在（ a， b）內(nèi)至少有一個(gè)駐點(diǎn)。 Ⅳ 會求 函數(shù)的極值。 ① ； ② ； ③ ； ④ （ 36）填空 ① 則 ② 則 ③ 答案： （三）同步練習(xí)題答案 ∵ 切線與直線 y=5x+1 平行，所以它的斜率相同，由于 y=5x+1 的斜率為 5，所以切線的斜率也是 5，得： （ 7）設(shè)切點(diǎn)為 ( ) （ ⅰ ） （ ⅱ ） ∴ 在切點(diǎn)處它們的斜率相等。 三、同步練習(xí)題 （ 2）若 g（ x）在 x＝ 1處不可導(dǎo)，但在 x＝ 1處有極限且 （ 5）求曲線 y＝ lnx 在點(diǎn) x＝ e 的切線和法線方程。 例四：證明 （ 1） 即這時(shí)價(jià)格增加會使收入增加。 （ 3）若產(chǎn)品的供給量 S 是價(jià)格 P 的函數(shù)，則 叫產(chǎn)量的供給彈性，記作 ES/EP，即 若產(chǎn)品的需求量 D 是價(jià)格 P 的函數(shù) D=D(P)，則 叫產(chǎn)品的需求彈性，記作ED/EP，即 需求彈性在等號右邊添負(fù)號，是因?yàn)樾枨罅?D 是價(jià)格的 減函數(shù)， ，添負(fù)號后可是 ED/EP＞ 0。 x 很小的時(shí)候， sinx=x， x 的單位：弧度 注意：在近似計(jì)算公式 Sin≈x中， X 的角度必須用弧度。 下面第五節(jié) 上面的結(jié)果，可以歸納為下面的分式： 例七 填空 ① ____________ ② ____________ ③ _________ ④ _________ ⑤ ________ 解： ① 7!, ② 0， ③ 、 5!、 ， ④ ， ⑤ 例八：求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù) 例九： ① 已知函數(shù) y=f(x)的八階導(dǎo)數(shù) ，求它的十階導(dǎo)數(shù) 例十：驗(yàn)算 ，滿足方程： （五）微分 （ 1）在介紹導(dǎo)數(shù)的定義時(shí)，我們把符號 △X 叫 X 的增加量，當(dāng) △X→0 時(shí)，就說 △X是 X 的微小增加量，這時(shí)也可將 △X 記作 dx,而 dx 是 X 的微小增加量。 例十四： 求： 解：形為 的函數(shù)叫冪指函數(shù)，它可以轉(zhuǎn)化為指數(shù)函數(shù)為下： (2)先取對數(shù)后求導(dǎo)數(shù)的方法，故稱對數(shù)求導(dǎo)法。 當(dāng) 時(shí)， 這時(shí)的切線為 ； 當(dāng) 時(shí)， ，這時(shí)的切線為 下面第三節(jié) 例二：（ 1） 己知在點(diǎn)（ 1， 0）相切，求 a， b， c. 解：切點(diǎn)（ ）是曲線上的點(diǎn)，代入曲線方程， （ i） （ ⅱ ） ∵ 兩曲線在（ 1， 0）相切， ∴ 它們在點(diǎn)（ 1， 0）的切線斜率相等，即 ∴ 3+a=2b 解得 a=1， b=1， c=1 （ 2）巳知 解：設(shè)切點(diǎn)為（ ），所以切點(diǎn)處兩曲線的斜率相同，得 ∴ ln2a=1 （ 2）導(dǎo)數(shù)的力學(xué)意義 若質(zhì)點(diǎn)在直線上的運(yùn)動路程 s 與時(shí)間 t 的關(guān)系為 s=s（ t），則該質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動速度為： 例三：質(zhì)點(diǎn)在直線上的運(yùn)動方程為 ，求質(zhì)點(diǎn)的速度及在時(shí)刻 t=2 的瞬時(shí)速度： （四）復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和對數(shù)求導(dǎo)法。 典型例題 證： (ⅰ ) (ⅱ )f(a)=0 ∴ f(x)在 x=a 連續(xù) 本例再一次說明連續(xù)函數(shù)不一定可 導(dǎo) （三）導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義 （ 1）導(dǎo)數(shù)的幾何意義 若曲線 y=f(x)在其上一點(diǎn) 處有切線 (見下圖 )，則可證明切線的斜率 K 與函數(shù)f(x)在點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù)值 相等。 典型例題 例一：填空 冪函數(shù)的寫法： 下面第二節(jié) 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算公式與極限的四則運(yùn)算公式有區(qū)別，我們不加推導(dǎo)地用定義的形式介紹如下： 定理：若函數(shù) u(x)與 v(x)都有導(dǎo)數(shù)，則 如果兩個(gè)函數(shù)中，其中有一個(gè)是常數(shù)，根據(jù)乘法公式：兩項(xiàng)和，第一項(xiàng)是第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 乘以第二個(gè)函數(shù)，第二項(xiàng)是第一個(gè)函數(shù)乘以第二個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由于常數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于零，常數(shù)乘以該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)就為零，所以，如果一個(gè)系數(shù)乘以一個(gè)函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，系數(shù)照常寫，只要求該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即可。 若 y 與 x 之間有函數(shù)關(guān)系且 y=f(x)，則 y0=f( )這時(shí)有 仍舊表示 y 的改變量與 x 的改變量的比。 。我們用下圖說明： 由于 f（ a）， f（ b）的異號，所以曲線 y＝ f（ x）在 x＝ a與 x＝ b處的幾何點(diǎn) A與B分別在 x軸的兩側(cè)；由于 y＝ f（ x） 的圖形連續(xù)，所以它與 x必相交，交點(diǎn) x＝ c 處的y＝ 0，即 f（ c）＝ 0 典型例題：證明方程 在（ 1， 2）內(nèi)至少有一根 證：即需證明方程 在（ 1， 2）內(nèi)至少有一根，令 ∵f （ x）至少在 [1,2]上有意義 ∴f （ x）至少在 [1,2]上連續(xù) f（ 1） =2＜ 0,與 f(2)=30＞ 0異號 ∴f(x) 滿足零值定理的兩個(gè)條件 ∴ 在（ 1， 2）內(nèi)至少有一點(diǎn) 1＜ c＜ 2，使 f(c)=0 即 x=c是方程 f（ x）＝ 0的根 ∴x ＝ c 是方程 的根 三、同步練習(xí)題 （一）填空 （二）計(jì)算下列極限： （三）證明題 （ 19）證明方程 （ 20）若 f（ x）在 [a,b]上連續(xù)且 f(a)＞ a,f(b)＜ b 證明方程 f(x)=x,在 (a,b)內(nèi)至少有一個(gè)根 三、同步練習(xí)題 （一）填空 （二）計(jì)算下列極限： 另： （三）證明題 （ 19）證明方程 ，在（ 0， 1）內(nèi)至少有一根 證明：令 f（ x） = f（ x）在 [0， 1]上連續(xù) f（ 0） = 1＜ 0， f（ 1） = 1＞ 0， ∴ f（ 0）與 f（ 1）異號 由零值定理，存在 0＜ c＜ 1， 使 f（ c） =0， 即 x=c 是方程 f（ x） =0 的根 即 x=c 是方程 =0 的根 （ 20）若 f（ x）在 [a,b]上連續(xù)且 f（ a）＞ a,f（ b）＜ b 證明方程 f（ x） =x,在（ a,b）內(nèi)至少有一個(gè)根 證明：令 g（ x） =f（ x） x ∵ f（ x）在 [a,b]上是連續(xù)的 ∴ g（ x）在 [a， b]上連續(xù) ∵ g（ a） =f（ a） a＞ 0， g（ b） =f（ b） b＜ 0 異號 ∴ 存在 a＜ c＜ b，使 g（ c） =0，即有 x=c 是方程 g（ x） =0 的根 即 x=c 是方程 f（ x） x=0 的根 高數(shù)（一）微積分 模擬試題（三） 一、試題部分 （一）單項(xiàng)選擇（每小題 2 分，共 10 分） 上的圖形為下圖，則函數(shù) 上是（ ） （ A）增加且凹的， （ B）減少且凹的， （ C）增加且凸的， （ D）減少且凸的， （二）填空題（每小題 3 分，共 30 分） 6. 7. 8. 在點(diǎn) x=0 處 的切線方程為 的水平漸近線是 10. 11. ，知 14. =[0,1； ]時(shí)， （三）計(jì)算題（每小題 5 分，共 45 分） 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. （四）（應(yīng)用題（每小題 5 分，共 10 分） Q 與 P 價(jià)格的關(guān)系為 P=,該產(chǎn)品的固定成本為 1000，邊際成本 MC=10，若產(chǎn)銷平衡，求 ① 收入函數(shù)， ② 成本函數(shù)， ③ 最大利潤 y= 在區(qū)間［ 0,2］上的圖形的面積和繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而生成的旋轉(zhuǎn)體體積 （五）證明題（ 5 分） 27. ，并用此結(jié)果計(jì)算 二、解答部分 （一）單項(xiàng)選擇題 1. 2. ∴ 選（ A） 3. ∴ 選 (A) 4. ∴ 選（ A） 5. 是凸的 ∴ ，選 (C) （二）填空題 6. 7. ～ ， ln(1+2x)～ 2x， 8. 即： y1=2x 9. ∴ y=0 是水平漸近線 10. 11. 12. 13. 14. 15. （三）計(jì)算題 16. 17. 18. 令 19. 20. 21. 22. 23. 24. 極大值為 (0)=0 極小值為 （四）應(yīng)用題 25. ① ② ∵ Q=0 時(shí)， C=1000， ∴ 1000=C1， ∴ C=1000＋ 10Q ③ L=R－ C=－ 1000＋ 10Q－ =, ∴ 駐點(diǎn) Q=500 =0 ∴ Q=500 是唯一極大值點(diǎn)， ∴ Q=500 是最大值點(diǎn) 最大利潤為： L(500)=1000+50002500=1500 26. ∴ 旋轉(zhuǎn)體體積 V等于 D1的旋轉(zhuǎn)體體積 V1與 D2的旋轉(zhuǎn)體體積 V2之和， 根據(jù)對稱性 V1=V2 （五）證明題 27. ① 令 x=1t， ∴ dx=dt 且 t=1x， x=0 時(shí)， t=1； x=1 時(shí)， t=0 ② 第 三 章 一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分 一、考核內(nèi)容 ，左導(dǎo)數(shù)，右導(dǎo) 數(shù)的概念及它們之間的關(guān)系。 x→0 時(shí)， 無限變大，所以它沒有最大值。 （ ⅱ ） f(x)在 x＝ 1,x=1 上無意義，所以 f(x)在 x＝ 1， x＝ 1處間斷。 典型例題 例一 討 論下列函數(shù)在分段點(diǎn)的連續(xù)性 解：用定義一： f(0)=0 ∴f(x) 在 x=0 連續(xù)。 性質(zhì)二：（ 1）無窮小量乘無窮小量仍是無窮小量