【正文】 即： ∴arctanb － arctana＜ ba 在第三章我們曾知常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零，即 反過來會問：導(dǎo)數(shù)為零的函數(shù)是否一定是常數(shù)，下面我們證明 證：在（ a， b）任取兩數(shù) x1， x2，假定 x2＞ x1，證明這兩個函數(shù)值相等的。 例三：證明不等式： arctanb－ arctana≤b a ， (a＜ b) 解： 令 f(x)= arctan x ∴ 處處存在。 ∴ x=c 是方程 的根。 證：用羅爾中值定理 解：由于 令 在 [0， 1]上滿足羅爾定理的三個條件。 ∴ 在 [1， 1]上滿足三個條件。 ③ f (1)=1， f(2)=4， ∴ 在 [1， 2]上滿足第三個條件。 又 f(1)=1， f(1)=1，所以在端點上函數(shù)值相等，滿足第三個條件 因此這函數(shù)在開間內(nèi)不是處處可導(dǎo)，只少在 0 這一點不可導(dǎo)的，因此不滿足第二個條件。 典型例題 例一：（單選）下列函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上滿足羅爾中值定理的條件的函數(shù)是（ ） ① ， [1， 1]； ② ， [1， 1]； ③ ， [1， 2]； ④ ， [1， 1]。 從 y=f(x)的幾何圖形（見下圖）可以看出，若 y=f(x)滿足羅爾中值的條件，則它在（ a， b）內(nèi)至少有一點，其切線是水平的，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知道，該點的斜率=k=0。 Ⅶ 會求曲線的水平漸近線和垂直漸近線。 Ⅴ 會求出數(shù)在閉區(qū)間上的最值，并會求簡單應(yīng)用問題的最值。 Ⅲ 會判別函數(shù)的單調(diào)性，會用單調(diào)性求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并會利用函數(shù)的單調(diào)性證明簡單的不等式。 代入上式得： 第 四 章 微分中值定理和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 一、考核要求 Ⅰ 知道羅爾定理成立的條件和結(jié)論，知道拉格朗日中值定理成立的條件和結(jié)論。 （ 8）質(zhì)點的運動方程為 ，求時刻 t＝ 2 時的速度。 （ 6）在曲線 上求一點，使過該點的切線與直線 y＝ 5x＋ 1 平行，并求出該切線方程。 因為只有一個極大值，所以 ED/EP＝ 1 是最大值點，即 ED/EP＝ 1 時，收入最多。 （ 2） ，即這時價格增加反而會使收入減少。 （ 1） 它說明價格 p 增加 1％時，售量 D 減少 當(dāng) P＝ 200 時，售量 D＝ 1000400＝ 600 ∴ 收入 R＝ PD＝ 200600＝ 120200 （ 2） P＝ 250 時 它說明價格 P 增加 1％時，售量減少 1％ 當(dāng) P＝ 250 時，售量 D＝ 500 ∴ 收入 R＝ DP＝ 500250＝ 125000 （ 3） P＝ 300 時， 它說明價格增加 1％時，售量減少（ 3/2） % 當(dāng) P＝ 300 時，售量 D＝ 400 ∴ 收入 R＝ PD＝ 300400＝ 120200 由本例可見，價格過高過低收入都低，只有需求彈性為 1 時的收入最高。 需求彈性 ED/EP 的經(jīng)濟意義是：當(dāng)價格 P 增加 1%時，需求量減少 ED/EP% 典型例題 例一： 例二：已知產(chǎn)品的供給量 s=100+，求供給彈性及價格 p=10 時的供給彈性值 。 若成本是產(chǎn)量的函數(shù) C=C(Q)，則收入對產(chǎn)量的導(dǎo)數(shù) 叫邊際成本，記作 MC，即 MC= ； 若收入是產(chǎn)量的函數(shù) R＝ R(Q)，則收入對產(chǎn)量的導(dǎo)數(shù) 叫邊際收入，記作 MR，即 MR= ； 同樣，利潤 L 對產(chǎn)量 Q 的導(dǎo)數(shù) 叫做邊際利潤，記作 ML，即 ML= 。 例四：求 的近似值 經(jīng)濟名詞介紹： （ 1）在經(jīng)濟學(xué)當(dāng)中常用： C 表示產(chǎn)品的總成本； R 表示產(chǎn)品的收入； L 表示產(chǎn)品的利潤； Q 或 X 表示產(chǎn)量； D 表示產(chǎn)品的需求量或銷售量，在產(chǎn)銷平衡時 D 和 Q 相同，可不加區(qū)別； P 表示產(chǎn)品每單位的售價， 商品價格，它們的關(guān)系為： L＝ R－ C， R＝ PQ。 下面是第六節(jié) 典型例題： 例二：填空 ① ≈ ② 解： 例三：求 的近似值。 下面我們把 dx 叫函數(shù) y=f(x)的微分，記作 dy，即 y 的微分等于 y 的導(dǎo)數(shù)乘 X 的微小增加量 dx，即： ， dx 也叫 x 的微分 由微分定義知道： ∴ y 的導(dǎo)數(shù) 也可以理解為 y 的微分 dy 與 x 的微分 dx 的商，因此也叫微商。 例一： ,求 y 的各階導(dǎo)數(shù) ，因為次數(shù)最高為 10，所以所有高于 10 的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都為零。 在求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時，有下面結(jié)果： 解：先將上式取對數(shù)，然后化簡得： 然后將上兩邊對 x 求導(dǎo)數(shù) 將上式兩邊都對 X 求導(dǎo)數(shù) 高階導(dǎo)數(shù) 定義： ，叫 y 的二階導(dǎo)數(shù)； ，叫 y 的三階導(dǎo)數(shù)； ,叫 y 的四階導(dǎo)數(shù)； ，叫 y 的五階導(dǎo)數(shù)； …… ； , 叫 y 的 n 階導(dǎo)數(shù)。 （解一）：先寫出復(fù)合過程， （解二）直接用鏈導(dǎo)公式求導(dǎo) （解一）先寫出復(fù)合過程 （解二）直接用鏈導(dǎo)公式求導(dǎo) 如果復(fù)合函數(shù)由三個可導(dǎo)函數(shù)復(fù)合而成，鏈導(dǎo)公式可以推廣為： （解一）先寫出復(fù)合過程 （解二）直接用鏈導(dǎo)公式 解：直接用鏈導(dǎo)公式 當(dāng)函數(shù) y=f(x)中同時既有四則運算又有復(fù)合運算，而且四則運算在外層時，應(yīng)先進行四則運算。 （ 1）復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 下面，我們不加推導(dǎo)的介紹復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式： 上面的公式叫鏈導(dǎo)公式，其中 典型例題 解：先寫出復(fù)合過程 ， 解：先寫出復(fù)合過程， 在經(jīng)過多次練習(xí)對鏈導(dǎo)公式掌握熟練以后， 復(fù)合過程可以記在心里而不必寫出，直接用鏈導(dǎo)公式寫出結(jié)果。由于 的切線與直線 平行，所以切線的斜率與直線 的斜率相等，得 ，解得 。即 因而有曲線 在點 處的切線方程為 ，其中 曲線 在點 處的法線方程為 例一：（ 1）求曲線 (2)求曲線 的平行于直線 的切線方程。 一個函數(shù) f(x)在某一點 可導(dǎo)與該點 連續(xù)有下面的關(guān)系： 證：因為 f(x)在 x= 可導(dǎo) 請學(xué)員注意，本定理只說明函數(shù) f(x)在某一點可導(dǎo)，則在該點一定連續(xù)，即可導(dǎo)是連續(xù)的充分條件，反過來未必正確，我們可以舉一個例子說明函數(shù) f(x)在一點連續(xù)，在該點未必可導(dǎo)，請看： 關(guān)于導(dǎo)數(shù)，左導(dǎo)數(shù)，右導(dǎo)數(shù)有下面關(guān)系： 用定義求函數(shù) f(x)的左右導(dǎo)數(shù)是很不方便，但是在特殊情況下可以比較方便的求函數(shù)的左導(dǎo) 數(shù)和右導(dǎo)數(shù) 上面的定理說明， f(x)的左導(dǎo)數(shù)值 等于 f(x)在點 的左函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)值；右導(dǎo)數(shù)值 等于 f(x)的右函數(shù) 在點 的導(dǎo)數(shù)值。 例二：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 以后，我們也將函數(shù) f(x)在點 x=a 處的導(dǎo)數(shù)稱為導(dǎo)數(shù) 在點 x=a 處的值， 簡稱函數(shù) f(x)在 x=a 處的導(dǎo)數(shù)（值）。 下面的結(jié)果是數(shù)學(xué)工作者根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義計算的結(jié)果，學(xué)員應(yīng)熟記下面重要公式： 以上 16 個結(jié)果，希 望同學(xué)們能夠通過做練習(xí)熟練掌握住，因為要用導(dǎo)數(shù)的定義求得 16 個基本數(shù)的導(dǎo)數(shù)，比較麻煩，用了導(dǎo)數(shù)公式表，如果碰到是基本初等函數(shù)求導(dǎo)，不用導(dǎo)數(shù)的定義，用導(dǎo)數(shù)公式表即可， 因此用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)數(shù)，多數(shù)是分段函數(shù)或者必須用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)的情況。 定義一： 若極限 存在 就說極限是函數(shù) y=f(x)在點 處的導(dǎo)數(shù)，記作 即： 函數(shù) y=f(x)在點 處的導(dǎo)數(shù)還可表示為 典型例題 例二：已知 g(x)在點 x=a 連續(xù)， f(x)=(xa)g(x),求 定義一：也可表示為下面形式 定義二： 例三：己 知函數(shù) f(x)在點 的導(dǎo)數(shù) ，求極限 例三的結(jié)果可以作為公式使用。 （一）導(dǎo)數(shù)的概念 用 表示變量 u 的初值， u 表示變量 u 的終值，則符號 叫變量 u 的增量或變化量。 二、基本概念，主要定理和公式。 ，熟記導(dǎo)數(shù)的四則運算公式和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式，掌握初等函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的方法 ，會求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，會求某些函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。知道導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義。 零值定理的正確性是明顯的。而 0＜ x＜ 1 時， f(x)也取不到最小值 1 定理（零值定理） 如果 f（ x）在閉區(qū)間 [a,b]上處處連續(xù)，而且 f(x)在端點的函數(shù)值 f(a),f(b)異號。 定理（最大值最小值定理） 如果函數(shù) f（ x）在閉區(qū)間 [a,b]上處處連續(xù)，則函數(shù) f（ x）在閉區(qū)間 [a,b]上一定有最大值 M和最小值 m 推論：若 f（ x）在閉區(qū)間 [a,b]上連續(xù)，則 f（ x）在閉區(qū)間 [a,b]上有界，且 注意上面結(jié)論的兩個條件缺一不可，例 在開區(qū)間 (0,1)上處處連續(xù)，因為它在此區(qū)間上沒有無意義的點。 關(guān)于間斷點，本教程有三種類型： （ 1） 若 則間斷點 x＝ a叫可去間斷點； （ 2） 若 ，則間斷點 x＝ a，叫無窮間斷點； （ 3） 若 ，則間斷點 x＝ a 叫跳躍間斷點。 ∴f(x) 在（ ∞ ， 1），（ 1， 1），（ 1， +∞ ）上處處連續(xù)。 解：（ ⅰ ）在 x=0 點處 f(0)=1 ∴f(x) 在點 x＝ 0 處連續(xù) （ ⅱ ）在 x=2 處 ∴f(x) 在點 x=2處不連續(xù) 例三：已知 在點 x＝ 0連續(xù)，求 a， b： 對于初等函數(shù)，有下面的結(jié) 論 定理：（ 1）一切初等函數(shù)在它有意義的區(qū)間上處處連續(xù) （ 2）一切初等函數(shù)，在它的無意義點上一定間斷 典型例題 例一：求函數(shù) 的間斷點和連續(xù)區(qū)間。 否則，就說 f(x)在 處間斷。 典型例題： 例一：當(dāng) x 0時，請將下列無窮小量與 x進行比較 下面的結(jié)果是重要的結(jié)果，請學(xué)員熟記： x 0時 ,下面的無窮小量都是等價的 . 在求極限時，下面的定理常常能將問題變得簡單： 定理（等價代換定理） 若 u→0 ， ν→0 ，且 u～ ν ，則有 （ 1） （ 2） 證：（ 1） （ 2） 等價代換定理的好處是可以用一個簡單的無窮小量 ν 去替換等價的復(fù)雜的無窮小量 μ 學(xué)員特別要注意的是只有乘除法才能等價替換，加減法不能等價替換！ 典型例題：求下列極限 例二：用等價無窮小替換計算 注意：下面的計算有錯誤 錯誤的原因在第一個等式不成立，因為我們所警告的加減法不能等價替換。 總結(jié)上面結(jié)果 有下面公式： 例四：求下列等比級數(shù)的和 根據(jù)等比級數(shù)求和公式有： 下面為第二節(jié) （三） 函數(shù)的極限 定義一：當(dāng) x與數(shù) a無限接近時，如果函數(shù) f（ x）的值與常數(shù) A 無限接近，就說 x與數(shù) a無限接近時， f（ x）的極限是常數(shù) A，記作： 典型例題：求下列函數(shù)的極限 定義二：若當(dāng) x＜ a且與數(shù) a無限接近時（記作 ），函數(shù) f（ x）與常數(shù) A無限接近，就說函