成人高考(專升本)高等數(shù)學(xué)二復(fù)習(xí)資料(參考版)
2025-01-13 16:07本頁面
【正文】 （ 5）利用等價無窮小代換定理求極限； （ 6）會求分段函數(shù)在分段點處的極限； （ 7）利用洛必達法則求未定式的極限。 ： （ 1）利用極限的四則運算法則求極限； 對于“ ”型不定式，可 考慮用因式分解或有理化消去零因子法。 常用的是 f（ x00） =f（ x0+0） =f（ x0）。 （ 2） 存在。 極限概念應(yīng)該明確極限是描述在給定變化過程中函數(shù)變化的性態(tài)，極限值是一個確定的常數(shù)。 這一章的內(nèi)容在考試中約占 15%，約為 22 分左右。 ［ 0407］ 23 [0611] 例 x35x+1=0在區(qū)間（ 0,1）內(nèi)至少有一個實根 . 證：設(shè) f（ x） =x35x+1 f（ x）在［ 0， 1］上連續(xù) f（ 0） =1 f（ 1） =3 由零點定理可知，至少存在一點ξ∈（ 0， 1） 使得 f（ξ） =0，ξ 35ξ +1=0 即方程在（ 0， 1）內(nèi)至少有一個實根。 定理 初等函數(shù)在其定義的區(qū)間內(nèi)連續(xù)。 定理 （介值定理）如果函數(shù) f（ x）在閉區(qū)間 [a， b]上連續(xù)，且其最大值和最小值分別為 M 和 m，則對于介于 m 和 M 之間的任何實數(shù) C，在 [a， b]上至少存 22 在一個ξ，使得 推論（零點定理）如果函數(shù) f（ x）在閉區(qū)間 [a， b]上連續(xù)，且 f（ a）與 f（ b）異號，則在 [a， b]內(nèi)至少存在一個點ξ，使得 f（ξ） =0 （四）初等函數(shù)的連續(xù)性 由函數(shù)在一點處連續(xù)的定理知，連續(xù)函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算或復(fù)合運算而得的函數(shù)在其定義的區(qū)間內(nèi)是連續(xù)函數(shù)。 定理 （有界性定理）如果函數(shù) f（ x）在閉區(qū)間 [a， b]上連續(xù)，則 f（ x）必在 [a， b]上有界。即 定理 （反函數(shù)的連續(xù)性）設(shè)函數(shù) y=f（ x）在某區(qū)間上連續(xù)，且嚴(yán)格單調(diào)增加（或嚴(yán)格單調(diào)減少），則它的反函數(shù) x=f1（ y）也在對應(yīng)區(qū)間上連續(xù)，且嚴(yán)格單調(diào)增加（或嚴(yán)格單調(diào)減少）。 定理 （復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性）設(shè)函數(shù) u=g（ x）在 x=x0處連續(xù)， y=f（ u）在 u0=g（ x0）處連續(xù)，則復(fù)合函數(shù) y=f[g（ x） ]在 x=x0處連續(xù)。 g（ x）在 x0處連續(xù) （ 2） f（ x） ，則 f（ x）在 =0,x=1 處都間斷 =0,x=1 處都連續(xù) =0 處間斷， x=1處連續(xù) =0 處連續(xù)， x=1處間斷 20 解： x=0處， f（ 0） =0 ∵ f（ 00）≠ f（ 0+0） x=0 為 f（ x）的間斷點 x=1 處， f（ 1） =1 f（ 10） =f（ 1+0） =f（ 1） ∴ f（ x）在 x=1處連續(xù) ［答案］ C [9703]設(shè) ，在 x=0處連續(xù)，則 k 等于 B. C. 分析： f（ 0） =k ［答案］ B 例 3[0209]設(shè) 在 x=0處連續(xù)，則 a= 解： f（ 0） =e0=1 ∵ f（ 0） =f（ 00） =f（ 0+0） ∴ a=1 ［答案］ 1 （二）函數(shù)在一點處連續(xù)的性質(zhì) 21 由于函數(shù)的連續(xù)性是通過極限來定義的，因而由極限的運算法則，可以得到下列連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。 定義如果函數(shù) f（ x）在點 x0處不連續(xù)則稱點 x0為 f（ x）一個間斷點。 這里， f（ x）在左端點 a 連續(xù)，是指滿足關(guān)系： ，在右端點 b 連續(xù)，是指滿足關(guān)系： ，即 f（ x）在左端點 a 處是右連續(xù)，在右端點 b 處是左連續(xù)。由上述定義 2可知如果函數(shù) y=f（ x）在點 x0處連續(xù)，則 f（ x）在點 x0處左連續(xù)也右連續(xù)。 [主要知識內(nèi)容 ] （一）函數(shù)連續(xù)的概念 x0處連續(xù) 定義 1 設(shè)函數(shù) y=f（ x）在點 x0的某個鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量的改變量△ x（初值為 x0）趨近于 0 時，相應(yīng)的函數(shù)的改變量△ y也趨近于 0，即 則稱函數(shù) y=f（ x）在點 x0處連續(xù)。 19 。 第二節(jié)函數(shù)的連續(xù)性 [復(fù)習(xí)考試要求 ] ，理解函數(shù)在一點處連續(xù)與極限存在之間的關(guān)系，掌握判斷函數(shù)（含分段函數(shù)）在一點處連續(xù)性的 方法。 （七）求極限的方法： ； ； ； ； ； 。 （六）兩個重要極限 Ⅰ 重要極限Ⅰ是指下面的求極限公式 令 這個公式很重要，應(yīng)用它可以計算三角函數(shù)的 型的極限問題。arctanx～ x。 常用的等價無窮小量代換有： 當(dāng) 時， sinx～ x。 均為無窮小 又有 這個性質(zhì)常常使用在極限運算中，它能起到簡化運算的作用。 （ 1）如果 則稱 是比 較高階的無窮小量，記作
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