成人高考(專升本)高等數(shù)學(xué)二復(fù)習(xí)資料-文庫(kù)吧
2024-12-26 16:07 本頁(yè)面
【正文】 ： 無(wú)限的趨向 0 無(wú)限的趨向 1 （二）數(shù)列極限的性質(zhì)與運(yùn)算法則 5 定理 （惟一性）若數(shù)列 {xn}收斂，則其極限值必定惟一。 定理 （有界性）若數(shù)列 {xn}收斂，則它必定有界。 注意：這個(gè)定理反過(guò)來(lái)不成立，也就是說(shuō)，有界數(shù)列不一定收斂。比如： 1， 0， 1， 0，? 有界： 0， 1 定理 （兩面夾準(zhǔn)則）若數(shù)列 {xn},{yn},{zn}滿足以下條件： （ 1） ， （ 2） ， 則 定理 {xn}單調(diào)有界，則它必有極限。 。 定理 （ 1） （ 2） （ 3）當(dāng) 時(shí)， （三）函數(shù)極限的概念 x→ x0時(shí)函數(shù) f（ x）的極限 （ 1）當(dāng) x→ x0時(shí) f（ x）的極限 定義對(duì)于函數(shù) y=f（ x），如果當(dāng) x 無(wú)限地趨于 x0時(shí)，函數(shù) f（ x）無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù) A，則稱當(dāng) x→ x0時(shí)，函數(shù) f（ x）的極限是 A，記作 或 f（ x）→ A（當(dāng) x→ x0時(shí)） 例 y=f（ x） =2x+1 6 x→ 1,f（ x）→ ? x1x→ 1 x1x→ 1 （ 2）左極限 當(dāng) x→ x0時(shí) f（ x）的左極限 定義對(duì)于函數(shù) y=f（ x），如果當(dāng) x 從 x0的左邊無(wú)限地趨于 x0時(shí)，函數(shù) f（ x）無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù) A，則稱當(dāng) x→ x0時(shí)，函數(shù) f（ x）的左極限是 A，記作 或 f（ x00） =A （ 3）右極限 當(dāng) x→ x0時(shí)， f（ x）的右極限 定義對(duì)于函數(shù) y=f（ x），如果當(dāng) x 從 x0的右邊無(wú)限地趨于 x0時(shí)，函數(shù) f（ x）無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù) A，則稱當(dāng) x→ x0時(shí)，函數(shù) f（ x）的右極限是 A，記作 或 f（ x0+0） =A 例子：分段函數(shù) ，求 ， 解：當(dāng) x 從 0的左邊無(wú)限地趨于 0 時(shí) f（ x）無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù) 1。我們稱當(dāng) x→ 0 時(shí)， f（ x）的左極限是 1，即有 當(dāng) x 從 0 的右邊無(wú)限地趨于 0 時(shí)， f（ x）無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù) 1。我們稱當(dāng) x→ 0 時(shí)， f（ x）的右極限是 1，即有 7 顯然，函數(shù)的左極限 右極限 與函數(shù)的極限 之間有以下關(guān)系： 定理 當(dāng) x→ x0時(shí)，函數(shù) f（ x）的極限等于 A的必要充分條件是 反之，如果左、右極限都等于 A，則必有 。 x→ 1時(shí) f(x)→ ? x≠ 1 x→ 1f(x)→ 2 對(duì)于函數(shù) ，當(dāng) x→ 1時(shí)， f（ x）的左極限是 2，右極限也是 2。 x→∞時(shí)，函數(shù) f（ x）的極限 （ 1）當(dāng) x→∞時(shí)，函數(shù) f（ x）的極限 y=f(x)x→∞ f(x)→ ? y=f(x)=1+ x→∞ f(x)=1+ → 1 8 定義對(duì)于函數(shù) y=f（ x），如果當(dāng) x→∞時(shí)， f（ x）無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù) A，則稱當(dāng) x→∞時(shí)，函數(shù) f（ x）的極限是 A，記作 或 f（ x）→ A（當(dāng) x→∞時(shí)） （ 2）當(dāng) x→ +∞時(shí)，函數(shù) f（ x）的極限 定義對(duì)于函數(shù) y=f（ x），如果當(dāng) x→ +∞時(shí)， f（ x）無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù) A，則稱當(dāng) x→ +∞時(shí)，函數(shù) f（ x）的極限是 A，記作 這個(gè)定義與數(shù)列極限的定義基本上一樣，數(shù)列極 限的定義中 n→ +∞的 n 是正整數(shù)；而在這個(gè)定義中，則要明確寫出 x→ +∞，且其中的 x 不一定是正整數(shù)，而為任意實(shí)數(shù)。 y=f(x)x→ +∞ f(x)x→？ x→ +∞， f(x)=2+ → 2 例：函數(shù) f（ x） =2+ex，當(dāng) x→ +∞時(shí)， f（ x）→？ 解： f（ x） =2+ex=2+ ， x→ +∞， f（ x） =2+ → 2 所以 （ 3）當(dāng) x→ ∞時(shí)，函數(shù) f（ x）的極限 定義對(duì)于函數(shù) y=f（ x），如果當(dāng) x→ ∞時(shí)， f（ x）無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù) A，則稱當(dāng) x→ ∞時(shí)， f（ x）的極限是 A，記作 9 x→ ∞ f(x)→？ 則 f(x)=2+ (x＜ 0) x→ ∞ ,x→ +∞ f(x)=2+ → 2 例：函數(shù) ，當(dāng) x→ ∞時(shí)， f（ x）→？ 解：當(dāng) x→ ∞時(shí)， x→ +∞ → 2，即有 由上述 x→∞， x→ +∞， x→ ∞時(shí)，函數(shù) f（ x）極限的定義，不難看出： x→∞時(shí) f（ x）的極限是 A 充分必要條件是當(dāng) x→ +∞以及 x→ ∞時(shí)，函數(shù) f（ x）有相同的極限 A。 例如函數(shù) ，當(dāng) x→ ∞時(shí)， f（ x）無(wú)限地趨于常數(shù) 1，當(dāng) x→ +∞時(shí)， f（ x）也無(wú)限地趨于同一個(gè)常數(shù) 1，因此稱當(dāng) x→∞時(shí) 的極限是 1，記作 其幾何意義如圖 3
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