成人高考(專升本)高等數(shù)學(xué)二復(fù)習(xí)資料(編輯修改稿)
2025-02-06 16:07 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 所示。 f(x)=1+ 10 y=arctanx 不存在。 但是對(duì)函數(shù) y=arctanx 來講，因?yàn)橛? 即雖然當(dāng) x→ ∞時(shí)， f（ x）的極限存在，當(dāng) x→ +∞時(shí)， f（ x）的極限也存在，但這兩個(gè)極限不相同，我們只能說，當(dāng) x→∞時(shí)， y=arctanx 的極 限不存在。 x)=1+ y=arctanx 不存在。 但是對(duì)函數(shù) y=arctanx 來講，因?yàn)橛? 即雖然當(dāng) x→ ∞時(shí)， f（ x）的極限存在，當(dāng) x→ +∞時(shí)， f（ x）的極限也存在，但這兩個(gè)極限不相同，我們只能說，當(dāng) x→∞時(shí)， y=arctanx 的極限不存在。 （四）函數(shù)極限的定理 定理 （惟一性定理）如果 存 在，則極限值必定惟一。 定理 （兩面夾定理）設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 的某個(gè)鄰域內(nèi)（ 可除外）滿足條件： （ 1） ，（ 2） 則有 。 注意：上述定理 及定理 對(duì) 也成立。 下面我們給出函數(shù)極限的四則運(yùn)算定理 定理 則 （ 1） 11 （ 2） （ 3）當(dāng) 時(shí)， 時(shí)， 上述運(yùn)算法則可推廣到有限多個(gè)函數(shù)的代數(shù)和及乘積的情形，有以下推論： （ 1） （ 2） （ 3） 用極限的運(yùn)算法則求極限時(shí)，必須注意：這些法則要求每個(gè)參與運(yùn)算的函數(shù)的極限存在，且求商的極限時(shí)，還要求分母的極限不能為零。 另外，上述極限的運(yùn)算法則對(duì)于 的情形也都成立。 （五）無窮小量和無窮大量 （簡稱無窮?。? 定義對(duì)于函數(shù) ，如果自變量 x在某個(gè)變化過程中，函數(shù) 的極限為零，則稱在該變化過程中， 為無窮小量，一般記作 常用希臘字母 ，?來表 示無窮小量。 定理 函數(shù) 以 A 為極限的必要充分條件是： 可表示為 A 與一個(gè)無窮小量之和。 注意：（ 1）無窮小量是變量，它不是表示量的大小，而是表示變量的變化趨勢(shì)無限趨于為零。 （ 2）要把無窮小量與很小的數(shù)嚴(yán)格區(qū)分開，一個(gè)很小的數(shù)，無論它多么 小也不是無窮小量。 （ 3）一個(gè)變量是否為無窮小量是與自變量的變化趨勢(shì)緊密相關(guān)的。在不同的變化過程中，同一個(gè)變量可以有不同的變化趨勢(shì)，因此結(jié)論也不盡相同。 例如： 振蕩型發(fā)散 （ 4）越變?cè)叫〉淖兞恳膊灰欢ㄊ菬o窮小量，例如當(dāng) x越變?cè)酱髸r(shí)， 就越變?cè)叫?，但它不是無窮小量。 （ 5）無窮小量不是一個(gè)常數(shù)，但數(shù)“ 0”是無窮小量中惟一的一個(gè)數(shù)，這是因?yàn)?。 （簡稱無窮大） 定義；如果當(dāng)自變量 （或∞）時(shí)， 的絕對(duì)值可以變得充分大（也即無限地增大），則稱在該變化過程中， 為無窮大量。記作 。 注意：無窮大（∞）不是一個(gè)數(shù)值，“∞”是一個(gè)記號(hào)，絕不能寫成 或 。 12 無窮小量與無窮大量之間有一種簡單的關(guān)系，見以下的定理。 定理 在同一變化過程中，如果 為無窮大量，則 為無窮小量；反之，如果 為無窮小量，且 ，則 為無窮大量。 當(dāng) 無窮大 無窮小 當(dāng) 為無窮小 無窮大 性質(zhì) 1 有限個(gè)無窮小量的代數(shù)和仍是無窮小量； 性質(zhì) 2 有界函數(shù)（變量）與無窮小量的乘積是無窮小量；特別地，常量與無窮小量的乘積是無窮小量。 性質(zhì) 3 有限個(gè)無窮小量的乘積是無窮小量。 性質(zhì) 4 無窮小量除以極限不為零的變量所得的商是無窮小量。 定義設(shè) 是同一變化過程中的無窮小量，即 。 （ 1）如果 則稱 是比 較高階的無窮小量，記作 ； （ 2）如果 則稱 與 為同階的無窮小量； （ 3）如果 則稱 與 為等價(jià)無窮小量，記為 ； （ 4）如果 則稱 是比 較低價(jià)的無窮小量。當(dāng) 等價(jià)無窮小量代換定理： 13 如果當(dāng)時(shí) ， 均為無窮小量，又有 且存在，則 。 均為無窮小 又有 這個(gè)性質(zhì)常常使用在極限運(yùn)算中，它能起到簡化運(yùn)算的作用。但是必須注意：等價(jià)無窮小量代換可以在極限的乘除運(yùn)算中使用。 常用的等價(jià)無窮小量代換有： 當(dāng) 時(shí)， sinx～ x。tan～ x。arctanx～ x。arcsinx～ x。 （六）兩個(gè)重要極限 Ⅰ 重要極限Ⅰ是指下面的求極限公式 令 這個(gè)公式很重要，應(yīng)用它可以計(jì)算三角函數(shù)的 型的極限問題。 其結(jié)構(gòu)式為： 14 Ⅱ 重要極限Ⅱ是指下面的公式： 其中 e 是個(gè)常數(shù)（銀行家常數(shù)），叫自然對(duì)數(shù)的底，它的值為 e=?? 其結(jié)構(gòu)式為： 重要極限Ⅰ是屬于 型的未定型式，重要極限Ⅱ是屬于“ ”型的未定式時(shí)，這兩個(gè)重要極限在極限計(jì)算中起很重要的作用，熟練掌握它們是非常 必要的。 （七）求極限的方法： ； ；
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