【導(dǎo)讀】無窮級(jí)數(shù)問題引起爭(zhēng)論。這種爭(zhēng)論說明對(duì)無窮多項(xiàng)相加，缺乏一種正確的認(rèn)識(shí)。因此對(duì)無窮級(jí)數(shù)的基本概。念和性質(zhì)需要作詳細(xì)的討論。nSn稱為部分和數(shù)列。11)(lim記以且其和為是收斂的則稱級(jí)數(shù)存在若?？梢钥紤]發(fā)散級(jí)數(shù)的和，但在基礎(chǔ)課和考研的考試大綱中不作這種要求。11111)(,nnnnnnnnnnnvbua，bvau，b，avu且等于收斂則為常數(shù)皆收斂和。在級(jí)數(shù)中增加或減少或變更有限項(xiàng)則級(jí)數(shù)的收斂性不變。發(fā)散級(jí)數(shù)不具有結(jié)合律，引言中的級(jí)數(shù)可見是發(fā)散的，所以不同加括號(hào)后得到級(jí)數(shù)。1nnu收斂的必要條件是0lim???nu收斂性尚不能確定。加數(shù)列，它是否收斂就只取決于nS是否有上界，因此??比較判別法的基礎(chǔ)，從而也是正項(xiàng)級(jí)數(shù)其它判別法的基礎(chǔ)。如果皆成立時(shí)當(dāng)設(shè)，u，cvNncnn0,0??????數(shù)的形狀有不同的選擇，但它們?cè)?=1情形下都無能為力。數(shù)學(xué)上有更精細(xì)一些的判別法，但

　　

【正文】 )llnnd x x d x nll????? ? ? ? ??? 該套資料由蕓蕓視頻整理 ： 747883097 TL： 028 8194 2202 期待廣大考生咨詢 推薦： 09 年新東 方考研數(shù)學(xué)英語政治視頻課程 提供試看文件 提供試用下載網(wǎng)盤 09 課程已經(jīng)更新 149 s i n c o s 0 , ( , 1 , 2 , )llmnx x d x m nll?????? c o s c o s s i n s i n 0 ( , 1 , 2 , , )llm n m nx x d x x x d x m n m nl l l l? ? ? ???? ? ? ??? 且 .故 稱 這 個(gè) 三 角 函 數(shù) 系 是 正 交 的 二、傅里葉系數(shù)與傅里葉級(jí)數(shù) ? ?( ) 2 ( 0 ) , ,f x l l l l??設(shè) 以 為 周 期 或 只 定 義 在 上 的 可 積 函 數(shù) 1 ( ) c o s , 0 , 1 , 2 ,lnlna f x x d x nll ?????令 1 ( ) s i n , 0 , 1 , 2 ,lnlnb f x x d x nll ??? , ( ) .nna b f x則 稱 為 的 傅 里 葉 系 數(shù) 01 ( c o s s i n )2 nnna nna x b xll???????三 角 級(jí) 數(shù) ? ?( ) ( 2 , , )f x l l l?稱 為 的 傅 里 葉 級(jí) 數(shù) 關(guān) 于 周 期 為 或 只 在 01( ) ~ ( c o s s i n )2 nnna nnf x a x b xll???????記 以 ( ) ,fx值 得 注 意 在 現(xiàn) 在 假 設(shè) 條 件 下 有 傅 里 葉 系 數(shù) 和 傅 里 葉 級(jí) 數(shù) 的 相 關(guān) 概 念 但 并 , ( )fx不 知 道 傅 里 葉 級(jí) 數(shù) 是 否 收 斂 更 不 知 道 傅 里 葉 級(jí) 數(shù) 是 否 收 斂 于 三、狄利克雷收斂定理 ? ?( ) , ,f x l l?設(shè) 在 上 定 義 且 滿 足 ? ?( 1 ) ( ) ,f x l l?在 上 連 續(xù) 或 只 有 有 限 個(gè) 第 一 類 間 斷 點(diǎn) 該套資料由蕓蕓視頻整理 ： 747883097 TL： 028 8194 2202 期待廣大考生咨詢 推薦： 09 年新東 方考研數(shù)學(xué)英語政治視頻課程 提供試看文件 提供試用下載網(wǎng)盤 09 課程已經(jīng)更新 150 ? ?( 2 ) ( ) ,f x l l?在 上 只 有 有 限 個(gè) 極 值 點(diǎn) ? ? 0 1( ) , ( c o s s i n ) ( ) ,2 nnna nnf x l l a x b x S xll????? ? ? ??則 在 上 的 傅 里 葉 級(jí) 數(shù) 收 斂 且 ? ?? ?( ) , ( , ) ( )1( ) ( 0 ) ( 0 ) , ( , ) ( )21 ( 0 ) ( 0 ) ,2f x x l l f xS x f x f x x l l f xf l f l x l?? ????? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ???當(dāng) 為 的 連 續(xù) 點(diǎn)當(dāng) 為 的 第 一 類 間 斷 點(diǎn)當(dāng) 我們把上述兩個(gè)條件稱為狄利克雷條件 四、正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù) ? ?1 . ( ) 2 , , .f x l l l?設(shè) 以 為 周 期 或 在 上 定 義 且 滿 足 狄 利 克 雷 條 件 ( 1 ) ( ) , 0 ( 0 , 1 , 2 , )nf x a n??如 果 是 奇 函 數(shù) 則 02 ( ) s i n ( 1 , 2 , )ln nb f x x d x nll ????而 ()fx這 時(shí) 的 傅 里 葉 級(jí) 數(shù) 為 正 弦 級(jí) 數(shù) ( 2) ( ) , 0 ( 1 , 2 , 3 )nf x b n??如 果 是 偶 函 數(shù) 則 02 ( ) c o s ( 0 , 1 , 2 , )ln na f x x d x nll ????而 ( ) .fx這 時(shí) 的 傅 里 葉 級(jí) 數(shù) 為 余 弦 級(jí) 數(shù) ? ? ? ?2 . ( ) 0 , , 0 , , ,f x l l設(shè) 在 上 定 義 且 在 上 連 續(xù) 或 只 有 有 限 個(gè) 第 一 類 間 斷 點(diǎn) 只 有 有 限 個(gè) 極 值 點(diǎn)? ?( ) 0 ,f x l那 么 在 上 可 以 有 下 列 兩 個(gè) 傅 里 葉 展 開 式 01(1 ) ( ) ~ c o s2 nna nf x a l???? ? 02 ( ) c o s ( 0 , 1 , 2 , )ln na f x x d x nll ????其 中 該套資料由蕓蕓視頻整理 ： 747883097 TL： 028 8194 2202 期待廣大考生咨詢 推薦： 09 年新東 方考研數(shù)學(xué)英語政治視頻課程 提供試看文件 提供試用下載網(wǎng)盤 09 課程已經(jīng)更新 151 1( 2 ) ( ) ~ s i n , ( 1 , 2 , 3 )nnnf x b x nl??? ?? 02 ( ) s inln nb f x x d xll?? ?其 中 ? ? ? ? ? ?( 1 ) , ( ) 0 , , 0 。 (2 ) , ( ) 0 ,f x l l f x l?因 為 在 中 相 當(dāng) 于 從 按 偶 函 數(shù) 擴(kuò) 充 定 義 到 在 中 相 當(dāng) 于 從? ? ? ?, 0 , 0 , ,ll?按 奇 函 數(shù) 擴(kuò) 充 定 義 到 得 出 傅 里 葉 級(jí) 數(shù) 只 在 上 因 此 為 余 弦 級(jí) 數(shù) 或 正 弦 級(jí) 數(shù)..都 可 以 至 于 這 些 級(jí) 數(shù) 收 斂 的 和 函 數(shù) 仍 按 狄 利 克 雷 收 斂 定 理 的 結(jié) 論 ()乙 典 型 例 題 1 . ( ) 1 0 , 5 1 5 1 0f x x x? ? ? ?例 把 展 成 以 為 周 期 的 傅 里 葉 級(jí) 數(shù) 1551: (1 0 ) c o s55n na x x d x????解 1 5 1 55512 c o s c o s5 5 5nnx d x x x d x?????? 1 5 1 5 1 525 5 51 0 5 5s in s in ( ) c o s5 5 5n n nx x x xn n n? ? ?? ? ?? ? ? ? 0? 00 , .na n a??推 演 過 程 中 沒 有 意 義 要 重 新 求 150 51 (1 0 ) 05a x dx? ? ?? 1551 1 0( 1 0 ) s i n ( 1 ) ( 1 , 2 , )55 nn nb x x d x nn? ?? ? ? ? ?? 11 0 ( 1 )( ) 1 0 s i n ( 5 1 5 )5nnnf x x x xn ?? ???? ? ? ? ??故 2 . ( ) 2 ( 1 1 ) 2 ,f x x x? ? ? ? ?例 將 函 數(shù) 展 成 以 為 周 期 的 傅 里 葉 級(jí) 數(shù) 并 由 此 求 級(jí) 數(shù)該套資料由蕓蕓視頻整理 ： 747883097 TL： 028 8194 2202 期待廣大考生咨詢 推薦： 09 年新東 方考研數(shù)學(xué)英語政治視頻課程 提供試看文件 提供試用下載網(wǎng)盤 09 課程已經(jīng)更新 152 21 1 .n n??? 的 和 : ( ) 2 , ,f x x??解 為 偶 函 數(shù) 只 能 展 成 余 弦 級(jí) 數(shù) 即 10 00 , 2 ( 2 ) 5 ,nb a x d x? ? ? ?? 11002 ( 2 ) c o s ( ) 2 c o s1na x n x d x x n x d x??? ? ??? 222 ( c o s 1 ) ( 1 , 2 , )n nn ?? ??? ? ?1 ,1 ,?因 為 所 給 函 數(shù) 在 上 滿 足 狄 氏 收 斂 定 理 故 ? ?2215 2 ( c o s 1 )2 c o s ( ) , 1 , 12 n nx n xn ? ???? ?? ? ? ?? 2205 4 c o s ( 2 1 )2 ( 2 1 )k kxk ??????? ?? 22 2 2020 4 1 10 , 2 ,2 ( 2 1 ) ( 2 1 ) 8kkx kk ??????? ? ? ? ? ?????當(dāng) 時(shí) 上 式 又 2 2 2 2 21 0 1 0 11 1 1 1 1 1( 2 1 ) ( 2 ) ( 2 1 ) 4n k k k nn k k k n? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? 2222101 4 1 43 ( 2 1 ) 3 8 6nknk ??????? ? ? ????故 ? ?3 . ( ) , , , ( ) , :nnf x a b f x???例 設(shè) 在 上 可 積 為 的 傅 里 葉 系 數(shù) 試 證 2 2 2 2011( ) ( )2 N nnna a b f x d x??? ??? ? ?? ? : N證 明 只 需 證 明 對(duì) 任 意 正 整 數(shù) 都 有 2 2 2 2011( ) ( )2 N nnna a b f x d x??? ??? ? ?? ? 該套資料由蕓蕓視頻整理 ： 747883097 TL： 028 8194 2202 期待廣大考生咨詢 推薦： 09 年新東 方考研數(shù)學(xué)英語政治視頻課程 提供試看文件 提供試用下載網(wǎng)盤 09 課程已經(jīng)更新 153 01( ) ( c o s s i n )2NN n nnaS x a n x b n x?? ? ??令 ? ? 2 20 ( ) ( )Nf x S x dx f x dx????? ? ??????? 22 ( ) ( ) ( )NNf x S x dx S x dx???????? 222 2 2 2 20011( ) 2 ( ) ( )NNn n n nnnaaf x d x a b a b?? ??? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? 2 2 2 2011( ) ( )2 N nnna a b f x d x??? ??? ? ? ?? ?