xdf高數(shù)強化講義07高等數(shù)學講義汪誠義第七章★【漢魅huntmine—校內(nèi)校外學習資源高速下載】-資料下載頁
2025-09-25 17:28本頁面
【正文】 度 設稱為u的梯度 ，令是算子則 散度 設則 稱為的散度高斯公式可寫成 （外側(cè)）其中為外側(cè)單位法向量旋度稱為的旋度。斯托克斯公式可寫成 其中（乙）典型例題一、用基本公式直接計算曲面積分例設S為橢球面的上半部分，點為 在點處的切平面，為原點到的距離，求解：先求出即 由S的方程，于是這樣 區(qū)域D:所以原式＝二 用高斯公式計算曲面積分例1 計算 （常數(shù)）其中解：令曲面 于是為閉下半球面的內(nèi)側(cè) 設其內(nèi)部區(qū)域為，令D為xy平面上圓域 例2 計算其中S是不通過點（1，1，1）的球面的外側(cè)解：設（1） 當S的內(nèi)部不包含點（1，1，1）時，根據(jù)高斯公式可知I = 0（2） 當S的內(nèi)部包含點（1，1，1）時，作曲面選a充分大，使的內(nèi)部，于是是二連通區(qū)域的邊界曲面，現(xiàn)在根據(jù)高斯公式（二連通區(qū)域）于是在，故積分可以化簡令是以（外側(cè)）為邊界的空間區(qū)域再用高斯公式例3 設對x 0內(nèi)任意光滑有向閉曲面S都有其中內(nèi)有一階連續(xù)導數(shù)，且求f (x)解：設S包圍的空間區(qū)域，由題設和高斯公式得 由于S的任意性，可知 即微分方程： 得出通解 由 得 則三、用斯托克斯公式例1 設的上半部，求解：根據(jù)斯托克斯公式其中L為S的邊界曲線 （逆時針方向） 取L的參數(shù)方程 則例2 計算的交線，從z軸正向看去，L為逆時針方向。解：記S為平面上L所圍成部分的上側(cè)，D為S在xy坐標平面上的投影，由斯托克斯公式得 四、曲面積分的應用例 設有一高度為h(t) (t為時間)的雪堆在融化過程中，其側(cè)面滿足方程（設長度單位為厘米，時間單位為小時），已知體積減少的速率與側(cè)面積成正比（），問高度為130(厘米)的雪堆全部融化需多少時間？解：記V為雪堆體積，S為雪堆的側(cè)面積，則 由題意知 由 因此高度為130厘米的雪堆全部融化所需時間為100小時。五、梯度、散度和旋度例1 設解： 求出微分方程的通解 為任意常數(shù)例2 設，計算（1）gradu （2）div(gradu) （3）rot(gradu)解：（1）（2） 于是 129
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