20xx版高考人教版數(shù)學(xué)一輪學(xué)案：第五章第一講-數(shù)列的概念與簡單表示法-(含解析)-資料下載頁
2025-04-03 03:35本頁面
【正文】 對任意n∈N*，an＋1－an＝0，所以k3－3n對任意n∈N*恒成立，所以k∈(0，＋∞)．(2)令f(x)＝x＋(x0)，運(yùn)用基本不等式得f(x)≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝3時等號成立．因?yàn)閍n＝n＋，所以n＋≥2，由于n∈N*，不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)n＝9或n＝10時，an＝19最小，故選B．(3)由已知得a1＝0，a2＝－，a3＝，a4＝0，a5＝－，…，由此可知數(shù)列{an}的項是以3為周期重復(fù)出現(xiàn)的，而2 022＝3674，因此a2 022＝a3＝.名師講壇素養(yǎng)提升遞推數(shù)列的通項公式的求法熱點(diǎn)一 an＋1＝(A、B、C為常數(shù))型例10 已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝，則數(shù)列{an}的通項公式為an＝__(n∈N*)__.[解析] ∵an＋1＝，a1＝1，∴an≠0，∴＝＋，即－＝，又a1＝1，則＝1，∴是以1為首項，為公差的等差數(shù)列，∴＝＋(n－1)＝＋，∴an＝(n∈N*)．[名師點(diǎn)撥] 形如an＋1＝(A，B，C為常數(shù))的數(shù)列，可通過兩邊同時取倒數(shù)的方法構(gòu)造新數(shù)列求解．熱點(diǎn)二 an＋1＝pan＋f(n)(p為常數(shù))型例11 在數(shù)列{an}中，(1)若a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*，則an＝__4n－1＋n__.(2)若a1＝1，an＋1＝2an＋3n，n∈N*，則an＝__3n－2n__.[分析] 觀察遞推式特征：an＋1＝pan＋f(n)，類似等比數(shù)列，故可嘗試化為等比數(shù)列求解，以(1)為例可設(shè)an＋1＋λ(n＋1)＋μ＝4(an＋λn＋μ)，整理得an＋1＝4an＋3λn＋(3μ－λ)所以，即轉(zhuǎn)化成功．[解析] (1)∵an＋1＝4an－3n＋1，∴an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，即＝4，又a1＝2，∴a1－1＝1，∴{an－n}是首項為1，公比為4的等比數(shù)列，∴an－n＝4n－1.∴an＝4n－1＋n.(2)∵an＋1＝2an＋3n，令an＋1＋λ3n＋1＝2(an＋λ3n)比較系數(shù)得λ＝－1.∴an＋1－3n＋1＝2(an－3n)，即＝2，又a1＝1，∴a1－3＝－2，∴{an－3n}是首項為－2，公比為2的等比數(shù)列，∴an－3n＝－2n，∴an＝3n－2n.另解：∵an＋1＝2an＋3n，∴＝＋1，∴－3＝，又a1＝1，∴是首項為－2，公比為的等比數(shù)列，∴－3＝－2n－1，∴an＝3n－2n.名師點(diǎn)撥(1)形如an＋1＝pan＋An＋B(p、A、B為常數(shù))的類型，可令an＋1＋λ(n＋1)＋μ＝p(an＋λn＋μ)，求出λ、μ的值即可知{an＋λn＋μ}為等比數(shù)列，進(jìn)而可求an.(2)形如an＋1＝pan＋Aqn(p、A為常數(shù))的類型．當(dāng)p≠q時，可令an＋1＋λqn＋1＝p(an＋λqn)，求出λ的值即可知{an＋λqn}是等比數(shù)列，進(jìn)而可求an，當(dāng)p＝q時可化為＝＋A即－＝A(常數(shù))知為等差數(shù)列，進(jìn)而可求an.〔變式訓(xùn)練4〕在數(shù)列{an}中，(1)a1＝1，an＝(n≥2)，則an＝____；(2)若a1＝1，an＋1＝2an－3n，n∈N*，則an＝__－52n－1＋3n＋3__；(3)若a1＝1，an＋1＝2an＋32n，n∈N*，則an＝__(3n－2)2n－1__.[解析] (1)將an＝兩邊取倒數(shù)，得－＝2，這說明是一個等差數(shù)列，首項是＝1，公差為2，所以＝1＋(n－1)2＝2n－1，即an＝.(2)∵an＋1＝2an－3n，令an＋1＋λ(n＋1)＋μ＝2(an＋λn＋μ)，則即∴an＋1－3(n＋1)－3＝2(an－3n－3)又a1＝1，∴{an－3n－3}是首項為－5，公比為2的等比數(shù)列，∴an－3n－3＝－52n－1∴an＝－52n－1＋3n＋3.(3)∵an＋1＝2an＋32n，∴－＝3，又a1＝1，∴是首項為1，公差為3的等差數(shù)列，∴＝1＋3(n－1)，∴an＝(3n－2)2n－1. 14
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