20xx版高考人教版數(shù)學(xué)一輪學(xué)案：第四章第四講-平面向量的綜合應(yīng)用-(含解析)-資料下載頁(yè)
2025-04-03 03:14本頁(yè)面
【正文】 ?＋＋＝0；(2)垂心：三角形的三條高線的交點(diǎn)；O是△ABC的垂心?＝＝；(3)外心：三角形的三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)(三角形外接圓的圓心)．O是△ABC的外心?||＝||＝||(或2＝2＝2)；(4)內(nèi)心：三角形的三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)(三角形內(nèi)切圓的圓心)；O是△ABC的內(nèi)心?＝＝＝0.注意：向量λ(λ≠0)所在直線過△ABC的內(nèi)心(是∠BAC的角平分線所在直線)．例5 (2020駐馬店質(zhì)檢)若O為△ABC所在平面內(nèi)任一點(diǎn)，且滿足(－)(＋－2)＝0，則△ABC的形狀為( C )A．正三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形[分析] 通過向量運(yùn)算從算式中消掉O.[解析] 由題意知(＋)＝(－)(＋)＝0，即||＝||，所以△ABC是等腰三角形，故選C．[引申] (1)若條件改為“|－|＝|＋－2|”結(jié)果如何？(2)若條件改為“2＝＋＋”結(jié)果如何？[解析] (1)＋－2＝－＋－＝＋，－＝＝－，∴|＋|＝|－|?|＋|2＝|－|2?＝0，∴三角形為直角三角形，故選B．(2)∵2＝＋＋，∴(－)＝(－)，∴＝2，∴(＋)＝0，即＝0∴⊥，即C＝.∴△ABC為直角三角形，故選B．名師點(diǎn)撥三角形形狀的判斷在△ABC中，①若||＝||，則△ABC為等腰三角形；②若＝0，則△ABC為直角三角形；③若0，則△ABC為鈍角三角形；④若0，0，且0，則△ABC為銳角三角形；⑤若|＋|＝|－|，則△ABC為直角三角形；⑥若(＋)＝0，則△ABC為等腰三角形．〔變式訓(xùn)練4〕(1)若P為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)．①若(－)(－)＝0，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡必過△ABC的__垂心__.②若＝＋λ(＋)(λ≥0)，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡必過△ABC的__重心__.③若2＝2－2，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡必過△ABC的__外心__.(2)已知非零向量與滿足＝0且＝，則△ABC為( D )A．三邊均不相等的三角形 B．直角三角形C．等腰非等邊三角形 D．等邊三角形[解析] (1)①由題意知＝0，∴AP⊥BC，∴動(dòng)點(diǎn)P必過△ABC的垂心；②由題意知＝λ(＋)＝2λ(M為BC中點(diǎn))∴P、A、M共線，∴P必過△ABC的重心；③2＝2－2＝(－)(＋)＝(＋)，即2＝(＋)，∴(2－－)＝(＋)＝0.∴以，為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線互相垂直．∴點(diǎn)P在線段AB的中垂線上，∴P必過△ABC的外心．(2)因?yàn)榉橇阆蛄颗c滿足＝0，所以∠BAC的平分線垂直于BC，所以AB＝AC．又cos ∠BAC＝＝，所以∠BAC＝.所以△ABC為等邊三角形．故選D． 13
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