20xx版高考人教版數(shù)學一輪學案：選修4-4-第二講-參數(shù)方程-(含解析)-資料下載頁
2025-04-03 02:51本頁面
【正文】 建立極坐標系．設曲線C的參數(shù)方程為，(θ為參數(shù))，直線l的極坐標方程為ρcos＝4．①寫出曲線C的普通方程和直線l的直角坐標方程；②求曲線C上的點到直線l的最大距離．[解析] (1)①由題意知，曲線C1的普通方程為(x－3)2＋y2＝4，圓心C1(3,0)，半徑r1＝2，曲線C2的直角坐標方程為x2＋y2＝4，圓心C2(0,0)，半徑r2＝2，∴|MN|max＝|C1C2|＋r1＋r2＝3＋2＋2＝7．②將直線l的參數(shù)方程代入(x－3)2＋y2＝4中，得(tcos α－4)2＋(tsin α)2＝4，整理得t2－8tcos α＋12＝0，∴Δ＝64cos2α－48＞0．設P，Q兩點對應的參數(shù)分別為t1，t2，則t1＋t2＝8cos α，t1t2＝12．由|PQ|＝1及參數(shù)t的幾何意義，得|t1－t2|＝＝＝1，解得cos α＝177。，滿足Δ＞0，∴直線l的斜率為tan α＝177。，∴直線l的方程為x177。7y＋＝0．(2)①由ρcos＝4，得ρ(cos θ＋sin θ)＝4，∴直線l的直角坐標方程為x＋y－8＝0．由得C的普通方程為＋y2＝1．②在曲線C：＋y2＝1上任取一點P(cos θ，sin θ)，則點P到直線l的距離為d＝＝≤5．∴曲線C上的點到直線l的最大距離為5．名師點撥極坐標方程與參數(shù)方程綜合問題的解題策略(1)求交點坐標、距離、線段長．可先求出直角坐標方程，然后求解．(2)判斷位置關系．先轉化為平面直角坐標方程，然后再作出判斷．(3)求參數(shù)方程與極坐標綜合的問題．一般是先將方程化為直角坐標方程，利用直角坐標方程來研究問題．〔變式訓練3〕(2020遼寧沈陽東北育才學校模擬)在極坐標系中，已知圓C的圓心C，半徑r＝．(1)求圓C的極坐標方程；(2)若α∈，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l交圓C于A、B兩點，求弦長|AB|的取值范圍．[解析] (1)由C得，C直角坐標(1,1)，所以圓C的直角坐標方程為(x－1)2＋(y－1)2＝3，由得圓C的極坐標方程為ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ－1＝0．(2)將代入C的直角坐標方程(x－1)2＋(y－1)2＝3，得t2＋2(cos α＋sin α)t－1＝0，則Δ＞0，設A，B對應參數(shù)分別為t1，t2，則t1＋t2＝－2(cos α＋sin α)，t1t2＝－1，|AB|＝|t1－t2|＝＝，因為α∈，所以sin 2α∈[0,1]，所以8＋4sin 2α∈[8,12]，所以|AB|的取值范圍為[2，2]． 10
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