20xx版高考人教版數(shù)學(xué)一輪學(xué)案：第十章第二講-排列與組合(理)-(含解析)-資料下載頁
2025-04-03 03:27本頁面
【正文】 方法，再將3組分到3個(gè)醫(yī)院，共有10A＝60種不同的分配方案，②將5名專家分成三組，一組1人，另兩組都是2人，有＝15種方法，再將3組分到3個(gè)醫(yī)院，共有15A＝90種不同的分配方案，根據(jù)分類加法計(jì)算原理可得一共有60＋90＝150種不同的分配方案．名師講壇素養(yǎng)提升排列組合的其它類型及解法1．限制條件的分配問題分類法：例1 某高校從某系的10名優(yōu)秀畢業(yè)生中選4人分別到西部四城市參加中國西部經(jīng)濟(jì)開發(fā)建設(shè)，其中甲同學(xué)不到銀川，乙不到西寧，共有多少種不同派遣方案？[解析] 因?yàn)榧?、乙有限制條件，所以按照是否含有甲、乙來分類，有以下四種情況：①若甲、乙都不參加，則有派遣方案A種：②若甲參加而乙不參加，先安排甲有3種方法，然后安排其余學(xué)生有A方法，所以共有3A；③若乙參加而甲不參加同理也有3A種；④若甲乙都參加，則先安排甲、乙，有7種方法，然后再安排其余8人中兩人到另外兩個(gè)城市有A種，共有7A方法，所以共有不同的派遣方法總數(shù)為A＋3A＋3A＋7A＝4 088種．2．多元問題分類法：元素多，取出的情況也多種，可按結(jié)果要求分成不相容的幾類情況分別計(jì)數(shù)，最后總計(jì)．3．多排問題單排法：把元素排成幾排的問題可歸結(jié)為一排考慮，再分段處理。例2 8個(gè)不同的元素排成前后兩排，每排4個(gè)元素，其中某2個(gè)元素要排在前排，某1個(gè)元素排在后排，有多少種不同排法？[解析] 看成一排，某2個(gè)元素在前半段四個(gè)位置中選排2個(gè)，有A種，某1個(gè)元素排在后半段的四個(gè)位置中選一個(gè)有A種，其余5個(gè)元素任排5個(gè)位置上有A種，故共有AAA＝ 5 760種排法．4．“至少”“至多”問題用間接排除法或分類法：例3 (2020北京海淀區(qū)二模)某運(yùn)輸公司有7個(gè)車隊(duì)，每個(gè)車隊(duì)的車輛均多于4輛．現(xiàn)從這個(gè)公司中抽調(diào)10輛車，并且每個(gè)車隊(duì)至少抽調(diào)1輛，那么共有__84__種不同的抽調(diào)方法．[解析] 解法一：(分類法)，在每個(gè)車隊(duì)抽調(diào)1輛車的基礎(chǔ)上，還需抽調(diào)3輛車．可分成三類：一類是從某1個(gè)車隊(duì)抽調(diào)3輛，有C種；一類是從2個(gè)車隊(duì)中抽調(diào)，其中1個(gè)車隊(duì)抽調(diào)1輛，另1個(gè)車隊(duì)抽調(diào)2輛，有A種；一類是從3個(gè)車隊(duì)中各抽調(diào)1輛，有C種．故共有C＋A＋C＝84種抽調(diào)方法．解法二：(隔板法)，由于每個(gè)車隊(duì)的車輛均多于4輛，只需將10個(gè)份額分成7份．可將10個(gè)小球排成一排，在相互之間的9個(gè)空當(dāng)中插入6個(gè)隔板，即可將小球分成7份，故共有C＝84種抽調(diào)方法．5．選排問題先取后排：從幾類元素中取出符合題意的幾個(gè)元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法．例4 (1)四個(gè)不同球放入編號為1,2,3,4的四個(gè)盒中，則恰有一個(gè)空盒的放法有多少種？[解析] 先取四個(gè)球中二個(gè)為一組，另二組各一個(gè)球的方法有C種，再排：在四個(gè)盒中每次排3個(gè)有A種，故共有CA＝ 144種．6．部分合條件問題排除法：在選取的總數(shù)中，只有一部分合條件，可以從總數(shù)中減去不符合條件數(shù)，即為所求．例5 四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10點(diǎn)，在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，不同的取法共有( D )A．150種 B．147種C．144種 D．141種[解析] 10個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)共有C種，其中四點(diǎn)共面的有三種情況：①在四面體的四個(gè)面上，每面內(nèi)四點(diǎn)共面的情況為C，四個(gè)面共有4C個(gè)；②過空間四邊形各邊中點(diǎn)的平行四邊形共3個(gè)；③過棱上三點(diǎn)與對棱中點(diǎn)的三角形共6個(gè)．所以四點(diǎn)不共面的情況的種數(shù)是C－4C－3－6＝141種．7．圓排問題單排法：把n個(gè)不同元素放在圓周n個(gè)無編號位置上的排列，順序(例如按順時(shí)鐘)不同的排法才算不同的排列，而順序相同(即旋轉(zhuǎn)一下就可以重合)的排法認(rèn)為是相同的，它與普通排列的區(qū)別在于只計(jì)順序而首位、末位之分，下列n個(gè)普通排列：a1，a2，a3，…，an；a2，a3，a4，…，an，a1；a3，a4，…，an，a1，a2；…在圓排中是同一排法．8．元素個(gè)數(shù)較少的排列組合問題可以考慮枚舉法：例6 設(shè)有編號為1,2,3,4,5的五個(gè)球和編號為1,2,3,4,5的盒子現(xiàn)將這5個(gè)球投入5個(gè)盒子要求每個(gè)盒子放一個(gè)球，并且恰好有兩個(gè)球的號碼與盒子號碼相同，問有多少種不同的方法？[解析] 從5個(gè)球中取出2個(gè)與盒子對號有C種，還剩下3個(gè)球與3個(gè)盒子序號不能對應(yīng)，利用枚舉法分析，如果剩下3,4,5號球與3,4,5號盒子時(shí)，3號球不能裝入3號盒子，當(dāng)3號球裝入4號盒子時(shí)，4,5號球只有1種裝法，3號球裝入5號盒子時(shí)，4,5號球也只有1種裝法，所以剩下三球只有2種裝法，因此總共裝法數(shù)為2C＝20種． 12
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