20xx版高考人教版數(shù)學(xué)一輪學(xué)案：選修4-4-第一講-坐標(biāo)系-(含解析)-資料下載頁
2025-04-03 01:50本頁面
【正文】 2直角坐標(biāo)方程為y＋x＝3，即x＋y－6＝0，所以曲線C2為直線．又曲線C1是圓心為(2,0)，半徑為|r|的圓，因?yàn)閳AC1與直線C1恰有一個(gè)公共點(diǎn)，所以|r|＝＝2，所以圓C1的普通方程為x2＋y2－4x＝0，把x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ代入上式可得C1的極坐標(biāo)方程為ρ2－4ρcos θ＝0，即ρ＝4cos θ．(2)由題意可設(shè)A(ρ1，θ)，B，(ρ1＞0，ρ2＞0)，S△MON＝||||sin ＝ρ1ρ2＝4cos θcos＝4(cos2θ－sin θcos θ)＝4＝2＋2cos所以當(dāng)cos＝1時(shí)，△AOB的面積最大，且最大值為2＋2．例5 (2020山西省晉中市一模)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))．以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為θ＝．(1)求曲線C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程；(2)已知曲線C3的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cos θ，點(diǎn)A是曲線C2與C1的交點(diǎn)，點(diǎn)B是曲線C3與C2的交點(diǎn)，且A，B均異于極點(diǎn)O，求|AB|的值．[解析] (1)曲線C1的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))．轉(zhuǎn)換為普通方程為x2＋(y－2)2＝4．曲線C2的極坐標(biāo)方程為θ＝．轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為：y＝x(x≥0)．(2)曲線C1的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))．轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)方程為：ρ＝4sin θ．所以解得：ρ1＝2，ρ2＝2．整理得|AB|＝|ρ1－ρ2|＝2－2．名師點(diǎn)撥1．解決極坐標(biāo)問題的一般思路：(1)如果對(duì)極坐標(biāo)的意義和應(yīng)用不太熟悉，可將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，求出曲線方程或交點(diǎn)坐標(biāo)，再將其化為極坐標(biāo)的形式；(2)直接建立或求解極坐標(biāo)方程，再結(jié)合題意求解．2．利用ρ的幾何意義解題已知直線l與曲線C的極坐標(biāo)方程，且直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，則利用極坐標(biāo)方程中的極徑ρ解題時(shí)，一般將直線l的極坐標(biāo)方程與曲線C的極坐標(biāo)方程聯(lián)立，消去極角θ，得到關(guān)于ρ的一元二次方程，即可利用根與系數(shù)的關(guān)系求弦長(zhǎng)(弦AB的長(zhǎng)|AB|＝|ρ1－ρ2|，其中ρ1，ρ2為一元二次方程的解)或者求弦長(zhǎng)的取值范圍等．〔變式訓(xùn)練4〕(2017全國(guó)Ⅱ)在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρcos θ＝4．(1)M為曲線C1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在線段OM上，且滿足|OM||OP|＝16，求點(diǎn)P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為，點(diǎn)B在曲線C2上，求△OAB面積的最大值．[解析] (1)設(shè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(ρ，θ)(ρ＞0)，點(diǎn)M的極坐標(biāo)為(ρ1，θ)(ρ1＞0)．由題意知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝．由|OM||OP|＝16，得C2的極坐標(biāo)方程ρ＝4cos θ(ρ＞0)．因此C2的直角坐標(biāo)方程為(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．(2)設(shè)點(diǎn)B的極坐標(biāo)為(ρB，α)(ρB＞0)．由題設(shè)知|OA|＝2，ρB＝4cos α，于是△OAB的面積S＝|OA|ρBsin∠AOB＝4cos α＝2≤2＋．當(dāng)α＝－時(shí)，S取得最大值2＋，所以△OAB面積的最大值為2＋． 13
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