20xx高考數(shù)學(xué)文人教a版一輪復(fù)習(xí)學(xué)案：46-正弦、余弦定理與解三角形-【含解析】-資料下載頁(yè)
2025-04-03 03:23本頁(yè)面
【正文】 3.又因?yàn)?Aπ,所以A=π3.因?yàn)?bcosC=2a3c,所以2sinBcosC=2sinA3sinC,即2sinBcosC=2sin(B+C)3sinC,可得cosB=32,所以B=π6,所以C=△ABC為直角三角形.變式發(fā)散1鈍角三角形 根據(jù)正弦定理可得a2+b2c2,由余弦定理得cosC=a2+b2c22ab0,故C是鈍角,所以△ABC是鈍角三角形.變式發(fā)散2等腰三角形或直角三角形 因?yàn)閏acosB=(2ab)cosA,C=π(A+B),所以由正弦定理得sinCsinAcosB=2sinAcosAsinBcosA,所以sinAcosB+cosAsinBsinAcosB=2sinAcosAsinBcosA,所以cosA(sinBsinA)=0,所以cosA=0或sinB=sinA,所以A=π2或B=A或B=πA(舍去),所以△ABC為等腰三角形或直角三角形.變式發(fā)散3直角三角形 因?yàn)閏osAcosB=ba,由正弦定理得cosAcosB=sinBsinA,所以sin2A=sin2B.由ba=2,可知a≠b,所以A≠B.又因?yàn)锳,B∈(0,π),所以2A=π2B,即A+B=π2,所以C=π2,于是△ABC是直角三角形.例332 ∵a2+b2c2=absinC,即2abcosC=absinC,∴tanC=20,C為銳角.將sinC=2cosC代入sin2C+cos2C=1,解得sinC=255,cosC=55.∵acosB+bsinA=c,∴sinAcosB+sinAsinB=sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,∴sinAsinB=cosAsinB.∵0Bπ,∴sinB0,則tanA=1,∵0Aπ,∴A=π4,∴sinB=sin(A+C)=sinπ4+C=22(sinC+cosC)=31010.由正弦定理得b=asinBsinA=103101022=32.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(1)D (2)35 (1)∵cos2A+cos2B=1+cos2C,∴12sin2A+12sin2B=1+12sin2C,整理得sin2A+sin2B=sin2C,由正弦定理得a2+b2=c2,∴C=π2.∵2sinAsinB=sinC,得2sinAsinB=2sinBcosB=2sinAcosA=1,即sin2B=sin2A=1,由于A,B為銳角,可得A=B=.(2)由(bsinC)cosA=sinAcosC,得bcosA=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB,由asinA=bsinB,得2sinA=bbcosA,∴2cosA=sinA,即tanA=2.則tan(B+C)=tanA=2.即tanB+tanC1tanBtanC=2,∴tanB+tanC=2tanBtanC2,又△ABC為銳角三角形,∴tanB0,tanC0,∴tanB+tanC≥2tanBtanC,當(dāng)且僅當(dāng)tanB=tanC時(shí),等號(hào)成立,∴2tanBtanC2≥2tanBtanC,解得tanBtanC≥3+52,∴tanAtanBtanC=2tanBtanC≤23+52=35,故tanAtanBtanC的最大值為35.例41006 在△ABC中,∵∠BAC=30176。,∠ABC=180176。75176。=105176。,∴∠BCA=45176。.∵AB=600,∴由正弦定理得ABsin∠BCA=BCsin∠BAC,解得BC=△BCD中,∠CBD=30176。,∠DCB=90176。,∴CD=BCtan30176。=300233=1006(m).對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3150 在△ABC中,∵∠BAC=45176。,∠ABC=90176。,BC=100m,∴AC=100sin45176。=1002(m).在△AMC中,∵∠MAC=75176。,∠MCA=60176。,∴∠AMC=45176。,AMsin∠ACM=ACsin∠AMC,即AMsin60176。=1002sin45176。,解得AM=1003(m).在Rt△AMN中,MN=AMsin∠MAN=1003sin60176。=150(m).素養(yǎng)提升微專題4 正、余弦定理在實(shí)際應(yīng)用中的幾個(gè)重要數(shù)學(xué)建模對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1A 作出示意圖如圖所示,設(shè)水柱高度是hm,水柱底端為C,則在△ABC中,∠BAC=60176。,AC=h,AB=100,在Rt△BCD中,BC=3h,根據(jù)余弦定理得,(3h)2=h2+10022100hcos60176。,即h2+50h5000=0,即(h50)(h+100)=0,即h=50,故水柱的高度是50m.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2302 如圖,由題意知,∠BAC=30176。,∠ACB=105176。,∴B=45176。,AC=154=60,由正弦定理得BCsin30176。=ACsin45176。,∴BC=302.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練32114 在△ABC中,AB=40,AC=20,∠BAC=120176。,由余弦定理得BC2=AB2+AC22ABACcos120176。=2800,得BC=207.由正弦定理,得ABsin∠ACB=BCsin∠BAC,即sin∠ACB=ABBCsin∠BAC=∠BAC=120176。,知∠ACB為銳角,則cos∠ACB==∠ACB+30176。,得cosθ=cos(∠ACB+30176。)=cos∠ACBcos30176。sin∠ACBsin30176。=2114.15
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