20xx屆湖北省恩施州高三上學期第一次教學質(zhì)量監(jiān)測考試數(shù)學試題(含解析)-資料下載頁
2025-04-03 03:06本頁面
【正文】 2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）由矩形得，由面面垂直得平面BCFE，于是有，再結(jié)合，連接MQ，BQ，可證平面平面，從而得平面BMQ，得證線線垂直；（2）分別以為軸建立空間直角坐標系Fxyz，用空間向量法求二面角．【詳解】（1）證明：因為，所以，則，平面平面，所以平面BCFE，所以，又由，可知，且，所以平面.取CF的中點Q，連接MQ，BQ，依題意可得四邊形EFQB為平行四邊形，則.因為M為的中點，所以，又，所以平面平面，所以平面BMQ，因為平面BMQ，所以，（2）解：如圖，分別以為軸建立空間直角坐標系Fxyz，則，，.設(shè)平面的法向量，則，令，得.易知平面的一個法向量，且，故平面與平面所成銳二面角的余弦值為.【點睛】方法點睛：本題考查證明線線垂直，考查用空間向量法求二面角，解題方法是建立空間直線坐標系，求出二面角的兩個面的法向量，由法向量夾角的余弦值得出二面角的余弦值．這種方法把立體幾何中的證明轉(zhuǎn)化為計算，便于學生思考．21．已知函數(shù).（1）若曲線存在一條切線與直線垂直，求a的取值范圍；（2）證明：.【答案】（1）或；（2）證明見解析．【分析】（1）求得導(dǎo)函數(shù)，求得的取值范圍，由斜率關(guān)系得出的范圍．（2）利用導(dǎo)數(shù)求得，設(shè)，同樣由導(dǎo)數(shù)求得，得出，可證得不等式右邊大于0，從而證得不等式成立．【詳解】（1）解：，因為的定義域為，所以.因為曲線存在一條切線與直線垂直，所以，解得或，則a的取值范圍為.（2）證明：.當時，；當時，.所以.設(shè)函數(shù)，則.當時，；當時，.所以.因為，所以.因為，所以.又，所以.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查用導(dǎo)數(shù)證明不等式，本題證明不等式解題方法證明，實際上此不等式證明的常用方法是證明．22．已知橢圓的離心率為，左?右焦點分別為，Q為C的上頂點，且滿足.（1）求C的方程.（2）若P為直線上的動點，A，B分別為C的左?右頂點，PA與C的另一個交點為M，PB與C的另一個交點為N，是否存在定點G使得直線MN恒過該定點G？若存在，求G的坐標；若不存在，說明理由.【答案】（1）；（2）存在定點G，且G的坐標為.【分析】（1）由題得到關(guān)于的方程，解方程即得C的方程；（2）設(shè)動點P為，聯(lián)立直線和橢圓的方程求出，再對直線的斜率分兩種情況討論得解.【詳解】解：（1）由題意，設(shè)，則，，因此，故C的方程為.（2）由（1）可知，可設(shè)動點P為，則AP所在直線的方程為，BP所在直線的方程為.設(shè)，聯(lián)立，得，，，同理可得.根據(jù)橢圓的對稱性，若存在定點G，則點G必在x軸上，當直線MN的斜率不存在時，解得，此時直線MN的方程為，得.當時，直線MN的方程為，直線MN過點.當且直線MN的斜率存在時，，所以M，N，G三點共線，則直線MN過點.綜上，存在定點G，且G的坐標為.【點睛】方法點睛：定點問題常用的解題方法有：（1）特殊探求，一般證明：即可以先考慮動直線或曲線的特殊情況，找出定點的位置，然后證明該定點在該直線或該曲線上（定點的坐標直線或曲線的方程后等式恒成立）.（2）分離參數(shù)法：一般可以根據(jù)需要選定參數(shù)，結(jié)合已知條件求出直線或曲線的方程，分離參數(shù)得到等式，（一般地，為關(guān)于的二元一次關(guān)系式）由上述原理可得方程組，從而求得該定點.22
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