【文章內(nèi)容簡介】 知識(shí)點(diǎn) ：旋轉(zhuǎn)體體積 思路 ：極坐標(biāo)中的此平面圖形繞極軸旋轉(zhuǎn)相當(dāng)于直角坐標(biāo)系下的該圖形繞 x軸旋轉(zhuǎn) 解 ：平面區(qū)域 D ： 0 4(1 cos )??? ? ?（20 ????）， 見圖 637 ∵ 心形線 )cos1(4 ?? ?? 的直角坐標(biāo)表示： ??? ?? ?? ?? ?? sin)c o s1(4 c o s)c o s1(4yx （ 80 ??x ）， 根據(jù)直角坐標(biāo)下的體積計(jì)算 及 2 2 2xy???， 得： ? ?? ????? 80 380 280 222 38)( ?????? dxdxxdxyV 34 ( 1 c o s ) c o s 0 2281 6 ( 1 c o s ) [ 4 ( 1 c o s ) c o s ] 3x d?? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ???????? 38)]c o s1()c o s1([)c o s1(64 302 22 ?????? ? dd ????? ? 16038])c os1(31)c os1(21[64 30234 ?????? ★★★ 8． 計(jì)算底面是半徑為 R 的圓，而垂直于底面上的一條固定直徑的所有截面都是等邊三角形的立體體積。 知識(shí)點(diǎn) ：已知平行截面面積的立體體積 思路 ：首先以固定直徑為 x 軸確立 圓方程： 222 Ryx ?? ，再求垂直于 x 軸的截面面積，然后代入公式。 見圖 638 x xy z 圖 638 解 ：以固定直徑為 x 軸圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，則圓方程為： 222 Ryx ?? ， 在圓內(nèi) ， 垂直于 x 軸的截面面積 )(3223221)( 22 xRyyxA ????? ， ∴ 322 3 34)(3 RdxxRV RR ??? ?? ★★ 9． 求曲線 axy? )0( ?a 與直線 ax? ， ax 2? 及 0?y 所圍成的圖形分別繞 ox 軸、 oy 軸旋轉(zhuǎn)一周所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體體積。 知識(shí)點(diǎn) ：旋轉(zhuǎn)體體積 思路 ：作出平面圖形（或求出該平面區(qū)域的 x 、 y 范圍），代入相應(yīng)的公式 解 ：平面圖形 D：????? ?? ??xayaxa02 ，繞 x 軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的立體體積： adxxaV aa ?? 21)(2 2 ?? ? ； 繞 y 軸旋 轉(zhuǎn)產(chǎn)生的立體體積： 22 22 adxxaxV aa ?? ?? ? （繞 y 軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的立體體積如同 1（ 2）也有兩種計(jì)算法） ★★★★ 10． 設(shè)直線 baxy ?? 與直線 0?x ， 1?x ，及 0?y 所圍成的梯形面積等于 A ，試求 a 、 b ，使這 個(gè)梯形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積最?。?0?a ， 0?b ）。 知識(shí)點(diǎn) ：旋轉(zhuǎn)體體積，以及最值問題 思路 ：作出平面圖形（或求出該平面區(qū)域的 x 、 y 范圍）， 進(jìn)而求出以 ba, 為變量的旋轉(zhuǎn)體體積，再求最小值。 y ax b?? 解 ：梯形區(qū)域 D ： 10 ??x ， baxy ???0 ， 0 1 ∴ )3()( 2210 2 babadxbaxV ????? ? ?? ∵ 由條件 Abab ??? )(21，∴ )313234()( 22 bAbAbV ??? ? 0)(32)( ???? AbbV ?，得 Ab? ， 0?a 習(xí)題 64 ★★ 1． 用定積分表示雙曲線 1?xy 上從點(diǎn)（ 1， 1） 到點(diǎn)（ 2， 1/2）之間的一段弧長。 思路 ：曲線表達(dá)為 xy 1? （或yx 1?）代入 相應(yīng) 公式 計(jì)算弧長 解 ：21y x???，∴ dxxdxys ba? ? ????? 21 42 111 ★ ★ 2． 計(jì)算曲線 xy ln? 上相應(yīng)于 83 ??x 的一段弧的弧長。 思路 ：曲線表達(dá)為 xy ln? （或 yex? ）代入 相應(yīng)公式計(jì)算弧長 解 ： 1y x?? ，∴ dtt tdxx xdxxdxys txba ??? ? ????????? ? 83283 2283 22121)21(1111 2 23ln211)11ln21(13232 221 ???????? ???uuuduu uut ★★ 3． 計(jì)算曲線 )3(31 xxy ?? 上相應(yīng)于 31 ??x 的一段 弧的弧長。 解 ： 1 1 1()222 xyxxx? ? ? ? ?， ∴3432322(21)214 )1(1131233131 22 ???????????? ?? ? xxdxxxdxxxdxys ba ★★ 4． 計(jì)算曲線 yyx ln2141 2 ?? （ ey??1 ）的弧長。 解 ： 1 1 1()2 2 2yxyyy? ? ? ? ?， ∴4 1)ln2(212 1)1(411121212122 ???????????? ?? ? eyydyyydyyydyxs eebae ★★★ 5． 計(jì)算拋物線 pxy 22 ? （ 0?p ）從 頂 點(diǎn)到其上點(diǎn) ),( yxM 的弧長。 思路 ：拋物線 表達(dá)為 2y px?? （或pyx 22?），代入 相應(yīng)公式計(jì)算弧長 解 ： yxp??， ∴????????????????? ???? yyyba dyyppydyyppydyyppdxxs 0 220220222 10 ,10 ,11 pypytpy ttttpt d tp a r c t a n0a r c t a n03t a n )t a ns e clnt a n( s e c2s e c ???? ?? pypypypyp 22222 ln(2????? （或通過公式 dxxpdxys ba x? ? ????? 02 211計(jì)算） ★★★★ 6． 證明曲線 xy sin? 的一個(gè)周期（ ?20 ??x ）的弧長等于橢圓 22 22 ?? yx 的周長。 思路 ：分別求出 xy sin? 的弧 長 1s 及橢圓的周長 2s ，求橢圓 周長 時(shí)采用參數(shù)式求解 解 ： xy sin? 的弧長 dxxdxxdxys ba ?? ? ??????? 20 220 221 c o s14c o s11?? dxx? ?? 20 2sin14 ? 橢圓方程表達(dá)為： tx cos2? ， ty sin? ； 代入公式得弧長 dttdtttdtyxs ??? ???????? 20 220 2220 222 s in14c o ss in244??? ∴ 21 ss? ★★★ 7． 求對數(shù)螺線 ?aer? 相應(yīng)于自 0?? 至 ??? 的一段弧的弧長。 思路 ：曲線是極坐標(biāo)的表達(dá)式 ?aer? ， 因此 代入 公式 ????? drrs ? ??? )()( 22 解 ： )1(1)()( 20 22222 ???????? ?? ?? ???? ???? aaa eaadeaedrrs ★★★ 8． 求曲線 1??r 相應(yīng)于自 43?? 至 34?? 的一段弧的弧長。 思路 ：曲線是極坐標(biāo)的表達(dá)式 1r??， 因此 代入公式 ????? drrs ? ??? )()( 22 解 ： 434 22 2 233 243441 1 1( ) ( ) ( l n 1 )s r r d d???? ? ? ? ? ?? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ??? 23ln125 ?? （其中 dttt ttdtttt d tttd t ?? ?? ????? ? c o ss in c o ss inc o ss in 1s e ct a ns e c1222222t a n22 ??? ? ? ??? 222 11lns i n1t a ns e cln)s i nc o s( s e c ??????????? ? Ctttdtttt ） ★★★ 9 求曲線 tx arctan? ， )1ln(21 2ty ?? 相應(yīng)于 自 0?t 至 1?t 的一段弧的弧長。 思路 ：曲線是參數(shù)表達(dá)式 ( ), ( )x t y t????， 因此 代入公式 dttts ? ???? ?? ?? )()( 22 解 ： dttdttttdttts ??? ??????????10 210 2222222 11)1()1( 1)()(?? ?? )21ln (1ln 102 ????? tt 習(xí)題 65 ★ 1． 設(shè)一質(zhì)點(diǎn)距原點(diǎn) x 米時(shí)，受 xxxF 2)( 2 ?? 牛頓力的作用，問質(zhì)點(diǎn)在 F 作用下，從 1?x 移動(dòng)到 3?x ，力所做的功有多大？ 知識(shí)點(diǎn) ：微元法在物理上的應(yīng)用 思路 ：當(dāng)變力沿直線作功，質(zhì)點(diǎn)從 x 至 dxx? 段所作功的微元 dxxFdW )(? 。 解 ：∵ 2( ) ( 2 )d W F x d x x x d x? ? ? ∴350)3()2(3123312 ????? ? xxdxxxW ★★ 2． 某物體作直線運(yùn)動(dòng)，速度為 )/(1 smtv ?? ，求該物體自運(yùn)動(dòng)開始到 s10 末所經(jīng)過的路程，并求物體在前 s10 內(nèi)的平均速度。 知識(shí)點(diǎn) ：微元法在物理上的應(yīng)用 思路 ：變速直線運(yùn) 動(dòng)物體在 t 至 dtt? 時(shí)間段 內(nèi) 所 經(jīng)過路程 的微元 dttVdS )(? 。 解 ：∵ ( ) 1dS V t dt tdt? ? ? ∴ )11111(32)1(32110023100 ?????? ? tdttS （ m ）； )11111(30210 ??? SV （ sm/ ） ★★★ 3． 直徑為 20cm，高為 80cm 的圓柱體內(nèi)充滿壓強(qiáng)為 2/10 cmN 的蒸汽，設(shè)溫度保持不變，要使蒸汽體積縮小一半，問需要作多少功？ 知識(shí)點(diǎn) ：微元法在物理上的應(yīng)用 思路 ： 設(shè) P 為壓強(qiáng)、體積為 V ，根據(jù)物理學(xué)原理， 當(dāng)溫度不變時(shí) 壓強(qiáng)和體積 成反比，因此當(dāng)圓柱體的高為 h 時(shí)， 801010 ,10 22 ???? ?? khkP。 解 ：∵ 壓力 p =壓強(qiáng) ? 面積 ，∴ 當(dāng)圓柱體的高為 h 時(shí)壓力 2800 10p h ???， 功的微元 dhhdW ?80000? ∴ )( , 2ln80 080 0008040 NmdhhW ??? ?? ★★★ 4． 半徑為 R 的半球形水池充滿了水，要把池內(nèi)的水全部吸盡，需作多少功？ 知識(shí)點(diǎn) ：微元法在物理上的應(yīng)用 思路 ：設(shè)半球形水池的方程為 2222 Rzyx ??? （ 0?z ）， 見圖 654， 則將 z 至 dzz? 薄片體積的水吸出， 克服 重力所作的功為 zgdzzRdW ????? )( 22?? ，（ ? 是水的比重，可取 1 3/mkg ） 解 ：∵ zgdzzRdW ????? )( 22?? ， ∴ )( 4)( 40 22 NmgRdzzRzgWR???? ???? zdzz? 0 x y z圖 654 ★★★ 5． 設(shè)有一半徑為 R ，長度為 l 圓柱體平放在深度為 R2 的水池中（圓柱體的側(cè)面與水面 相 切），設(shè)圓柱體的比重為 )1( ??? ，現(xiàn)將圓柱體 從 水中移出水面，問需要作多少功？ 知識(shí)點(diǎn) ：微元法在物理上的應(yīng)用 思路 ：設(shè)圓柱體的方程為 222)( RyRx ??? ， 見圖 655， 則將 x 至 dxx? 段薄圓臺(tái)為 底高為 l 的柱體移出水面，浮力減 重力所作的功為 xgdxRxRlxgdxRxRldW ?????????? 22221 )(2)(2 ?， 另外，因要求整個(gè)柱體出水，因此該部分還需在空中移動(dòng) xR?2 距離，該部分的功 )2()(2 222 xRgdxRxRldW ????? ? 解 ：∵ dxxRRxRdWdWdW )2()(lg2 2221 ?????? ?， ∴ du )2l g (2)()2l g (2 2220 22 ?? ??? ???????? RRRuRx uRRuRdxRxRxRW ?? )( , )12()12lg (2 322 NmglRduuRRRR ????? ?? ??? ★★ 6． 有一閘門，它的形狀和尺寸如下圖所示，水面超過 門 頂 2m，求閘門上所受的水壓力。 知識(shí)點(diǎn) ：微元法在物理上的應(yīng)用 思路 ：由物理知識(shí)可知，水深 h 處的壓強(qiáng)為 hp ?? ，（ ? 為水的比重）以門頂中心為原點(diǎn)向下建立 x 軸，見圖 65