吳贛昌編概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第六章(編輯修改稿)
2025-02-26 17:47 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 12ki i??? ?? 記221 011ki i??? ??，則 202??? ， 于是當(dāng) 202i ia ???時(shí)， D? 最小 . 1設(shè)有一批產(chǎn)品，為估計(jì)其廢品率 p ， 12, , , nX X X 為樣本且服從兩點(diǎn)分布，證明： pX? 是 p 的 一致 無(wú)偏估計(jì)。 證：因?yàn)?X服從兩點(diǎn)分布，所以 , (1 )EX p D X p p? ? ?， 所以 ,EX p? 所以 pX? 是 p 的無(wú)偏估計(jì)； 又 (1 )ppD p D Xn???， 由切比雪夫不等式 21 l im {| | } l im {| | } l im ( 1 ) 1nn n DpP p E p P p p?? ?? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以 pX? 是 p 的一致無(wú)偏估計(jì) 習(xí)題 62 設(shè) X1， X1，…， Xn為總體的一個(gè)樣本。求下列 各總體的密度函數(shù)或分布律中的未知參數(shù)的矩估計(jì)量。 （ 1）??? ?? ??其它,0 ,)( )1( cxxcθxf θθ 其中 c0為已知， θ1， θ為未知參數(shù)。 （ 2）????? ????.,0 10,)(1其它 xxθxfθ 其中 θ0， θ為未知參數(shù)。 （ 3） ? ? ppmxppxXP xmxmx ,10,2,1,0,)1()( ?????? ? ?為未知參數(shù)。 解：（ 1） Xθ cθθ cθcθ cθdxxcθdxxxfXE θθc θθ ???????? ???? ????? ?? 1,11)()( 1 令，得 cXXθ ?? （ 2） ,1)()( 10 ???? ?? ???? θ θdxxθdxxxfXE θ 2)1(,1 XXθXθ θ ???? 得令 （ 3） E (X) = mp 令 mp = X ， 解得 mXp?? 設(shè)總體 ~ [0, ]XU? ，求（ 1） ? 的矩估計(jì)量；（ 2）當(dāng)樣本觀察值為 ， ， ， ， ， 時(shí)，求 ? 的矩估計(jì)值。 解：（ 1）因?yàn)?~ [0, ]XU? ，所以 2EX ?? ， 1AX? ，令 1EX A? ，可得 ? 的矩估計(jì)量 2X?? ； （ 2）將樣本觀察值帶入得 12 2 ( 0 . 3 0 . 8 0 . 2 7 0 . 3 5 0 . 6 2 0 . 5 5 ) 0 . 9 6 3 36X? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 設(shè)總體 X以等概率 1/? 取值 1， 2， 3， … ? ， 求參數(shù) ? 的矩估計(jì)量。 解： 11(1 2 .. . ) 2EX ??? ?? ? ? ? ?，令 12 X?? ? ，解得參數(shù) ? 的矩估計(jì)量 21X???。 一批產(chǎn)品中含有廢品，從中隨機(jī)抽取 60件，發(fā)現(xiàn)廢品 4件，試用矩估計(jì)法估計(jì)這批產(chǎn)品的廢品率。 解：設(shè)這批產(chǎn)品為總體，則總體 ~ (1, )X B p ，則 EX p? ；設(shè) 1 2 60, , ,X X X 為來(lái)自總體的樣本，即抽取的 60件，其中 1,0i iX i?? ?? 第 次 抽 取 廢 品， 第 次 抽 取 正 品，因?yàn)槭且淮笈a(chǎn)品，所以得到的樣本是簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本， 且 601 ii X??表示抽取的 60件產(chǎn)品中廢品的件數(shù)，所以11 n iiXXn ?? ?表示產(chǎn)品中廢品的平均件數(shù)， 因而11 4 16 0 1 5n iiXXn ?? ? ??，令 EX X? ，得 115p?。 設(shè)總體 ~ ( , )X B k p ， k 是正整數(shù)， 01p??， ,kp是未知參數(shù)， 12, , , nX X X 為樣本，求 ,kp的矩估計(jì)量。 解：因?yàn)?~ ( , )X B k p ，所以 , (1 )EX k p D X k p p? ? ?，所以 22(1 ) ( ) (1 )E X k p p k p k p p k p? ? ? ? ? ?； 21211, 2 n iiA X A X????； 令 12 2EX AEX A??? ??，得 12(1 )kp Akp p kp A??? ? ? ??，解得2 21 2 1121221 2 1[ ] [ ]A A A XSpAXA XkA A A X S? ?? ??????? ??? ? ? ??其中 k要取整。 設(shè) X1， X1，…， Xn是來(lái)自參數(shù)為λ的泊松分布總體的一個(gè)樣本，試求λ的極大似然估計(jì)量及矩估計(jì)量。 解：（ 1）矩估 計(jì) X ~ π (λ )， E (X )= λ， 故 λ? =X 為矩估計(jì)量。 （ 2）極大似然估計(jì) λnnxni iexxx λλxPλLni i ?????? ? !!!)。()(2111?， λnxλxλL ni ini i ??? ?? ?? 11 !lnln)(ln Xλnλxλd λLdni i ???? ?? ?,0)(ln 1 解得為極大似然估計(jì)量。 （其中 ),1,0,!}{)。( ????? ? iλixii xexλxXPλxp i 設(shè) X1， X1，…， Xn為總體的一個(gè)樣本。求下列各總體的密度函數(shù)或分布律中的未知參數(shù)的極大似然估計(jì)值和估計(jì)量。 （ 1）??? ?? ??其它,0 ,)( )1( cxxcθxf θθ 其中 c0為已知， θ1， θ為未知參數(shù)。 （ 2）????? ????.,0 10,)(1其它 xxθxfθ 其中 θ0， θ為未知參數(shù)。 （ 3） ? ? ppmxppxXP xmxmx ,10,2,1,0,)1()( ?????? ? ?為未知參數(shù)。 解：（ 1）似然函數(shù) 1211 )()()( ??? ?? ? θnθnnni i xxxcθxfθL ? 0lnln)(ln,ln)1(ln)l n ()(ln 11 ???????? ?? ?? ni ini i xnθθd θLdxθcθnθnθL ?? ?? ni i xnθ1lnln? （解唯一故為極大似然估計(jì)量） （ 2） ?????? ?????? ni iθnnni i xθθnθLxxxθxfθL112121 ln)1()l n (2)(ln,)()()( ? ?? ?? ?????? ni ini i xnθxθθnθd θLd 1 21 )ln(?,0ln2 112)(ln 。 (解唯一 )故為極大似然估計(jì)量。 （ 3） ?? ?? ?????????????????????? ?nini i ixmnxnni ippxmxmxXPpL 11 )1(}{)( 11?， ? ? ),1l n ()(lnln)(ln 111 pxmnpxpL ni ini ini mx i ????? ??? ??? 01)(ln 11 ????? ?? ?? pxmnpxdp pLdni ini i 解得 mXmnxpni i ?? ??2 ，（解唯一）故為極大似然估計(jì)量。
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