【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ?????? ???20 s i nc os 11s i nc os? ????? d ＝ ? ?? ??20 1sinc os? ??? d＝ ? ? 20cossin ???? ?? ＝ 22 ?? （ 4）畫(huà)出積分區(qū)域 D 的草圖，采用極坐標(biāo)計(jì)算， D 可表示為 20 ???? ， 10 ??r 故所求＝ drrrrd ?? ???10 2220 11? ? ＝ 210 2220 1121 drrrd ?? ??? ? 令 tr?2 ，則 dtdr?2 ， r 0 1 t 0 1 所求＝ dtttd ?? ??1020 1121? ? ＝ dttt ttd ?? ??? ???1020 11 1121? ? ＝ dtttd ?? ??10 220 1121? ? ＝ ?????? ??? ??? dtttdttd 10 210 220 11 121 ? ? ＝ ?????? ??? ?? 10 221020 1 )1(21a rc s i n21 ttdtd? ? ＝ ?????? ??? 10220 1221 td ??? ＝ )2(8 ??? （ 5）畫(huà)出積分區(qū)域 D 的草圖，采用極坐標(biāo)計(jì)算， 所求＝? ??? ??? ? c o s0 2322402 a ra rdrd＝ ? ?? ??? ???? ? c o s0 2322 2240 a ra radd＝ ? ?? ??? ???? ? c o s0 2322 2240 a ra radd＝ ? ?? ??? 40 c os01222 ? ? ?dra a＝ ? ???????? ??40 2s in2c os12 ? ??? daa ＝ ?? ?? 40 240 s in2 s in212 ?? ??? a dda ＝ ????????? 40 22s in1)2s in(22???? daa ＝ 402s ina r c s in22????????? ??????? aa ＝ a6? ★★ ? 的體積 V ,其中 ? 由 xyz? ， 222 ayx ?? ， 0?z 所圍成。 解： 注意到曲面 xyz? 在第一、三象限時(shí)位于 xOy 面的上方，在第二、四象限時(shí)位于 xOy 面的下方。曲面 xyz? 在 xOy 面上的投影區(qū)域?yàn)?D ： 222 ayx ?? ，故所求體積為 dxdyxyV D??? ＝ ???? ?? 0,02224yx ayxxydxdy＝ ?? ?a rdrrd0 220 s inc os4 ???? ＝ ? 204 sinc os44 ? ??? da ＝?204 2sin2 ? ??da ＝ 204 2cos4 ??a? ＝ 24a ★★★ 2222 Rzyx ??? 與 Rzzyx 2222 ??? 所圍公共部分的體積。 解： 因?yàn)閮汕蛎娴慕痪€為 222 43Ryx ??，所以?xún)汕蝮w公共部分在 xOy 面上的投影區(qū)域?yàn)?D ：222 43 Ryx ?? ，故 ? ?? ?dx dyyxRRyxRV D?? ??????? 222222 ＝ ? ?d x d yRyxRD????? 2222 = ? ? r drRrRd R ????? 230 220 2? ? ＝ ? ? ? ????????? ????? ?? drRrrRdrRd R R2 30 230222220? ? ＝ ? ? 32302322 4334 RrRR ?? ??? =3125 R? ★★ 區(qū)域 D 由 pxy 2? ， 0xx? ， 0?y 所圍成，求此薄片的重心。 解： 不妨設(shè)該薄片的面密度為 1，則該薄片的質(zhì)量 M =??D dxdy1＝ ?? pxx dydx 200 0＝ ? 00 2x dxpx＝00232 xxp 靜矩 xM =??Dydxdy＝ ?? pxx ydydx 200 0＝ ?00x pxdx＝ 202xp yM =??Dxdxdy＝ ?? pxx dyxdx 200 0＝ 2/50252 xp 重心坐標(biāo) MMx x? ＝ 053x， MMy y? ＝0283 px＝083y即重心在點(diǎn) ?????? 00 83,53 yx ★★ 1 的半圓形薄片上各點(diǎn)處的面密度等于該點(diǎn)到圓心的距離，求此半圓的重心坐標(biāo)及關(guān)于 x軸（直徑邊）的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 解： 依題意，面密度 22),( yxyx ??? 。由對(duì)稱(chēng)性知，重心必在 y 軸，即 0?x ，故只需計(jì)算 y 。M =?? ?D dxdyyx22 ＝ ?? ?1020 rdrrd? ? ＝ 3? yM =?? ?D dxdyyxy22 ＝ ?? ?10 220 sin rdrrd ??? ＝ 21 。 所以 MMy y? ＝ 3/2/1? ＝ ?23 即重心坐標(biāo)為 ?????? ?23,0 對(duì)于 x 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 xI =?? ?D dx dyyxy222 ＝ ?? ?10 230 sin rdrrd ??? ＝ ?? ??0 2sin51 d ＝ ? ?? ?? ??0 2c os1101 d＝ ???02sin21101 ?????? ? ＝ 10? 。 ★★ （面密度為常數(shù) 1）所占閉區(qū)域 D 由拋物線 xy 292?與直線 2?x 所圍成，求 xI 和 yI 解： xI =??D dxdyy ?2＝ ?? x dyydx 290 2202＝ ?20 2322118 dxx＝ 572 yI =??D dxdyx ?2＝ ?? x dydxx 29020 22＝ ?20 25216 dxx＝ 796 ★★★ xy ln? ， 0?y 及 ex? 所圍成的均勻薄片（密度為 1），問(wèn)此薄片繞哪一條垂直于 x 軸的直線旋轉(zhuǎn)時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)慣 量最小？ 解： )(tI ＝ ?? ?D dxdytx2)(＝ ?? ? xe dydxtx ln01 2)(＝ ? ?e xdxtx1 2 ln)(＝ ? ?e txxd1 3)(ln31 ＝ ? ? ? ??? ee xdtxxtx1 313 ln)(31ln)(31＝ ? ????? e dxxttxtxte13223 )33(31)(31 ＝ 9192)1(21 322 ???? etet 令 )(tI? ＝ )1(212 2 ?? et ＝ 0，得 )1(41 2 ?? et 由于 ))1(41( 2 ??? eI ＝ 02? 所以當(dāng) )1(41 2 ?? et 時(shí) )(tI 最小。 ★★★ dxdybyaxD?? ? )( 2222 ，其中 D 為橢圓形閉區(qū)域： 12222 ??byax 解： 作廣義極坐標(biāo)變換 ?cosarx? ， ?sinbry? ，則被積函數(shù) 22222 rbyax ?? 。 區(qū)域 D ： 12222 ??byax化為 12?r ，即 D? : 10 ??r ， ?? 20 ?? ，而 J = ),( ),( ?ryx?? ＝ ?? ?? cossin sincos brb ara ? ＝ abr ＝ J 所以，原式＝ ?? ?D abrdrdr ?2 ＝ ?? 10 320 drrdab ? ?＝ 104412 rab ?? ? ＝ ab2? ★★★ ???? ?????yxdxdyyx00)co s( 解： 由對(duì)稱(chēng)性知 ?? ?1)cos (D dxdyyx ＝ ?? ?4)cos (D dxdyyx , ?? ?2)cos (D dxdyyx ＝ ?? ?3)cos (D dxdyyx 所以，原式＝ ?? ?1)c os (2 D dx dyyx ?? ??2)c os (2 D dx dyyx 作變換 ??? ??? uyx tx 則 J ＝ 1 由對(duì)稱(chēng)性知 ?? ?1)cos (D dxdyyx ＝ ?? ?1)cos (D dxdyyx ＝ ?? 2020 cos ?? dutdt ＝ 2? ?? ?2 )cos (D dxdyyx ＝ ?? ?? 2 )c os (D dx dyyx ＝ ??? ???? 22 cosududt ＝ 2? 所以，所求＝ ?????? ?222 ??＝ ?2 ★★★ ????Dyx deyx y ?2)(，其中 D 是由直線 1??yx ， 0?x 和 0?y 所圍成。 解： 作變換 uyx ?? ， vyxy ??，則被積函數(shù) 2uve 。 區(qū)域 D 化為 D? ： 10 ??u ， 10 ??v ，而 J = ),( ),( vuyx?? ＝ uv uv ??1 ＝ u ＝ J 所以，原式＝ ??? ?Du ududvve 2 ＝ ?? 1010 2duuevdv u＝ ?? 10 210221 duevdv u ＝ ? ??1010221 dvev u ＝ 102221 ???????? ve＝ 41?e ★★★ ，化二重積分 ??D dxyf ?)( 為單積分，其中 D 為由曲線 1?xy ，2?xy ， xy? ， xy 4? )0,0( ?? yx 所圍成的閉區(qū)域。 解： 作變換 uxy? ， vxy? ，則vux?， uvy? ， D 化為 D? ： 21 ??u ， 41 ??v 而 J = ),( ),( vuyx?? ＝vuuvvvuuv22221 ?＝ v21 ＝ J 所以， 所求 ＝ ??? ?D dudvvuf1)(21 ＝ dvduufv ???????? 2141 )(121＝ ?21 )(2ln duuf ★★★ ，證明等式 ?? ?D dxdyyxf )( ＝ ??11 )( duuf ，其中閉區(qū)域 D : 1??yx 解： 畫(huà)出積分區(qū)域的草圖，并結(jié)合被積函數(shù)的形式，作變換 uyx ?? ， vyx ?? ，即 2vux ?? ，2vuy ?? ，區(qū)域D 化為 D? ： 11 ??? u ， 11 ??? v ，而 J = ),( ),( vuyx?? ＝ 2/12/1 2/12/1 ? ＝ 21? ，所以 J ＝ 21 所求＝ ??? ?D dudvuf 21)( ＝ ?? ?? 1111 )(21 duufdv ＝ ??11 )( duuf 習(xí)題 94 ★★ ???? dx dy dzzyxf ),(為三次積分，其中積分區(qū)域 ? 分別是： （ 1） 由 xyz? ， 2??yx ， 0?z 所圍成的閉區(qū)域； （ 2） 由六個(gè)平面 0?x ， 2?x ， 1?y ， 42 ?? yx ， xz? ， 2?z 所圍成的閉區(qū)域； （ 3） 由曲面 22 2yxz ?? 及 22 xz ?? 所圍成的閉區(qū)域 。 解： （ 1）想像 ? 的形狀，可把 ? 表示為 10 ??x ， xy ??? 20 ， xyz??0 所以， ???? dx dy dzzyxf ),(＝ ??? ? xyx dzzyxfdydx02022 ),( （ 2） 畫(huà)出積分區(qū)域的草圖，可知區(qū)域 ? 介于平面 xz? 與 2?z 之間，且 2??zx ， ? 在 xOy 面上的投影區(qū)域?yàn)?D ： 20 ??x ， 221 xy ??? ，所以 ???? dx dy dzzyxf ),( ＝ ??? ),( ),(21 ),(yxz yxzD dzzyxfd? ＝ ??? ? 222120 ),(xx dzzyxfdydx （ 3）不難求得兩曲面的交線在 xOy 面上的投影為 122 ??yx ， ? 在 xOy 面上的投影區(qū)域?yàn)?D ：122 ??yx ，所以 ???? dx dy dzzyxf ),( ＝ ??? ?????? 2 222 2 2 21111 ),(x yxxx dzzyxfdydx ★★ ，占有空間閉區(qū)域 ? ： 10 ??x ， 20 ??y ， 30 ??z ，在點(diǎn) ),( zyx 處的密度為 zyxzyx ???),(? ，計(jì)算該物體的質(zhì)量。 解： 該物體的質(zhì)量 M =???? dx dy dzzyx ),(?=???? ?? dxdydzzyx )(= ??? ??302022 )( dzzyxdydx＝ ?? ?????? ??20 30210 2 dyzyzxzdx ＝ ?? ?????? ??2022 2933 dyyxdx ＝ ? ???????? ??10 202 29233 dxyyxy ＝? ?? ??10 966 dxx ＝ ? ?102 153 xx ? ＝ 18 ★★ ? ： bxa ?? ， dyc ?? ， lzm ?? ， 證明： ???? dx dy dzzhygxf )()()(＝ ???