數(shù)據(jù)分布的特征和度量(編輯修改稿)
2024-09-14 09:44 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 [ 例 4 14] 對(duì)上述例子，有第 8 位同學(xué)的身高為 8m ，則其中間位置在第 4 位和第 5 位同學(xué)之間，他們身高 的中位數(shù)為)()( mM e ????。 對(duì)組距數(shù)列求中位數(shù)，先要對(duì)各組的頻數(shù)進(jìn)行向上累計(jì)或向下累計(jì)，然后按下面公式進(jìn)行計(jì)算（公式證明可由圖 4 2 直觀說(shuō)明）： eM25 下限公式? ?eeeeMMMMedfSfLM ?????? 12 （ 4 16 ） 上限公式? ?eeeeMMMMedfSfUM ?????? 12 （ 4 17 ） 上述公式中，1?eMS表示頻數(shù)向上累計(jì)到中位數(shù)組前面一組的累計(jì)數(shù)，1?eMS表示頻數(shù)向下累計(jì)到中位數(shù)組后面一組的累計(jì)數(shù)，eMd表示中位數(shù)組的組距。 [4 1 5] 對(duì)表 4 6 所示的農(nóng)民年人均純收入計(jì)算中位數(shù)。 表 4 6 中，農(nóng)民累計(jì)共 500 戶，其中間位置在第 2 50 戶。從向上累計(jì)和向下累計(jì)的數(shù)據(jù)可看出中位數(shù)在 5000 5500 這一組，對(duì)其求中位數(shù)： 下限公式? ? 20015525005000 ???????eM（元） 上限公式? ? 20014525005500 ???????eM（元） 26 三、 其它分位數(shù) 由于中位數(shù)是處于一組數(shù)列的中間位置的標(biāo)志值，能將數(shù)列全部標(biāo)志值分為頻數(shù)相等的兩個(gè)部分，所以中位數(shù)亦可稱為二分位數(shù)（21M）。類似地，還可以定義出四分位數(shù)、八分位數(shù)、十分位數(shù)和百分位數(shù)等。 （一）四分位數(shù) 四分位數(shù)是在二分位數(shù)的基礎(chǔ)上，將數(shù)據(jù)再對(duì)半分，分別記為1Q、2Q和3Q，1Q稱為下四分位數(shù)，2Q就是中位數(shù)，3Q稱為上四分位數(shù)。在數(shù)列各標(biāo)志值按大小順序排列的情況下，三個(gè)四分位數(shù)的位次分別為： 1Q的位次41??n 2Q的位次214)1(2 ????nn 3Q的位次4)1(3 ??n 27 [ 例 4 16] 對(duì) [ 例 4 1 3] 中 7 位同學(xué)身高的數(shù)據(jù)求四分位數(shù)。 該數(shù)列共有 7 位同學(xué)，7?n，根據(jù)上述公式，1Q的位次為第2 位同學(xué)，相應(yīng)的下四分位的身高為 m ；2Q的位次即中位數(shù)為第 4 位同學(xué)，中位數(shù)的身高為 0m ；3Q的位次為第 6 位同學(xué)，相應(yīng)的上四分位的身高為 。 如果)1( ?n不是 4 的倍數(shù)，則應(yīng)當(dāng)根據(jù)四分位數(shù)的位置，按比例分?jǐn)偹姆治粩?shù)相鄰的兩個(gè)標(biāo)志值的權(quán)數(shù)，距離越近權(quán)數(shù)越大，反之則越小，然后求其加權(quán)平均數(shù)。 [ 例 4 1 7 ] 當(dāng)給定某總體單位數(shù)5 0 0?n時(shí)，確定： 1Q的位次 ??? 2Q的位次 ??? 3Q的位次 7 545 0 13 ???? 28 則三個(gè)四分位數(shù)分別為： 1 2 61 2 51 xxQ ?? 2 5 12 5 02 xxQ ?? 3 7 63 7 53 xxQ ?? 對(duì)分組數(shù)列求四分位數(shù)，其原理與求中位數(shù)相類似，其計(jì)算公式（下限公式）如下： 1111114dfSfLQ ?????? eMdfSfLQ ???????2222122 33331343dfSfLQ ?????? 上式中，1?iQS（3,2,1?i）分別為相應(yīng)的四分位組在向上累計(jì)時(shí)到前面一組的累計(jì)頻數(shù)，iQd分別為相應(yīng)的四分位數(shù)所在組的組距。在四分位數(shù)的基礎(chǔ)上，可相應(yīng)地把數(shù)列對(duì)半分，求出八分位數(shù)、十六分位數(shù)等。 29 （二）十分位數(shù) 十分位數(shù)是將數(shù)列的數(shù)據(jù)按大小順序排列后等分為十個(gè)部分的九個(gè)數(shù)據(jù)，分別記為921 , DDD ?。九個(gè)十分位數(shù)的位次分別為： 1D的位次101??n （ 4 24 ） 2D的位次10)1(2 ??n （ 4 25 ） ? 9D的位次10)1(9 ??n （ 4 26 ） 參照求四分位數(shù)的方法，求出相應(yīng)的十分位數(shù)的數(shù)值。在十分位數(shù)的基礎(chǔ)上，可相應(yīng)地求出二十分位數(shù)??百分位數(shù)等，其計(jì)算原理是互通的。在統(tǒng)計(jì)實(shí)踐中，經(jīng)常要用到四分位數(shù)。同時(shí)應(yīng)指出，分位數(shù)分得越細(xì)，所需要資料的項(xiàng)數(shù)（單位數(shù)）也越多，對(duì)于有限資料運(yùn)用較高位次的分位數(shù)做統(tǒng)計(jì)分析，實(shí)際意義并不大。 30 四、各種平均數(shù)的比較 （一）數(shù)值平均數(shù)與位置平均數(shù)的比較 首先，數(shù)值平均數(shù)和位置平均數(shù)都是表明總體數(shù)據(jù)的集中 趨勢(shì)和一般特征，都是屬于抽象化的代表值，但它們的代表性 意義有所不同。數(shù)值平均數(shù)由總體中全部變量值參與計(jì)算，反 映了所有數(shù)值的代表性水平，但它易受極端數(shù)值的影響，如果 其中有若干極大或極小數(shù)值，就把它的平均數(shù)拉高或拉低了， 與一般的趨勢(shì)產(chǎn)生了若干背離。而位置平均數(shù)是由數(shù)據(jù)在數(shù)列 中的位置來(lái)決定的，極端數(shù)值的出現(xiàn)并不影響位置平均數(shù)總體 的代表性，可能更能夠說(shuō)明該數(shù)列的一般水平和趨勢(shì)。對(duì)兩類 平均數(shù)的應(yīng)用，應(yīng)該根據(jù)統(tǒng)計(jì)研究目的和數(shù)據(jù)的特征，分別采 用適合的方法加以分析。 其次，兩者所依據(jù)的統(tǒng)計(jì)資料屬性不同，各種數(shù)值平均數(shù) 對(duì)數(shù)據(jù)的量化尺度要求只能應(yīng)用定距數(shù)據(jù)和定比數(shù)據(jù)，而位置 平均數(shù)則不同，它們還適用于各種定序尺度的數(shù)據(jù)，眾數(shù)甚至 還適用于各種定類數(shù)據(jù)。 31 （二）算術(shù)平均數(shù)與眾數(shù)、中位數(shù)的關(guān)系 數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)表明數(shù)據(jù)更多的圍繞趨勢(shì)值（平均數(shù)）上 下波動(dòng)分布。離趨勢(shì)值越近的數(shù)據(jù)越多，其趨勢(shì)值的代表性 意義就越大。最明顯地表明數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的分布是鐘型分布 （在大樣本情況下為正態(tài)分布）。算術(shù)平均數(shù)、眾數(shù)和中位 數(shù)在不同鐘型分布情況下的數(shù)量關(guān)系，據(jù)英國(guó)著名統(tǒng)計(jì)學(xué)家 皮爾遜的研究，鐘型分布只存在適度或輕微偏斜的情況下， 中位數(shù)一般介于眾數(shù)和平均數(shù)之間；并且中位數(shù)與算術(shù)平均 數(shù)的距離，大約只是中位數(shù)與眾數(shù)距離之一半。 算術(shù)平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)在鐘型分布時(shí)的關(guān)系圖 32 33 在鐘型分布為對(duì)稱型時(shí)，0MMx e ??；當(dāng)鐘型分布為左偏（負(fù)偏）時(shí)，0MMx e ??；當(dāng)鐘型分布為右偏（正偏）時(shí)，xMM e ??0。據(jù)皮爾遜研究： ee MxMM ??? 20 （ 4 27 ） 得：xMM e 230 ??
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