【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 x1， x2和 x3有兩個(gè)數(shù)據(jù)可以自由取值 ， 另一個(gè)則不能自由取值 ， 比如 x1=6，x2=7， 那么 x3則必然取 2， 而不能取其他值 4. 樣 本方差用自由度去除 ， 其原因可從多方面來(lái)解釋 ，從實(shí)際應(yīng)用角度看 ， 在抽樣估計(jì)中 ， 當(dāng)用樣本方差s2去估計(jì)總體方差 σ2時(shí) ， s2是 σ2的無(wú)偏估計(jì)量 樣本標(biāo)準(zhǔn)差 (例題分析 ) 某電腦公司銷(xiāo)售量數(shù)據(jù)平均差計(jì)算表 按銷(xiāo)售量分組 組中值 (Mi) 頻數(shù) (fi) 140—150 150—160 160—170 170—180 180—190 190—200 200—210 210—220 220—230 230—240 145 155 165 175 185 195 205 215 225 235 4 9 16 27 20 17 10 8 4 5 40 30 20 10 0 10 20 30 40 50 160 270 320 270 0 170 200 240 160 250 合計(jì) — 120 — 55400 ? ?2xM i ? ? ? ii fxM 2?樣本標(biāo)準(zhǔn)差 (例題分析 ) 含義： 每一天的銷(xiāo)售量與平均數(shù)相比 ， 平均相差 )(1120554001)(12臺(tái)????????nfxMskiii標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù) (standard score) ? 1. 也稱標(biāo)準(zhǔn)化值 ? 2. 對(duì)某一個(gè)值在一組數(shù)據(jù)中相對(duì)位置的度量 ? 3. 可用于判斷一組數(shù)據(jù)是否有離群點(diǎn) ? 4. 用于對(duì)變量的標(biāo)準(zhǔn)化處理 ? 5. 計(jì)算公式為 sxxz ii??標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù) (性質(zhì) ) 1. 均值等于 0 2. 方差等于 1 001)(1 ??????? ?? sns xxnn zz ii1)(1)0()(22222222??????????????sssxxnnznznzzsiiiz標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù) (性質(zhì) ) ? z分?jǐn)?shù)只是將原始數(shù)據(jù)進(jìn)行了線性變換 ， 它并沒(méi)有改變一個(gè)數(shù)據(jù)在該組數(shù)據(jù)中的位置 ， 也沒(méi)有改變?cè)摻M數(shù)分布的形狀 ， 而只是將該組數(shù)據(jù)變?yōu)榫禐?0， 標(biāo)準(zhǔn)差為 1。 標(biāo)準(zhǔn)化值 (例題分析 ) 9個(gè)家庭人均月收入標(biāo)準(zhǔn)化值計(jì)算表 家庭編號(hào) 人均月收入（元） 標(biāo)準(zhǔn)化值 z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1500 750 780 1080 850 960 2022 1250 1630 經(jīng)驗(yàn)法則 ? ?經(jīng)驗(yàn)法則表明：當(dāng)一組數(shù)據(jù)對(duì)稱分布時(shí) ? 約有 68%的數(shù)據(jù)在平均數(shù)加減 1個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍之內(nèi) ? 約有 95%的數(shù)據(jù)在平均數(shù)加減 2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍之內(nèi) ? 約有 99%的數(shù)據(jù)在平均數(shù)加減 3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍之內(nèi) 切比雪夫不等式 (Chebyshev’s inequality ) 1. 如果一組數(shù)據(jù)不是對(duì)稱分布，經(jīng)驗(yàn)法則就不再使用，這時(shí)可使用切比雪夫不等式，它對(duì)任何分布形狀的數(shù)據(jù)都適用 2. 切比雪夫不等式提供的是“下界”，也就是“所占比例至少和多少” 3. 對(duì)于任意分布形態(tài)的數(shù)據(jù)，根據(jù)切比雪夫不等式，至少有 11/k2的數(shù)據(jù)落在 k個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)。其中 k是大于 1的任意值，但不一定是整數(shù) 2211))v a r (|(|1))v a r (|(|kXkEXXPkXkEXXP???????切比雪夫不等式 (Chebyshev’s inequality ) ? ?對(duì)于 k=2， 3， 4，該不等式的含義是 1. 至少有 75%的數(shù)據(jù)落在平均數(shù)加減 2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍之內(nèi) 2. 至少有 89%的數(shù)據(jù)落在平均數(shù)加減 3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍之內(nèi) 3. 至少有 94%的數(shù)據(jù)落在平均數(shù)加減 4個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍之內(nèi) 離散系數(shù) (coefficient of variation) 1. 標(biāo)準(zhǔn)差與其相應(yīng)的均值之比 2. 對(duì)數(shù)據(jù)相對(duì)離散程度的測(cè)度 3. 消除了數(shù)據(jù)水平高低和計(jì)量單位的影響 4. 用于對(duì)不同組別數(shù)據(jù)離散程度的比較 5. 計(jì)算公式為 xsvs ?離散系數(shù) (例題分析 ) 某管理局所屬 8家企業(yè)的產(chǎn)品銷(xiāo)售數(shù)據(jù) 企業(yè)編號(hào) 產(chǎn)品銷(xiāo)售額（萬(wàn)元） x1 銷(xiāo)售利潤(rùn)（萬(wàn)元） x2 1 2 3 4 5 6 7 8 170 220 390 430 480 650 950 1000 【 例 】 某管理局抽查了所屬的 8家企業(yè) ， 其產(chǎn)品銷(xiāo)售數(shù)據(jù)如表 。 試比較產(chǎn)品銷(xiāo)售額與銷(xiāo)售利潤(rùn)的離散程度 離散系數(shù) (例題分析 ) 結(jié)論： 計(jì)算結(jié)果表明 ， v1v2， 說(shuō)明產(chǎn)品銷(xiāo)售額的離散程度小于銷(xiāo)售利潤(rùn)的離散程度 v1= = )( 0 9)( 3 611萬(wàn)元萬(wàn)元??sxv2= = )()(22萬(wàn)元萬(wàn)元??sx數(shù)據(jù)類(lèi)型與離散程度測(cè)度值 數(shù)據(jù)類(lèi)型和所適用的離散程度測(cè)度 值 數(shù)據(jù)類(lèi)型 分類(lèi)數(shù)據(jù) 順序數(shù)據(jù) 數(shù)值型數(shù)據(jù) 適 用 的 測(cè) 度 值 ※ 異眾比率 ※ 四分位差 ※ 方差或標(biāo)準(zhǔn)差 — 異眾比率 ※ 離散系數(shù) （ 比較時(shí)用 ） — — 平均差 — — 極差 — — 四分位差 — — 異眾比率 167。 偏態(tài)與峰態(tài)的測(cè)度 偏態(tài)與峰態(tài)分布的形狀 扁平分布 尖峰分布 偏態(tài) 峰態(tài) 左偏分布 右偏分布 與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布比較！ 偏態(tài) (skewness) 1. 統(tǒng)計(jì)學(xué)家 Pearson于 1895年首次提出 2. 數(shù)據(jù)分布偏斜程度的測(cè)度 ? 偏態(tài)系數(shù) =0為對(duì)稱分布 ? 偏態(tài)系數(shù) 0為右偏分布 ? 偏態(tài)系數(shù) 0為左偏分布 偏態(tài)系數(shù) (skewness coefficient) 1. 根據(jù)原始數(shù)據(jù)計(jì)算 2. 根據(jù)分組數(shù)據(jù)計(jì)算 ? ?33)2)(1( snnxxnSK i???? ?313)(nsfxMSKkiii????偏態(tài)系數(shù) (例題分析 ) 某電腦公司銷(xiāo)售量偏態(tài)及峰度計(jì)算表 按銷(xiāo)售量份組 (臺(tái) ) 組中值 (Mi) 頻數(shù) fi 140—150 150—160 160—170 170—180 180—190 190—200 200—210 210—220 220—230 230—240 145 155 165 175 185 195 205 215 225 235 4 9 16 27 20 17 10 8 4 5 256000 243000 128000 27000 0 17000 80000 216000 256000 625000 10240000 7290000 2560000 270000 0 170000 1600000 6480000 10240000 31250000 合計(jì) — 120 540000 70100000 ? ? ii fxM 3? ? ? ii fxM 4?偏態(tài)系數(shù) (例題分析 ) )(120540000)(120)185()(331013313???????????? iiikiiifMnsfxMSK結(jié)論： 偏態(tài)系數(shù)為正值，但與 0的差異不大，說(shuō)明電腦銷(xiāo)售量為輕微右偏分布，即銷(xiāo)售量較少的天數(shù)占據(jù)多數(shù)，而銷(xiāo)售量較多的天數(shù)則占少數(shù) 偏態(tài)與峰態(tài) (從直方圖上觀察 ) 按銷(xiāo)售量分組 (臺(tái) ) 結(jié)論： 1. 為右偏分布 2. 峰態(tài)適中 140 150 210 某電腦公司銷(xiāo)售量分布的直方圖 190 200 180 160 170 頻 數(shù) (天 ) 25 20 15 10 5 30 220 230 240 峰態(tài) (kurtosis) 1. 統(tǒng)計(jì)學(xué)家 Pearson于 1905年首次提出 2. 數(shù)據(jù)分布扁平程度的測(cè)度 3. 峰態(tài)系數(shù) =0扁平峰度適中 4. 峰態(tài)系數(shù) 0為扁平分布 5. 峰態(tài)系數(shù) 0為尖峰分布 峰態(tài)系數(shù) (kurtosis coefficient) 1. 根據(jù)原始數(shù)據(jù)計(jì)算 2. 根據(jù)分組數(shù)據(jù)計(jì)算 ? ?4224)3)(2)(1()1()(3)()1(snnnnxxxxnnK ii????????? ? ?3)(414?????nsfxMKkiii峰態(tài)系數(shù) (例題分析 ) 結(jié)論： 偏態(tài)系數(shù)為負(fù)值，但與 0的差異不大，說(shuō)明電腦銷(xiāo)售量為輕微扁平分布 3)(1207 0 10 0 0 003)(4414????????????nsfxMKkiii簡(jiǎn)單統(tǒng)計(jì)量 sum, mean, var, sd, min, max, range, median, IQR（四分位間距）等為統(tǒng)計(jì)量， sort， order， rank與排序有關(guān)， 其它 ave， fivenum， mad， quantile， stem等。 aggregate：計(jì)算各數(shù)據(jù)子集的概括統(tǒng)計(jì)量 用 R計(jì)算描述統(tǒng)計(jì)量 ? fivenum package:stats R Documentation ? 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