數(shù)據(jù)分布的特征和度量-在線瀏覽
2024-10-12 09:44本頁(yè)面
【正文】 下，由于應(yīng)用資料的不同，分別求出調(diào)和平均數(shù)和加權(quán)平均數(shù)，計(jì)算的結(jié)果是一樣的，即它們都要符合標(biāo)志值總量（工資總額）除以單位總量（員工總?cè)藬?shù)）求平均數(shù)的實(shí)質(zhì)要求 15 四、幾何平均數(shù)（ ） 幾何平均數(shù)通常不是由于計(jì)算靜態(tài)的單位標(biāo)志值的平均， 而是用于計(jì)算時(shí)間上相互銜接的比率的平均，它經(jīng)常用于計(jì) 算復(fù)利計(jì)算的平均利率、幾個(gè)生產(chǎn)環(huán)節(jié)銜接的產(chǎn)品平均質(zhì)量 合格率、平均發(fā)展速度等。求按復(fù)利計(jì)算的年平均利率。設(shè)有一組變量： ，求各變量的 k次方 之和，并以 代替 ，由以下等式： 其中： 為任意整數(shù)。 當(dāng) k=1時(shí)， M（ k）為調(diào)和平均數(shù) H。 12, ,..., nx x xkx ix1211... ( ) ( )nnk k k k k kkkniiix x x x x n x??? ? ? ? ? ???11()k kkiikxM k xn????????????????kx ,0?18 由于冪平均數(shù)為 k階的遞增函數(shù)，隨著 k的增大而增大，隨 著 k的減小而減小。由此可知上 述冪平均數(shù)在 k為不同數(shù)值時(shí)的數(shù)量關(guān)系： H≤G≤A≤S 當(dāng) 時(shí)， H=G=A=S。 21kk? 21( ) ( )M k M k?12 ... nx x x? ? ?ix19 第二節(jié) 分布的集中趨勢(shì) —— 位置平均數(shù) 一、眾數(shù)（ ） 眾數(shù)是指在一個(gè)統(tǒng)計(jì)總體或分布數(shù)列中出現(xiàn)頻數(shù)或頻率最 多的所對(duì)應(yīng)的標(biāo)志值，用 表示。 [例 411]某一班組為參加某項(xiàng)比賽，統(tǒng)一購(gòu)買(mǎi)運(yùn)動(dòng)鞋，發(fā)現(xiàn)購(gòu)買(mǎi) 40碼的人占 60%，則對(duì)應(yīng)的 40碼即為眾數(shù)。計(jì)算公式為（公式證明可由圖41直觀說(shuō)明）： 21 下限公式? ?000000000 )()(111MMMMMMMM dffffffLM ?????????? （ 4 14 ） 上限公式? ?00000000 )()(1110 MMMMMMMM dffffffUM ?????????? （ 4 15 ） 上式中，0ML和0MU分別為眾數(shù)組的下限和上限值，10 ?Mf和10 ?Mf分別為眾數(shù)組前面一組和后面一組的頻數(shù)，0Md為眾數(shù)組的組距。 下限公式 ? ? 2201005000500)80200()100200(10020050000???????????M（元） 上限公式 ? ? 2201205500500)80200()100200(8020055000???????????M（元） 注意上面公式只適用于等距分組數(shù)列，或與眾數(shù)相鄰組的組距組等距的，否則要對(duì)分組數(shù)據(jù)進(jìn)行再處理，使之符合上述計(jì)算條件。由于處于中間位置，也稱為二分位數(shù)。 [ 例 4 13] 有 7 位同學(xué)的身高測(cè)量，分別為 、 、 0m 、 0m 、 2 m 、 3m 和 4m ，則其中間位置為第 4 位同學(xué)，他們身高的中位數(shù))( mM e ?。 對(duì)組距數(shù)列求中位數(shù)，先要對(duì)各組的頻數(shù)進(jìn)行向上累計(jì)或向下累計(jì)，然后按下面公式進(jìn)行計(jì)算（公式證明可由圖 4 2 直觀說(shuō)明）： eM25 下限公式? ?eeeeMMMMedfSfLM ?????? 12 （ 4 16 ） 上限公式? ?eeeeMMMMedfSfUM ?????? 12 （ 4 17 ） 上述公式中，1?eMS表示頻數(shù)向上累計(jì)到中位數(shù)組前面一組的累計(jì)數(shù)，1?eMS表示頻數(shù)向下累計(jì)到中位數(shù)組后面一組的累計(jì)數(shù)，eMd表示中位數(shù)組的組距。 表 4 6 中，農(nóng)民累計(jì)共 500 戶，其中間位置在第 2 50 戶。類(lèi)似地，還可以定義出四分位數(shù)、八分位數(shù)、十分位數(shù)和百分位數(shù)等。在數(shù)列各標(biāo)志值按大小順序排列的情況下，三個(gè)四分位數(shù)的位次分別為： 1Q的位次41??n 2Q的位次214)1(2 ????nn 3Q的位次4)1(3 ??n 27 [ 例 4 16] 對(duì) [ 例 4 1 3] 中 7 位同學(xué)身高的數(shù)據(jù)求四分位數(shù)。 如果)1( ?n不是 4 的倍數(shù)，則應(yīng)當(dāng)根據(jù)四分位數(shù)的位置，按比例分?jǐn)偹姆治粩?shù)相鄰的兩個(gè)標(biāo)志值的權(quán)數(shù)，距離越近權(quán)數(shù)越大，反之則越小，然后求其加權(quán)平均數(shù)。在四分位數(shù)的基礎(chǔ)上，可相應(yīng)地把數(shù)列對(duì)半分，求出八分位數(shù)、十六分位數(shù)等。九個(gè)十分位數(shù)的位次分別為： 1D的位次101??n （ 4 24 ） 2D的位次10)1(2 ??n （ 4 25 ） ? 9D的位次10)1(9 ??n （ 4 26 ） 參照求四分位數(shù)的方法，求出相應(yīng)的十分位數(shù)的數(shù)值。在統(tǒng)計(jì)實(shí)踐中，經(jīng)常要用到四分位數(shù)。 30 四、各種平均數(shù)的比較 （一）數(shù)值平均數(shù)與位置平均數(shù)的比較 首先，數(shù)值平均數(shù)和位置平均數(shù)都是表明總體數(shù)據(jù)的集中 趨勢(shì)和一般特征，都是屬于抽象化的代表值，但它們的代表性 意義有所不同。而位置平均數(shù)是由數(shù)據(jù)在數(shù)列 中的位置來(lái)決定的，極端數(shù)值的出現(xiàn)并不影響位置平均數(shù)總體 的代表性，可能更能夠說(shuō)明該數(shù)列的一般水平和趨勢(shì)。 其次，兩者所依據(jù)的統(tǒng)計(jì)資料屬性不同，各種數(shù)值平均數(shù) 對(duì)數(shù)據(jù)的量化尺度要求只能應(yīng)用定距數(shù)據(jù)和定比數(shù)據(jù)，而位置 平均數(shù)則不同，它們還適用于各種定序尺度的數(shù)據(jù)，眾數(shù)甚至 還適用于各種定類(lèi)數(shù)據(jù)。離趨勢(shì)值越近的數(shù)據(jù)越多，其趨勢(shì)值的代表性 意義就越大。算術(shù)平均數(shù)、眾數(shù)和中位 數(shù)在不同鐘型分布情況下的數(shù)量關(guān)系，據(jù)英國(guó)著名統(tǒng)計(jì)學(xué)家 皮爾遜的研究，鐘型分布只存在適度或輕微偏斜的情況下， 中位數(shù)一般介于眾數(shù)和平均數(shù)之間；并且中位數(shù)與算術(shù)平均 數(shù)的距離，大約只是中位數(shù)與眾數(shù)距離之一半。據(jù)皮爾遜研究： ee MxMM ??? 20 （ 4 27 ） 得：xMM e 230 ??；230MMx e?? （ 4 28 ） 皮爾遜的經(jīng) 驗(yàn)公式在統(tǒng)計(jì)分析應(yīng)用上有十分嚴(yán)格的條件，即總體分布只有在大量觀察情況下，總體單位數(shù)很多，形成輕微偏斜的鐘型分布，且在數(shù)據(jù)呈
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