數(shù)據(jù)分布的特征和度量(文件)
【正文】 方差達(dá)到最大，為 。六個(gè)西格瑪質(zhì)量管理的原理思路就是根據(jù)這個(gè)原理展開(kāi)的。為了消除計(jì)量單位對(duì)計(jì)算的影響，對(duì)不同的離異指標(biāo)計(jì)算變異系數(shù)。分布 的偏度是指分布的對(duì)稱方向和程度，有正（右）偏，負(fù) （左）偏和對(duì)稱分布。前面所計(jì)算的算術(shù)平均 數(shù)、方差及平均差等，都可以看作是矩的特例。 ，不僅所有奇數(shù)階中心矩恒為零，而且 上述公式表明，正態(tài)分布的所有偶數(shù)階中心矩都是由其方差決定的，由此可得： ， ， ，以此類推 … 顯然，對(duì)于正態(tài)分布，只要知道平均數(shù)和方差，則所有其它的中心階和原點(diǎn)矩都可以由此導(dǎo)出。通常用三階 中心矩來(lái)測(cè)定變量分布的偏度。將變量分布的四階中心矩與標(biāo)準(zhǔn)差的 四次方對(duì)比，可以消除計(jì)量單位的影響，并且可以與峰度的高 低保持一致。 56 ?x（件），1 9 4 ?? ? ?1 9 55 100515133??????????iiiiiffxxV ? ?100515144????????iiiiiffxxV ? ?0114 705 195 194 195 333??????????V ? ?33444???????????V 可見(jiàn)，某廠工人小時(shí)生產(chǎn)零件的分布略為負(fù)（左）偏，且是低峰度的。 經(jīng)驗(yàn)表明，當(dāng)峰度值小于 ()時(shí)，分布圖形由鐘形分布變成 了 U型分布，此時(shí)峰度變成了“凹度”了。為消除計(jì)量單位的影響，分布 的偏度由三階矩處以標(biāo)準(zhǔn)差的三次方，公式如下： 當(dāng) 時(shí)，變量分布為對(duì)稱分布； 當(dāng) 時(shí)，變量分布為正（右）偏分布； 當(dāng) 時(shí)，變量分布為負(fù)（左）偏分布。 1 3 2 1 0kv v v ?? ? ??? ? ?? ? ? ?222 1 3 5 2 1 2 1 ! !kkkv k k??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?22 ??v 44 3??v66 15??v53 二、偏度 根據(jù)中心矩的第一個(gè)性質(zhì)，當(dāng)變量對(duì)稱分布時(shí)，它的所有 奇數(shù)階中心矩都為零。 對(duì)矩的一般形式，取 ，就得到變量 x關(guān)于分布中心 的 R階中心矩。為了計(jì)算偏度和峰度，通常用矩來(lái)表示。最常見(jiàn)的變異系數(shù)是標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)，其計(jì)算公式： V%1 00?? xV ?49 [例 419]有兩個(gè)城市居民人均收入資料，如下表 ? 上表數(shù)據(jù)計(jì)算表明，乙城市的居民人均年收入比甲城市高，標(biāo)準(zhǔn)差也比甲城市高，但從變異系數(shù)來(lái)看，甲城市為 %，乙城市為 %，說(shuō)明乙城市居民年收入的離散程度比甲城市低一些。根據(jù)這個(gè)思路開(kāi)發(fā)出來(lái)的有關(guān)質(zhì)量管理方法就是六個(gè)西格瑪質(zhì)量管理。 總平均數(shù) 654321 ???????? ? N xx i 45 總方差（2x?） = ? ?621iixxN??? 2 2 2 2 2 2( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 6 )66? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? 層間方差（2間?） =? ?383312?????iixx 層內(nèi)方差（2內(nèi)?） =? ?2212???iixx 46 ? ? ? ?2222?????A? ? ? ? ?2222?????B? ? ? ? ?2222?????C? 層內(nèi)方差的平均 =3????內(nèi)? 則總方差 = 組間方差 + 組內(nèi)方差的平均 2= 7 +0 .2 5 47 （五）六個(gè)西格瑪?shù)暮x 標(biāo)準(zhǔn)差符號(hào) 是希臘字母，讀音為西格瑪。 40 已知 ： x = （件） ； 極差（ R ） =8 4=4 （件） 異眾比率（rV） =1 206 = 平均差（ DA . ） =20 = （件） ； 從表 4 7 分析，可看出下四分位為41?n = 5 ，其對(duì)應(yīng)的標(biāo)志值為41x=5 件；上四分位為 ? ?413 ?n = ，其對(duì)應(yīng)的標(biāo)志值為43x=7 件，則四分位差為：（ DQ . ） =457 ? =1 （件） 41 六、方差和標(biāo)準(zhǔn)差 方差是指各單位變量值與平均數(shù)離差的平方和求平 均，方差的平方根即為標(biāo)準(zhǔn)差。 2D.13 Q ??38 四、異眾比率（ ） 它是指非眾數(shù)組的頻數(shù)與全部頻數(shù)之比，更多地用來(lái) 反映定類尺度的眾數(shù)的代表性。極差公式： 對(duì)于分組數(shù)據(jù)，極差公式： 式中 是分組數(shù)列中最大組的上限， 是最小組的下限。 1x 2x 0,0 21 ?? xx? ? 02 2121221 ???? xxxxxx2121 2 xxxx ?? Gx?212121212 xxxxxxxx ???121212122 212xxxxxxxx????HG ?35 第三節(jié) 分布的離散趨勢(shì) 一、離散指標(biāo)（變異程度指標(biāo)） 從數(shù)據(jù)分布的特征來(lái)看，平均指標(biāo)反映了數(shù)據(jù)的集中 趨勢(shì)，用平均數(shù)來(lái)加以抽象化，代表了數(shù)據(jù)的一般水平。 算術(shù)平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)在鐘型分布時(shí)的關(guān)系圖 32 33 在鐘型分布為對(duì)稱型時(shí)，0MMx e ??；當(dāng)鐘型分布為左偏（負(fù)偏）時(shí)，0MMx e ??；當(dāng)鐘型分布為右偏（正偏）時(shí)，xMM e ??0。 31 （二）算術(shù)平均數(shù)與眾數(shù)、中位數(shù)的關(guān)系 數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)表明數(shù)據(jù)更多的圍繞趨勢(shì)值（平均數(shù)）上 下波動(dòng)分布。數(shù)值平均數(shù)由總體中全部變量值參與計(jì)算，反 映了所有數(shù)值的代表性水平，但它易受極端數(shù)值的影響，如果 其中有若干極大或極小數(shù)值，就把它的平均數(shù)拉高或拉低了， 與一般的趨勢(shì)產(chǎn)生了若干背離。在十分位數(shù)的基礎(chǔ)上，可相應(yīng)地求出二十分位數(shù)??百分位數(shù)等，其計(jì)算原理是互通的。 [ 例 4 1 7 ] 當(dāng)給定某總體單位數(shù)5 0 0?n時(shí)，確定： 1Q的位次 ??? 2Q的位次 ??? 3Q的位次 7 545 0 13 ???? 28 則三個(gè)四分位數(shù)分別為： 1 2 61 2 51 xxQ ?? 2 5 12 5 02 xxQ ?? 3 7 63 7 53 xxQ ?? 對(duì)分組數(shù)列求四分位數(shù)，其原理與求中位數(shù)相類似，其計(jì)算公式（下限公式）如下：
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