數(shù)據(jù)分布的特征和度量-預(yù)覽頁(yè)
【正文】 和，并以 代替 ，由以下等式： 其中： 為任意整數(shù)。 12, ,..., nx x xkx ix1211... ( ) ( )nnk k k k k kkkniiix x x x x n x??? ? ? ? ? ???11()k kkiikxM k xn????????????????kx ,0?18 由于冪平均數(shù)為 k階的遞增函數(shù)，隨著 k的增大而增大，隨 著 k的減小而減小。 21kk? 21( ) ( )M k M k?12 ... nx x x? ? ?ix19 第二節(jié) 分布的集中趨勢(shì) —— 位置平均數(shù) 一、眾數(shù)（ ） 眾數(shù)是指在一個(gè)統(tǒng)計(jì)總體或分布數(shù)列中出現(xiàn)頻數(shù)或頻率最 多的所對(duì)應(yīng)的標(biāo)志值，用 表示。計(jì)算公式為（公式證明可由圖41直觀說(shuō)明）： 21 下限公式? ?000000000 )()(111MMMMMMMM dffffffLM ?????????? （ 4 14 ） 上限公式? ?00000000 )()(1110 MMMMMMMM dffffffUM ?????????? （ 4 15 ） 上式中，0ML和0MU分別為眾數(shù)組的下限和上限值，10 ?Mf和10 ?Mf分別為眾數(shù)組前面一組和后面一組的頻數(shù)，0Md為眾數(shù)組的組距。由于處于中間位置，也稱(chēng)為二分位數(shù)。 對(duì)組距數(shù)列求中位數(shù)，先要對(duì)各組的頻數(shù)進(jìn)行向上累計(jì)或向下累計(jì)，然后按下面公式進(jìn)行計(jì)算（公式證明可由圖 4 2 直觀說(shuō)明）： eM25 下限公式? ?eeeeMMMMedfSfLM ?????? 12 （ 4 16 ） 上限公式? ?eeeeMMMMedfSfUM ?????? 12 （ 4 17 ） 上述公式中，1?eMS表示頻數(shù)向上累計(jì)到中位數(shù)組前面一組的累計(jì)數(shù)，1?eMS表示頻數(shù)向下累計(jì)到中位數(shù)組后面一組的累計(jì)數(shù)，eMd表示中位數(shù)組的組距。類(lèi)似地，還可以定義出四分位數(shù)、八分位數(shù)、十分位數(shù)和百分位數(shù)等。 如果)1( ?n不是 4 的倍數(shù)，則應(yīng)當(dāng)根據(jù)四分位數(shù)的位置，按比例分?jǐn)偹姆治粩?shù)相鄰的兩個(gè)標(biāo)志值的權(quán)數(shù)，距離越近權(quán)數(shù)越大，反之則越小，然后求其加權(quán)平均數(shù)。九個(gè)十分位數(shù)的位次分別為： 1D的位次101??n （ 4 24 ） 2D的位次10)1(2 ??n （ 4 25 ） ? 9D的位次10)1(9 ??n （ 4 26 ） 參照求四分位數(shù)的方法，求出相應(yīng)的十分位數(shù)的數(shù)值。 30 四、各種平均數(shù)的比較 （一）數(shù)值平均數(shù)與位置平均數(shù)的比較 首先，數(shù)值平均數(shù)和位置平均數(shù)都是表明總體數(shù)據(jù)的集中 趨勢(shì)和一般特征，都是屬于抽象化的代表值，但它們的代表性 意義有所不同。 其次，兩者所依據(jù)的統(tǒng)計(jì)資料屬性不同，各種數(shù)值平均數(shù) 對(duì)數(shù)據(jù)的量化尺度要求只能應(yīng)用定距數(shù)據(jù)和定比數(shù)據(jù)，而位置 平均數(shù)則不同，它們還適用于各種定序尺度的數(shù)據(jù)，眾數(shù)甚至 還適用于各種定類(lèi)數(shù)據(jù)。算術(shù)平均數(shù)、眾數(shù)和中位 數(shù)在不同鐘型分布情況下的數(shù)量關(guān)系，據(jù)英國(guó)著名統(tǒng)計(jì)學(xué)家 皮爾遜的研究，鐘型分布只存在適度或輕微偏斜的情況下， 中位數(shù)一般介于眾數(shù)和平均數(shù)之間；并且中位數(shù)與算術(shù)平均 數(shù)的距離，大約只是中位數(shù)與眾數(shù)距離之一半。 34 （三）算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)和幾何平均數(shù)的關(guān)系 假設(shè)有數(shù)據(jù) 、 ，（ ），對(duì)這三者關(guān)系證明如下： 令： 則： ，即 又 則： ，即 由上可得，算術(shù)平均數(shù) ≥ 幾何平均數(shù) ≥ 調(diào)和平均數(shù)。 離散指標(biāo)反映著數(shù)據(jù)的變動(dòng)情況，在統(tǒng)計(jì)實(shí)踐中有如 下作用： 36 二、極差（ ） 極差又稱(chēng)全距，它是總體中最大數(shù)值和最小數(shù)值之 差。其計(jì)算公 式： 與四分位差相類(lèi)似，還可以計(jì)算八分位差、十六分位 差等，它們的作用都是排除極端數(shù)值對(duì)數(shù)據(jù)分布變異情況的 影響。其計(jì)算公式： 或 DA.nxxDAnii???? 1. ??????niiniiiffxxDA11.[例 417]某車(chē)間 20位工人一小時(shí)生產(chǎn)的零件數(shù)據(jù)如下 計(jì)算（ 1）極差（ 2）異眾比率（ 3）平均差（ 4）四分位差。 Pnnnnnnffxxniiiii????????????? 12121121 01? ? ? ? ? ?PQPPnnnPnPffxxniiinii???????????????? )1(010102121122?44 （四）分組條件下的方差 ? [例 417]在分組條件下，變量的總方差可以分解為組間方差與組內(nèi)方差的平均數(shù)兩部分。在工業(yè)產(chǎn)品質(zhì)量管理過(guò)程中，產(chǎn)品質(zhì)量數(shù)據(jù)要落在六個(gè)西格瑪?shù)母怕蕝^(qū)間之內(nèi)，而落在這個(gè)區(qū)間之外的是小概率事件，而小概率事件的發(fā)生，說(shuō)明產(chǎn)品質(zhì)量肯定有問(wèn)題。變異系數(shù)（離散系數(shù)）是以相對(duì)數(shù)的形式，將各種以絕對(duì)數(shù)或平均數(shù)形式表現(xiàn)的變異指標(biāo)與平均數(shù)對(duì)比，用于比較不同現(xiàn)象總體或不同水平數(shù)據(jù)的變異程度的情況。分布的峰度是指分布圖形的尖峰程 度。 51 （一）基本形式 在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，定義變量值 x對(duì)常數(shù) a的 k階矩為： 或 對(duì)矩的一般公式，取 ，即為 k階原點(diǎn)矩： 顯然，一階原點(diǎn)矩就是算術(shù)平均數(shù)。理論上講，數(shù)據(jù)分布的形態(tài)特征，可以由其各階矩來(lái)描述，但在統(tǒng)計(jì)實(shí)踐中，通常用三階或四階矩來(lái)描述分布的形態(tài)特征。由于三階中心矩是一個(gè)名 數(shù)，它受到計(jì)量單位的影響。對(duì)于正態(tài)分布，這個(gè)數(shù)值恒為一個(gè)常數(shù)： 由此，計(jì)算的峰度公式： 當(dāng) 時(shí)，分布為正態(tài)峰度； 當(dāng) ＞ 0時(shí)，分布為高峰度的，表明數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)顯著； 當(dāng) ＜ 0時(shí)，分布為低峰度的，表明數(shù)據(jù)離中趨勢(shì)顯著。
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