線面垂直習題精選精講129(編輯修改稿)
2024-11-16 23:07 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 在平面外的一點，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．求證：BC⊥平面PAC．證明：在平面PAC內(nèi)作AD⊥PC交PC于D．因為平面PAC⊥平面PBC，且兩平面交于PC，AD204。平面PAC，且AD⊥PC，由面面垂直的性質(zhì)，得AD⊥平面PBC．又∵BC204。平面PBC，∴AD⊥BC．∵PA⊥平面ABC，BC204。平面ABC，∴PA⊥BC．∵AD∩PA=A，∴BC⊥平面PAC．評注：已知條件是線面垂直和面面垂直，要證明兩條直線垂直，應(yīng)將兩條直線中的一條納入一個平面中，使另一條直線與該平面垂直，即從線面垂直得到線線垂直．在空間圖形中，高一級的垂直關(guān)系中蘊含著低一級的垂直關(guān)系，通過本題可以看到，面面垂直222。線面垂直222。線線垂直．判定性質(zhì)判定性質(zhì)190。190。190。174。線面垂直172。190。190。190。190。190。174。面一般來說，線線垂直或面面垂直都可轉(zhuǎn)化為線面垂直來分析解決，其關(guān)系為：線線垂直172。190。190。190。190。面垂直．這三者之間的關(guān)系非常密切，可以互相轉(zhuǎn)化，從前面推出后面是判定定理，而從后面推出前面是性質(zhì)定理．同學(xué)們應(yīng)當學(xué)會靈活應(yīng)用這些定理證明問題．下面舉例說明．3如圖１所示，ABCD為正方形，SA⊥平面ABCD，過A且垂直于SC的平面分別交SB，SC，SD于E，F(xiàn)，G．求證：AE^SB，AG^SD．證明：∵SA^平面ABCD，∴SA^BC．∵AB^BC，∴BC^平面SAB．又∵AE204。平面SAB，∴BC^AE．∵SC^平面AEFG，∴SC^AE．∴AE^平面SBC．∴AE^SB．同理可證AG^SD．評注：本題欲證線線垂直，可轉(zhuǎn)化為證線面垂直，在線線垂直與線面垂直的轉(zhuǎn)化中，平面起到了關(guān)鍵作用，同學(xué)們應(yīng)多注意考慮線和線所在平面的特征，從而順利實現(xiàn)證明所需要的轉(zhuǎn)化．如圖２，在三棱錐Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ為垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求證：AH⊥平面BCD．證明：取AB的中點Ｆ，連結(jié)CF，DF．∵AC=BC，∴CF^AB．∵AD=BD，∴DF^AB．又CFIDF=F，∴AB^平面CDF．∵CD204。平面CDF，∴CD^AB．又CD^BE，BEIAB=B，∴CD^平面ABE，CD^AH．∵AH^CD，AH^BE，CDIBE=E，∴ AH^平面BCD．評注：本題在運用判定定理證明線面垂直時，將問題轉(zhuǎn)化為證明線線垂直；而證明線線垂直時，又轉(zhuǎn)化為證明線面垂直．如此反復(fù)，直到證得結(jié)論．5如圖３，AB是圓Ｏ的直徑，Ｃ是圓周上一點，PA^平面ABC．若AE⊥PC，Ｅ為垂足，Ｆ是PB上任意一點，求證：平面AEF⊥平面PBC．證明：∵AB是圓Ｏ的直徑，∴AC^BC．∵PA^平面ABC，BC204。平面ABC，∴PA^BC．∴BC^平面APC．∵BC204。平面PBC，∴平面APC⊥平面PBC．∵AE⊥PC，平面APC∩平面PBC＝PC，∴AE⊥平面PBC．∵AE204。平面AEF，∴平面AEF⊥平面PBC．評注：證明兩個平面垂直時，一般可先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，即證線面垂直，而證線面垂直則需從已知條件出發(fā)尋找線線垂直的關(guān)系．10如圖, 在空間四邊形SABC中, SA^平面ABC, 208。ABC = 90176。, AN^SB于N, AM^SC于M。求證: ①AN^BC。②SC^平面ANM 分析:①要證AN^BC, 轉(zhuǎn)證, BC^平面SAB。②要證SC^平面ANM, 轉(zhuǎn)證, SC垂直于平面ANM內(nèi)的兩條相交直線, 即證SC^AM, SC^AN。要證SC^AN, 轉(zhuǎn)證AN^平面SBC, 就可以了。證明:①∵SA^平面ABC∴SA^BC又∵BC^AB, 且ABISA = A∴BC^平面SAB∵AN204。平面SAB∴AN^BC②∵AN^BC, AN^SB, 且SBIBC = B∴AN^平面SBC∵SCC平面SBC∴AN^SC又∵AM^SC, 且AMIAN = A∴SC^平面ANM［例2］如圖9—40，在三棱錐S—ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC．圖9—40（1）求證：AB⊥BC；（1）【證明】作AH⊥SB于H，∵平面SAB⊥平面SBC．平面SAB∩平面SBC=SB，∴AH⊥平面SBC，又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC，而SA在平面SBC上的射影為SB，∴BC⊥SB，又SA∩SB=S，∴BC⊥平面SAB．∴BC⊥AB．［例3］如圖9—41，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，PA=AD=a，M、N分別是AB、PC的中點．（1）求平面PCD與平面ABCD所成的二面角的大?。唬?）求證：平面MND⊥平面PCD（1）【解】PA⊥
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