高中數(shù)學(xué)34基本不等式習(xí)題新人教a版必修5(編輯修改稿)
2025-01-13 20:20 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 (m＋ n) ＝ 2＋ nm＋ mn≥2 ＋ 2＝ 4. 當(dāng)且僅當(dāng) m＝ n時(shí)，取等號(hào)． 答案： 4 8．若對(duì)任意的 x0， xx2＋ 3x＋ 1≤ a恒成立，則 a的取值范圍是 ________． 解析：根據(jù)題意，令 f(x)＝ xx2＋ 3x＋ 1＝ 1x＋ 1x＋ 3， ∵ x0， ∴ x＋ 1x≥2 ， ∴ f(x)＝ 1x＋ 1x＋ 3≤ 12＋ 3＝ 15，當(dāng)且僅當(dāng) x＝ 1時(shí)，取得最大值 ，只需 a≥ 15即可． 答案： a≥ 15 9．已知 a0， b0， a＋ b＝ 1，求證： ??? ???1＋ 1a ??? ???1＋ 1b ≥9. 證明：方法一：因?yàn)?a0， b0， a＋ b＝ 1， 所以 1＋ 1a＝ 1＋ a＋ ba ＝ 2＋ 1＋ 1b＝ 2＋ ab， 故 ??? ???1＋ 1a ??? ???1＋ 1b ＝ ??? ???2＋ ba ??? ???2＋ ab ＝ 5＋ 2??? ???ba＋ ab ≥5 ＋ 4＝ 9. 所以 ??? ???1＋ 1a ??? ???1＋ 1b ≥9 ??????當(dāng)且僅當(dāng) a＝ b＝ 12時(shí)取等號(hào) . 方法二： ??? ???1＋ 1a ??? ???1＋ 1b ＝ 1＋ 1a＋ 1b＋ 1ab＝ 1＋ a＋ bab ＋ 1ab＝ 1＋ 2ab，因?yàn)?a， b為正數(shù)， a＋ b＝ 1， 所以 ab≤ ??? ???a＋ b2 2＝ 14，于是 1ab≥4 ， 2ab≥8 ， 因此 ??? ???1＋ 1a ??? ???1＋ 1b ≥1 ＋ 8＝ 9 ??????當(dāng)且僅當(dāng) x＝ y＝ 12時(shí)，等號(hào)成立 . 10．已知函數(shù) y＝ x＋ 2x2＋ x＋ 1(x－ 2)． (1)求 1y的取值范圍． (2)當(dāng) x為何值時(shí)， y取何最大值 ？ 解： (1)設(shè) x＋ 2＝ t， x＝ t－ 2， t0(x－ 2)， 則
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