高中數(shù)學(xué)北師大版選修1-2第三章推理與證明第1課時(shí)合情推理精品學(xué)案(編輯修改稿)
2025-01-10 06:35 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 3222=22+1 4232=23+1 …… (n+1)2n2=2n+1 將以上各式分別相加得 :(n+1)212=2(1+2+3+… +n)+n, 即 1+2+3+… +n=. 類比上述求法 ,請(qǐng)你求出 12+22+32+… +n2的值 . 【方法指導(dǎo)】 利用提示的思路求得 (n+1)3n3=3n 2+3n+1,再疊加即可 . 【解 析】 2313=312+31+1 3323=322+32+1 4333=332+33+1 …… (n+1)3n3=3n 2+3n+1 將以上各式分別相加得 : (n+1)313=3(12+22+32+… +n2)+3(1+2+3+… +n) +n, 所以 12+22+32+… +n2=[(n+1)31n3n]=n(n+1)(2n+1). 【小結(jié)】 類比推理是由特殊到特殊的推理 ,其關(guān)鍵就是注重本質(zhì)的推導(dǎo)方式 ,通過(guò)這種推導(dǎo)方式對(duì)解決另一個(gè)問(wèn)題起到指導(dǎo)作用 . (1)設(shè)函數(shù) f(x)=(x0),觀察 : f1(x)=f(x)=, f2(x)=f(f1(x))=, f3(x)=f(f2(x))=, f4(x)=f(f3(x))=, …… 根據(jù)以上事實(shí) ,由歸納推理可得 : 當(dāng) n∈ N+且 n≥2 時(shí) ,fn(x)=f(fn1(x))= . (2)觀察下列等式 :13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,… ,根據(jù)上述規(guī)律 ,第五個(gè)． ． ．等式． ． 為 . 【解析】 (1)觀察給定的各個(gè)函數(shù)解析式 ,可知分子都為 x,分母都為關(guān)于 x 的一次式的形式且各個(gè)式子的常數(shù)項(xiàng)分別為 2,4,8,16,… ,這樣 fn(x)對(duì)應(yīng)的函數(shù)的分母的常數(shù)為 2n,x的系數(shù)比常數(shù)少 1 即為 2n1,因此 fn(x)=f(fn1(x))=. (2)由題中等式可知第 i個(gè)等式左邊為 1到 i+1的立方和 ,右邊為 1+2+… +(i+1)的平方 ,所以第五個(gè)等式為 13+23+33+43+53+63=212. 【答案】 (1) (2)13+23+33+43+53+63=212 下列是用類比法進(jìn)行猜測(cè)的幾個(gè)結(jié)論 : ① 由 “a=b?ac=bc”類比得到 “ab?acbc”。 ② 由 “a(b+c)=ab+ac”類比得到 “sin(A+B)=sin A+sin B”。 ③ 由 “=(a0,b0,c0)”類比得到 “=(a0,b0,c0)”。 ④ 由 “分?jǐn)?shù)的分子、分母同乘一個(gè)非零的數(shù) ,分?jǐn)?shù)值不變 ”類比得到 “分?jǐn)?shù)的分子、分母同乘一個(gè)非零的式子 ,分?jǐn)?shù)值不變 ”. 其中 ,正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為 ( ). 【解析】 當(dāng) c≤0時(shí) ,① 類比的結(jié)論不正確 。② 類比的結(jié)論是學(xué)生剛學(xué)習(xí)三角時(shí)經(jīng)常出現(xiàn)的錯(cuò)誤 。③ 類比的結(jié)論也是學(xué)生在學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)時(shí)常犯的錯(cuò)誤 ,即類比推理的結(jié)論不一定正確 。④ 類比的結(jié)論是正確的 . 【答案】 B 在平面上 ,若兩個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)之比為 1∶ 2,則它們的面積比為 1∶ 4,類似地 ,在空間中 ,若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)的比為 1∶ 2,求它們的體積之比 . 【解析】 由類比推理得 ,若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)的比為 1∶ 2,則它們的體積比為 1∶ 8. 下面計(jì)算驗(yàn)證 , 假設(shè)兩個(gè)正四面
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