【文章內(nèi)容簡介】 定義于某一維區(qū)域中，且有關(guān)于一切變元的連續(xù)偏導數(shù)，并且它們的反函數(shù)存在，且有關(guān)于一切變元的連續(xù)偏導數(shù)。則有。第十七章含參變量的積分設函數(shù)在矩形上連續(xù)。定義含參積分。我們稱由含參積分表達的函數(shù)為含參積分。這種形式的函數(shù)在理論上和應用上都有重要作用，有很多很有用的特殊函數(shù)就是這種形式的函數(shù)。下面討論這種由積分所確定的函數(shù)的連續(xù)性，可微性與可積性。定理1若函數(shù)在矩形上連續(xù),：在定理的條件下，有，即極限運算可以通過積分號。例：求。定理2若函數(shù)及其偏導數(shù)都在矩形上連續(xù),則，也就是微分運算可以通過積分號。例：當時，能否利用定理2計算的導數(shù)？定理3若函數(shù)及其偏導數(shù)在矩形域上連續(xù),函數(shù)和在上連續(xù)，并且，則函數(shù)在上連續(xù)。例：求。定理4設函數(shù)函數(shù)及其偏導數(shù)在矩形域上連續(xù)，函數(shù)和在上存在，并且，則。例：設，求。定理5若函數(shù)在矩形上連續(xù)，則.注：在定理的條件下，累次積分可交換求積分的次序。例：求。例：研究函數(shù)的連續(xù)性，其中是上連續(xù)且為正的函數(shù)。解：令，則在連續(xù)，其中。從而在連續(xù)。當時，當時，記，則若存在，則故在不連續(xù)?；蛴枚ǚe分中值定理，當時，使若存在，則,故在不連續(xù)。問題1上面最后一個式子能否寫為。事實上，是依賴于的，極限的存在性還難以確定。例：設在連續(xù)，求證:（其中）滿足微分方程。證：令，則，它們都在上連續(xù)，則例：設為連續(xù)函數(shù)，,求。解：令，則第一項中令，第二項中令，則。第十八章含參變量的廣義積分一、一致收斂的定義定義1設函數(shù)定義在上，稱含參變量的無窮積分。定義2設函數(shù)定義在上，若,當時,對一切，成立或。就稱含參無窮積分關(guān)于一致收斂。定義3設對于上的每一值，以為奇點的積分存在。若,當時，對一切，成立或，就稱含參無窮積分關(guān)于一致收斂。二、一致收斂積分的判別法以下假定積分收斂。定理1（魏爾斯特拉斯判別法）設有函數(shù)，使得如果積分收斂，那么關(guān)于一致收斂。例：證明含參無窮積分在內(nèi)一致收斂。三、一致收斂積分的性質(zhì)定理2設函數(shù)在上連續(xù)，關(guān)于一致收斂，那么是上的連續(xù)函數(shù)。注：在定理的條件下，有，即極限運算可以通過積分號。，關(guān)于一致收斂，那么。注：在定理的條件下，累次積分可交換求積分的次序。例：計算積分。設函數(shù)，在上連續(xù)，存在，關(guān)于一致收斂。那么，也就是微分運算可以通過積分號。例：計算積分。例：證明含參量非正常積分在上一致收斂，其中。但在區(qū)間內(nèi)非一致收斂。定理5積分在上一致收斂對任一數(shù)列,↗,函數(shù)項級數(shù)在上一致收斂。四、歐拉（Euler）積分介紹用含參廣義積分表達的兩個特殊函數(shù),它們是很有用的兩個特殊函數(shù)（1）Beta函數(shù)及其連續(xù)性：稱(含有兩個參數(shù)的)含參積分為Beta函數(shù)。當和中至少有一個小于1時,該積分為瑕積分。下證對,該積分收斂。由于時點和均為瑕點，故把積分分成和考慮。:時為正常積分。當時,點為瑕點。由被積函數(shù)非負,和,（由Cauchy判法)積分收斂.（易見時積分發(fā)散).:時為正常積分。當時,和,（由Cauchy判法)積分收斂.（易見時積分發(fā)散).綜上,于是,記為,即=不難驗證,因此,函數(shù)是D內(nèi)的二元連續(xù)函數(shù).（2）函數(shù)的對稱性:.由于函數(shù)的兩個變元是對稱的,因此,．Gamma函數(shù)（1）Gamma函數(shù)考慮無窮限含參積分,當時,來討論其斂散性.:,.利用非負函數(shù)積的Cauchy判別法,注意到當時積分收斂.(易見當時,仍用Cauchy判別法判得積分發(fā)散).因此,時積分收斂.:對R成立,.,稱該函數(shù)為Gamma函數(shù),記為,即=,.函數(shù)是一個很有用的特殊函數(shù).（2）函數(shù)的連續(xù)性和可導性::若含參廣義積分在內(nèi)收斂,但在點發(fā)散,對積分,有,，—判法,它們都一致收斂,:的連續(xù)性::在區(qū)間內(nèi)可導,且.同理可得:在區(qū)間內(nèi)任意階可導,且.（3）的遞推公式，函數(shù)表的遞推公式:.證..于是,利用遞推公式得:，,…………，一般地有.可見,在上,易見對,我們很自然地把正整數(shù)的階乘延拓到了內(nèi)的所有實數(shù)上,于是,自然就有,可見在初等數(shù)學中規(guī)定：計算積分。第十九章積分（二重、三重積分，第一類曲線、曲面積分）的定義和性質(zhì)167。1二重積分、三重積分、第一類曲線積分、第一類曲面積分的概念、三重積分，第一類曲線積分、第一類曲面積分都可看成已知物體的密度，求物體的質(zhì)量。但要看物體的幾何形狀。定義1設為一塊幾何形體，這個幾何形體是可以度量的，在這個幾何形體上定義了一個函數(shù)。將這幾何形體分為若干可以度量的小塊，…。既然每一小塊都可度量，故它們皆有度量大小可言，把他們的度量大小仍記為。并令，在每一塊中任取一點，做下列和式：如果這個和式不論對于的怎樣分劃以及在上如何取法，只要當時恒有同一極限，則稱此極限為在幾何形體上的黎曼積分，記為：.也就是，這個極限是與分法和取法無關(guān)的。敘述：如果對任意及一定數(shù)，總存在一個數(shù)，對于任意的分法，只要時，不管點在上如何選取，恒有，則稱為在上的黎曼積分，記為：，這時，也稱在上可積。根據(jù)幾何形體的不同形態(tài)，進一步給出上積分的具體表示式及名稱。（1）如果幾何體是一塊可求面積的平面圖形，那么上的積分就稱為二重積分，在直角坐標下記為。（2）如果幾何體是一塊可求體積的空間幾何體，那么上的積分就稱為三重積分，在直角坐標下記為。（3）如果幾何體是一塊可求長的空間曲線段，那么上的積分稱為第一類曲線積分，在直角坐標下記為。（4）如果幾何體是一塊可求面積的曲面片，那么上的積分稱為第一類曲面積分，在直角坐標下記為。3．性質(zhì)（1）。（2）若在上可積，則在上有界。167。2積分的性質(zhì)性質(zhì)1若函數(shù)在上可積，為常數(shù)，則在上也可積，且。即常數(shù)因子可從積分號里提出（注意與不定積分的不同）。性質(zhì)2若函數(shù)、都在上可積，則在上也可積，且有。性質(zhì)3若函數(shù)在上可積，且，則在和上都可積，且。反之，若在和上都可積，則在上可積，且上述等式成立。性質(zhì)4若函數(shù)和都在上可積，且在上成立，則。性質(zhì)5若函數(shù)在上可積，則在上可積，且。注：若在上可積，不能推出在上可積。例：在上不可積，但可積。性質(zhì)6（積分第一中值定理）若函數(shù)在上可積，則存在常數(shù)，使得。推論若函數(shù)在上連續(xù)，則在上至少存在一點，使。例：若函數(shù)在上連續(xù)，但不恒等于0，則。第二十章重積分167。1二重積分的計算一化二重積分為二次計分簡單地說，形如的積分稱為一個先后的二次積分。確切地說，設函數(shù)在上有定義，如果任意確定，則是自變量為的一元函數(shù)，設，有意義，其值是的函數(shù)，記為，又得體積為同樣，可以先后的二次積分：=在此例中，先后的二次積分等于先后的二次積分，即兩個二次積分相等，這個現(xiàn)象包含在下面的定理中。3．一般性化二重積分為二次積分在平面區(qū)域中，有兩類特殊的區(qū)域是最具代表性的。所示區(qū)域用集合可表示為：型區(qū)域其特點是，則直線至多與區(qū)域的邊界交于兩點；所示區(qū)域用集合可表示為：型區(qū)域其特點是，則直線至多與區(qū)域的邊界交于兩點。為什么說這兩類區(qū)域常用到（最具代表性），因為許多常見的區(qū)域都可分割為有限個無分類點的型區(qū)域和型區(qū)域。因而，解決了型區(qū)域和型區(qū)域上二重積分的計算方法后，一般區(qū)域上的二重積分的計算問題也就得到解決。如何計算型區(qū)域和型區(qū)域上的二重積分呢？最基本的想法還是化二重積分為二次積分（累次積分）。問題是化為什么樣的二次積分呢？有下面的結(jié)果：定理1設，則=。例：化二重積分為二次積分，其中是由直線，拋物線所圍的平面區(qū)域。例：求由和，所圍空間區(qū)域的體積V。例：求二次積分注意：最外層積分的積分限一定是常數(shù)。二用極坐標計算二重積分也有一種情形，函數(shù)f在上可積，但無論采用哪種積分次序都“算不出來”。例：，=在定積分中，換元積分法對簡化定積分計算起著重要的作用。對于二重積分也有相應的換元公式，用于簡化積分區(qū)域或被積函數(shù)。作極坐標變換：。在變換下，函數(shù)，區(qū)域。二重積分化為。說明：①注意，雖經(jīng)極坐標交換，但又變成極坐標系下二重積分，這是如何計算極坐標系下二重積分，在極坐標下，二重積分一樣可以化為二次積分來計算，下面分情況討論之：情形1若=，為[，]上的連續(xù)函數(shù)，則稱之為型區(qū)域。這時，可將之化為下面形式：=情形2若=，其中，C[，]（型區(qū)域），此時有=情形3若極點O是積分區(qū)域的內(nèi)點，則交換后的區(qū)域為：=此處=是的邊界曲線，=情形4若積分區(qū)域的邊界曲線=通過極點O時，應先求出極徑，繼使=0的兩個角度，此時有：=。②何時使用極坐標變換？當積分區(qū)域是圓域或是圓域的部分或被積函數(shù)的形式為時，采用極坐標交換來計算往往簡便得多。例：，=。例：求。三二重積分的一般變量替換計算二重積分，除了引用上面講的極坐標這一特殊交換外,有時還要取一般的變量替換。定理2設是平面的閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)，又設，（*）。在上有關(guān)于和的連續(xù)偏導數(shù)，通過（*）把變?yōu)?，并且變換（*）是一對一的，又設，則=。注：（1）在定理中，假設，但有時會遇到這種情形。變換行列式在區(qū)域內(nèi)個別點上等于0?；蛑辉谝恍^(qū)域上等于0而在其他點上非0，此時上述結(jié)論能成立。（2）特例：，此時=，根據(jù)①，有=。（3）在具體問題中，選擇變換公式的依據(jù)有兩條：（i）使交換的函數(shù)容易積分；（ii）使得積分限容易安排。例：求橢球體的體積。例:求出由拋物線，以及雙曲線，所圍區(qū)域的面積。167。2三重積分的計算一化三重積分為三次積分設是中的（閉）長方體，是定義在上的有界函數(shù)。那么在上的三重積分可以化為先對，后對的積分：=，或的積分=。等等（共6種），并且此時（連續(xù)時），各個三次積分的值與積分次序無關(guān)，他們都相等。（化為逐次積分）●設，則有=，如果，則=。●設，==。（舉例）例：，：有平面所圍成區(qū)域。例：，：錐面，平面所圍（）成區(qū)域。例：，：的內(nèi)部區(qū)域。二三重積分的變量替換設作變量替換：,且滿足下列條件：（1）建立了之間的一一對應；（2）在內(nèi)有關(guān)于的連續(xù)偏導數(shù)，并且其變換：在內(nèi)有關(guān)于的連續(xù)偏導數(shù)；（3）Jacohi行列式在內(nèi)無零點，則=注：和二重積分類似，當J點在內(nèi)個別點上為零時，上述公式仍成立。最常用的坐標變換令，則三重積分的柱坐標換元公式為=。注：柱坐標變換適用于型被積函數(shù)或積分區(qū)域。注：用柱坐標計算三重積分，通常是找出在平面上的投影區(qū)域，那當時，=先對積分，再計算上的三重積分，其中二重積分能用極坐標來計算（極坐標系下的二重積分）。例：，D由上半球面和拋物面所圍的區(qū)域。2．球面坐標變換球面坐標：設空間一點在平面上的投影為，是有向線段與軸的正向之間的交角（），是兩平面與的交角（），則叫做點M的球面坐標。在球面坐標中，