【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 摘 要討論一元、二元函數(shù)連續(xù)性的對(duì)比，首先我們要討論一元函數(shù)與二元函數(shù)的連續(xù)性的聯(lián)系，從函數(shù)連續(xù)性的定義和一些性質(zhì)中找出與一元函數(shù)與二元函數(shù)連續(xù)性的關(guān)系，再?gòu)暮瘮?shù)連續(xù)性與極限、導(dǎo)數(shù)、微分的聯(lián)系來分析一元函數(shù)與二元函數(shù)連續(xù)性的不同。如同極限一樣，二元函數(shù)的連續(xù)性問題要比一元函數(shù)要求更高，處理起來也更復(fù)雜，但是，一切從基本概念出發(fā)，熟知連續(xù)性的定義和定理，參考一元函數(shù)連續(xù)性問題的解決方法，二元函數(shù)連續(xù)性問題就不難解決。關(guān)鍵詞：函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性 函數(shù)的左、右連續(xù) 間斷點(diǎn) 導(dǎo)數(shù) 極限 偏導(dǎo)數(shù) 積分以下為正文部分：小標(biāo)題四號(hào)宋體字，其余均為小四號(hào)宋體字。撰寫時(shí)請(qǐng)刪除！一、函數(shù)的連續(xù)性 函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性（一）函數(shù)在x。連續(xù)，滿足三個(gè)條件：（1）函數(shù)?(x)在x。點(diǎn)點(diǎn)某領(lǐng)域U(x。，δ)內(nèi)有定義（2）lim?(x)存在△x→x。（3）lim?(x)=?(x。)△x→x。用增量形式表示連續(xù)性：lim[?(x。+△x)?(x。)]=lim△y=0 △x→0 △x→0定義：設(shè)?(x)在x。及其領(lǐng)域內(nèi)有定義，如果對(duì)于任意的ε﹥0，都有δ=δ（x。，ε）﹥0，使當(dāng)|xx。|﹤δ時(shí)，有|?(x)?(x。)|﹤ε成立，即lim?(x)= ?(x。)，則稱函數(shù)?(x)在x=x。(或點(diǎn)x。)處連續(xù)。x→x。?(x)在點(diǎn)x。出處有定義，且?(x)在分界點(diǎn)x。的極限lim?(x)存在 x→x。lim?(x)=(x。)x→x。所有初等函數(shù)在它的定義域內(nèi)都連續(xù)一個(gè)連續(xù)而另一個(gè)不連續(xù)的函數(shù)，其和、差一定不連續(xù)，但其積不然例1． 例 設(shè)函數(shù)?(x)在（a,b）內(nèi)每一點(diǎn)處的左、右極限都存在，又x,y∈（a,b）,有?(x+y2)≤[?(x)+ ?(y)](1)21證明 ?在（a,b）內(nèi)連續(xù)分析 若想證明?(x)在（a,b）內(nèi)連續(xù)，由題設(shè)即證 x。∈（a,b），lim?(x)= lim?(x)= ?(x。)(2)x→x。x→x+。即可，在式（1）中先令某一變量為x。（這是想當(dāng)然的，因?yàn)槎ㄒ疾?在x。處的情況，不妨設(shè)x=x。），則得?(x。+y2)≤[?(x。)+ ?(y)](3)21如果y在x0的左側(cè)，即yy﹤即y與x。+y2x。+y2x。+y2﹤x。x。+y2均在x。的左側(cè)。如此，y →x。時(shí)，→x。亦成立。在式（3）中自然要想到令y →x。，則得lim?()≤[?(x。)+ lim?(y)](4)y →x。y →x。令A(yù)= lim?(y)y →x。則lim?（x。+y2）=A y →x。則式（4）表明A≤?(x。)（5）同樣，若在式（3）中令y →x+。，則當(dāng)記B=lim?(y)時(shí)，便有不等式 y →x。B≤12?(x。)+21在式（1）中如果想辦法令2x+yB222。B≤?(x。)（6）=x。，這樣x。便成為x與y中間的點(diǎn)了，在式（1）中令x174。x。、y174。y。，便會(huì)得到另一個(gè)不等式，為此，不妨令x=x。h,y=y。+h,h（1）成為?(x。)≤[?(x。h)+ ?(x。+h)]（7）21令h174。（7）成為?(x。)≤聯(lián)立式（5）、(6)、(8)便得A=B= ?(x。)問題獲證。（二）、函數(shù)在一點(diǎn)的左（右）連續(xù)函數(shù)?(x)在點(diǎn)x。左連續(xù), 滿足三個(gè)條件:12+?(A+B)(8)（1）函數(shù)?(x)在x。點(diǎn)點(diǎn)某領(lǐng)域Uˉ(x。，δ)=（x。δ,x。）內(nèi)有定義（2）lim?(x)存在△x→x。（3）lim?(x)=?(x。)△x→x。用增量形式表示左連續(xù)性：lim[?(x。+△x)?(x。)]=lim△y=0 △x→0△x→0函數(shù)?(x)在點(diǎn)x。右連續(xù), 滿足三個(gè)條件:（1）函數(shù)?(x)在x。點(diǎn)點(diǎn)某領(lǐng)域U+(x。+δ，x。)有定義（2）lim?(x)存在△x→x+。（3）lim?(x)=?(x。)△x→x+。用增量形式表示連續(xù)性：lim[?(x。+△x)?(x。)]=lim△y=0 △x→0+ △x→0+ 分段函數(shù)是刻畫左右連續(xù)的最好例證 例2 設(shè)236。sin2x,239。239。xf(x)=237。2239。3x2x+k,239。238。limx0，x179。0,問k為何值時(shí)，?(x)在其定義域內(nèi)事連續(xù)的？ 解：當(dāng)x。185。0時(shí)，x174。x。?(x)= ?(x。)，所以，在x185。0處，?(x)是連續(xù)的。當(dāng)x=0時(shí)，由于?(0)=k；且limlim ?(x)= x174。0x174。0limx174。0+f(x)=limx174。0+(3xsin2xx2=2。2x+k)=k，所以，令k=2, 則?(x)在x=0處連續(xù)。（三）、間斷點(diǎn)及其分類函數(shù)?(x)在x。間斷，必出現(xiàn)如下三種情形之一；（1）?(x)在x。點(diǎn)無定義（2）lim?(x)不存在 x→x。（3）?(x)在x。點(diǎn)有定義，且lim?(x)存在，但lim?(x)≠?(x。)x→x。x→x。間斷點(diǎn)分兩類（1）第一類間斷點(diǎn)。函數(shù)在該點(diǎn)處的左、右極限都存在 ①可去間斷點(diǎn)，lim?(x)存在，但?(x)在x。點(diǎn)間斷 x→x。②跳躍間斷點(diǎn)，?(x)在x。點(diǎn)的左右側(cè)極限存在，但lim?(x)≠lim?(x)x→x+。x→x。(2)第二類間斷點(diǎn)；函數(shù)?在點(diǎn)x。的左右極限至少有一個(gè)不存在 ①振動(dòng)間斷點(diǎn)，如y=sin(x=0)②無窮間斷點(diǎn)，如?(x)=xsinx1x（x/sinx）(x=np)下面我們看一下關(guān)于這些的例題236。239。0,239。f(x)=237。3x+1,239。2x+3,239。238。x0,0163。x163。2, x179。2,例3 設(shè)函數(shù)求?(x)的間斷點(diǎn)和連續(xù)區(qū)間。解：該分段函數(shù)在區(qū)間（∞，0），（0，2）,(2,+∞)內(nèi)分別都是多項(xiàng)式函數(shù)，因此，如果該函數(shù)有間斷點(diǎn)，其間斷點(diǎn)只可能是分段點(diǎn)x=0,x=(0)=1, ?(2)=7, 且lim?(x)=lim 0=0, lim?(x)=lim(3x+1)=1, x→0x→0x→0+ x→0+ lim?(x)=lim(3x+1)=7, lim?(x)=lim(x+3)=7 x→2x→2x→2+ x→2+ 所以，x= 0是?(x)的跳躍間斷點(diǎn)，x=2是?(x)的連續(xù)點(diǎn)，其連續(xù)區(qū)間是（∞，0）和(0,+∞)例4 求函數(shù)?(x)=sinxsin1x2的簡(jiǎn)斷點(diǎn)，并說明這些間斷點(diǎn)是哪類間斷點(diǎn)。若是可去間斷點(diǎn)，則補(bǔ)充定義，使函數(shù)連續(xù)。解：因?yàn)?(x)在x=0處沒有定義，所以x=0是?(x)的間斷點(diǎn)。因?yàn)閘im sinxsin x→0 所以x=0是?(x)的可去間斷點(diǎn)，補(bǔ)充定義?(0)=0，即令 ?1236。239。sinxsin,(x)=237。x239。238。0,x185。0,x=0,1x=0則?(x)在x=0處連續(xù)。數(shù)學(xué)分析名師導(dǎo)學(xué)（上冊(cè)）《大學(xué)數(shù)學(xué)名師導(dǎo)學(xué)叢書》編寫組 編 本冊(cè)編寫 楊萬利 中國(guó)水利水電出版社 2005 P102～105(x)在x。處連續(xù)的充分必要條件為?(x)即為左連續(xù)，又為右連續(xù) 定義6.（函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)）函數(shù)?(x)在[a,b]上連續(xù)是指：對(duì)任意x。206。(a,b), ?(x)在x。處連續(xù)，且?(x)在 a處右連續(xù)，在b處左連續(xù)。(x)，g(x)在x。處連續(xù)且?(x。)g(x。)，則在x。的領(lǐng)域U，使?(x)﹥g(x)，x206。U 、差、積、商（分母不為0）仍然連續(xù)sinx例5 證明?(x)=｛x,x0x163。0 在x=0處連續(xù)。cosx,證 首先，?(0)=cos0=0時(shí)，?(x)= sinxx174。1(x174。0)+5又當(dāng)x﹤0時(shí)，x2163。x2174。0(x174。0)︳?(x)1︳=︳cosx1︳=2sin故知lim?(x)=1 x→x。222從而，?(x)既為左連續(xù)又為右連續(xù)，即?(x)在0處連續(xù)。數(shù)學(xué)分析 龔懷云主編 劉躍武 陳紅斌 向淑晃 西安交通大學(xué)出版社 2000 P52～53 二、二元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)連續(xù)的定義：若f(M)在M。有定義，lim?(M)存在，且二者相等，即M→M。limf(M)=f(M。)M→M。時(shí)，則稱f(M)在點(diǎn)M。連續(xù)。二元函數(shù)f(M)在點(diǎn)M。連續(xù)的“εδ”定義可敘述為： 任意的ε0，存在δ0時(shí)，r(M,M。)limx174。ay174。bf(x,y)=f(a,b)則稱二元函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P(a,b)連續(xù)。二元函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P(a,b)連續(xù)的“εδ”定義可敘述為：limx174。ay174。bf(x,y)=f(a,b)當(dāng)且僅當(dāng)任意的ε0，存在δ0時(shí)，使得任意的（x,y)∈D:|xa||f(x,y)f(a,b)|（二）、若點(diǎn)集點(diǎn)集D的任意點(diǎn)都是D的聚點(diǎn)，并且 二元函數(shù)f(x,y)在任意一點(diǎn)一點(diǎn)P