高中數(shù)學1-4數(shù)列在日常經(jīng)濟生活中的應用同步導學案北師大版必修5(編輯修改稿)
2024-12-25 20:39 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ，資金缺口為 255155=100（萬元） .設每次向銀行還款 x萬元，則貸款 100萬元，五年一共還清本金和利息共計 100（ 1+9%） 5萬元 .第一次還款到第五年年底的本利和為 x(1+9%)4萬元；第二次還款到第五年年底的本利和為 x(1+9%)3萬元；第三次還款到第五年年底的本利和為 x(1+9%)2 萬元；第四次還款到第五年年底的本利和 為x(1+9%)萬元；第五次還款（無利息）為 x萬元 .由題意得 x+x(1+9%)+x(1+9%)2+x(1+9%)3+ x(1+9%)4=100 (1+9%) )( 5??x =100 ,所以 x≈ 元 . 探索延拓創(chuàng)新 命題方向 數(shù)列在日常生活中其他方面的應用 ［例 4］ 甲、乙兩人連續(xù) 6年對某農(nóng)村養(yǎng)雞業(yè)的規(guī)模進行調(diào)查，提供了兩條不同信息，如圖所示 . 甲調(diào)查表明：由第 1年每個養(yǎng)雞場出產(chǎn) 1萬只雞上升到第 6年平均每個養(yǎng)雞場出產(chǎn) 2萬只雞 . 乙調(diào)查表明：由第 1年 30個養(yǎng)雞場減少到第 6年 10個養(yǎng)雞場 .請您根據(jù)提供的信息回答： （ 1）第 2年養(yǎng)雞場的個數(shù)及全村出產(chǎn)雞的總只數(shù)； （ 2）到第 6年這個村養(yǎng)雞業(yè)的規(guī)模比第 1年擴大了還是縮小了？請說明理由 . （ 3）哪一年的規(guī)模最大？請說明理由 . ［分析］ 審清題意，弄清圖甲表示每個養(yǎng)雞場平均出產(chǎn)雞的只數(shù)（單位：萬只），圖乙表示該村所擁有的養(yǎng)雞場的個數(shù)（單位：個） . ［解析］ （ 1）由圖可知：第 2年養(yǎng)雞場的個數(shù)是 26個，每個養(yǎng)雞場平均出產(chǎn) ，那么全村出產(chǎn)雞的總只數(shù)是 S2=26 =(萬只 ). (2)第 1 年總共出產(chǎn)雞的只數(shù)是 S1=30 1=30(萬只 )；第 6 年總共出產(chǎn)雞的只數(shù)是 S6=210=20(萬只 )，由此得出 S6S1,這說明規(guī)?？s小了 . (3)由圖可知：每年平均每個養(yǎng)雞場出產(chǎn)的雞的只數(shù)所滿足的數(shù)列為 an=1+(n1)=+(1≤ n≤ 6).每年的養(yǎng)雞場的個數(shù)所滿足的數(shù)列為 bn=304(n1)=4n+34(1≤ n≤ 6). 第 n年出產(chǎn)的雞的只數(shù)滿足的數(shù)列為 Sn=anbn =52 (2n2+9n+68)= 54（ n49） +4125 (1≤ n≤ 6). 因為 n∈ N+,故當 n=2時， Sn最大，即第 2年規(guī)模最大 . ［說明］ 依此圖像建立等差數(shù)列模型，問題就能得到解決 .每年的總出產(chǎn)量則要與二次函數(shù)聯(lián)系， n為正整數(shù)不能忽略，利用數(shù)列與函數(shù)的關系解決，是本類問題的特色 . 名師辨誤做答 ［例 5］ 某工廠去年的產(chǎn)值為 138 萬元，預計今后五年的每年比上一年產(chǎn)值增長 10%，從今年起計算，第 5年這個工廠的產(chǎn)值是多少元？（精確到 萬元） ［誤解］ 依題意，該工廠每年的產(chǎn)值組成一個等比數(shù)列 {an}. 其中 a1=138,q=1+10%=,n=5. ∴ a5=a1q4=138 ≈ 202(萬元 ). ［辨析］ 138 萬元是去年的產(chǎn)值，從今年算起，則 a1=138 ，由于首項弄錯而造成錯誤 . ［正解］ 依題意，該工廠每年的產(chǎn)值組成一個等比數(shù)列 {an}.其中 a1=138 , ∴ a5=a1q4=138 =138 ≈ 222(萬元 ). 課堂鞏固訓練 一、選擇題 .“直接推算 法”使用的公式是 pn=p0(1+k) n(k1)，其中pn為預測期人口數(shù)， p0為初期人口數(shù)， k為預測期內(nèi)年增長率， n為預測期間隔年數(shù) .如果在某一時期有 1k0，那么在這期間人口數(shù)（ ） ［答案］ B ［解析］ ∵ 1k0， ∴ 0k+11， pn0, 又∵nnpp 1? = 100 )1( )1( ??? nnkp kp =1+k1， ∴ pn+1pn. 即數(shù)列 {pn}為遞減數(shù)列 . ，他讓一彈性球從 100m 高處自由落下，每次著地后又跳回到原來高度的一半再落下，則第 10次著地時所經(jīng)過的路程和為（ ） ［答案］ B ［解析］ 由題意知，彈球第 1 次著地時經(jīng)過的路程是 100m，從這時到彈球第 2次著地時 共經(jīng)過了 2210m，從這時到彈球第 3次著地時共經(jīng)過 22210m,?? ,到第 10次時應為 29210m. ∴ S10=100+2210+22210+? +29210＝ 100+100（ 1+21 +? +821）＝ 100+211 2111009??? ）（ ≈ 100+＝ （ m） . p%， q%，則這兩年的平 均增長率是（ ） A. 2 ％％ qp ? % q% C. %)% )(1(1 qp ?? D. 1%)% )(1(1 ??? qp ［答案］ D ［解析］ 設該工廠最初的產(chǎn)值為 1，經(jīng)過兩年的平均增長率為 r，則 (1+p%)(1+q%)=(1+r) 2. 于是 r= %)1% )(1( qp ?? 1. 二、填空題 2020 年的月產(chǎn)值按等差數(shù)列增長，第一季度總產(chǎn)值為 20 萬元，上半年總產(chǎn)值為60萬元，則 2020年全年總產(chǎn)值為 元 . ［答案］ 200 3a1+ 2 )13(3 ?? d=20 ［解析］ 由題意，得 ， 6a1+ 2 )16(6 ?? d=60 a1= 940 解得 . d= 920 所以 S12=12 940 + 2 )112(12 ?? 920 =200. 5.(2020湖北理， 13)《九章算術》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根 9 節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面 4節(jié)的容積共 3升，下面 3節(jié)的容積共 4升，則第 5節(jié)的容積為 升 . ［答案］ 6667 ［解析］ 本題考查等差數(shù)列通項公式、前 n項和公式的基本運算 . 設此等差數(shù)列為 {an}，公
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