高中數(shù)學(xué)422-423圓與圓的位置關(guān)系直線(xiàn)與圓的方程的應(yīng)用課件新人教a版必修2(編輯修改稿)
2024-12-24 08:10 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 1 ： x2＋ y2＋ 2 x － 6 y ＋ 1 ＝ 0 ，與圓 C 2 ： x2＋ y2 － 4 x ＋ 2 y － 11 ＝ 0 相交于 A ， B 兩點(diǎn)，求 AB 所在的直線(xiàn)方程和公共弦 AB 的長(zhǎng)． 解： 由圓 C 1 的方程減去圓 C 2 的方程，整理，得方程3 x － 4 y ＋ 6 ＝ 0 ，又由于方程 3 x － 4 y ＋ 6 ＝ 0 是由兩圓相減得到的，即兩圓交點(diǎn)的坐標(biāo)一定是方程 3 x － 4 y＋ 6 ＝ 0 的解．因?yàn)閮牲c(diǎn)確定一條直線(xiàn)，故 3 x － 4 y ＋ 6＝ 0 是兩圓公共弦 AB 所在的直線(xiàn)方程． ∵ 圓 C1： x2＋ y2＋ 2 x － 6 y ＋ 1 ＝ 0 ， ∴ 圓心為 C1( － 1,3) ，半徑 r ＝ 3 ， ∴ 圓心 C1到直線(xiàn) AB 的距離 d ＝│ － 3 － 12 ＋ 6 │25＝95， ∴ │ AB │ ＝ 2 r2－ d2＝ 2 9 － ?95?2＝245. ∴ AB 所在的直線(xiàn)方程為 3 x － 4 y ＋ 6 ＝ 0 ，公共弦 AB 的長(zhǎng)為245. 直線(xiàn)與圓的方程的實(shí)際應(yīng)用 [ 例 3] 有一種大型商品， A 、 B 兩地均有出售且價(jià)格相同，某地居民從兩地之一購(gòu)得商品運(yùn)回來(lái)，每公里的運(yùn)費(fèi) A 地是 B 地的兩倍，若 A ， B 兩地相距 10 公里，顧客選擇 A地或 B 地購(gòu)買(mǎi)這種商品的運(yùn)費(fèi)和價(jià)格的總費(fèi)用較低，那么不同地點(diǎn)的居民應(yīng)如何選擇購(gòu)買(mǎi)此商品的地點(diǎn)？ [ 解 ] 以 AB 所在直線(xiàn)為 x 軸， 線(xiàn)段 AB 的垂直平分線(xiàn)為 y 軸，建立 直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè) A ( － 5 ,0) ，則 B (5,0) ．在坐標(biāo)平面內(nèi)任取一點(diǎn) P ( x ， y ) ，設(shè)從 A 運(yùn)貨到 P地的運(yùn)費(fèi)為 2 a 元 / k m ，則從 B 運(yùn)貨到 P 地運(yùn)費(fèi)為 a 元 / k m . 若 P 地居民選擇在 A 地購(gòu)買(mǎi)此商品， 則 2 a ? x ＋ 5 ?2＋ y2＜ a ? x － 5 ?2＋ y2， 整理得 ( x ＋253)2＋ y2＜ (203)2. 即點(diǎn) P 在圓 C ： ( x ＋253)2＋ y2＝ (203)2的內(nèi)部． 也就是說(shuō)，圓 C 內(nèi)的居民應(yīng)在 A 地購(gòu)物． 同理可推得圓 C 外的居民應(yīng)在 B 地購(gòu)物． 圓 C 上的居民可隨意選擇 A 、 B 兩地之一購(gòu)物． [ 類(lèi)題通法 ] 求直線(xiàn)與圓的方程的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的解題步驟． ( 1) 認(rèn)真審題，明確題意； ( 2) 建立平面直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點(diǎn)，用方程表示曲線(xiàn)，從而在實(shí)際問(wèn)題中建立直線(xiàn)與曲線(xiàn)的方程； ( 3) 利用直線(xiàn)與圓的方程的有關(guān)知識(shí)求解問(wèn)題； ( 4) 把代數(shù)結(jié)果還原為實(shí)際問(wèn)題的解． [ 活學(xué)活用 ] 3 ．某公園有 A 、 B 兩個(gè)景點(diǎn)，位于一條小路 ( 直道 ) 的同 側(cè)，分別距小路 2 k m 和 2 2 k m ，且 A 、 B 景點(diǎn)間相距 2 k m ，今欲在該小路上設(shè)一觀(guān)景點(diǎn)，使兩景點(diǎn)在同時(shí)進(jìn)入視線(xiàn)時(shí)有最佳觀(guān)賞和拍攝效果，則觀(guān)景點(diǎn)應(yīng)設(shè)在何處？ 解： 所選觀(guān)景點(diǎn)應(yīng)使對(duì)兩景點(diǎn)的視角最大．由平面幾何知識(shí)知，該點(diǎn)應(yīng)是過(guò) A 、 B 兩點(diǎn)的圓與小路所在的直線(xiàn)相切時(shí)的切點(diǎn)．以小路所在直線(xiàn)為 x 軸， B 點(diǎn)在 y 軸正半軸上建立平面直角坐標(biāo)系． 由題意，得 A ( 2 ， 2 ) ， B ( 0,2 2 ) ， 設(shè)圓的方程為 ( x － a )2＋ ( y － b )2＝ b2，由 A 、 B 兩點(diǎn)在圓上，得????? a ＝ 0 ，b ＝ 2或????? a ＝ 4 2 ，b ＝ 5 2 ，由實(shí)際意義知 a ＝ 0 ， b ＝ 2 ， ∴ 圓的方程為 x2＋ ( y － 2 )2＝ 2 ，切點(diǎn)為 ( 0,0) ， ∴ 觀(guān)景點(diǎn)應(yīng)設(shè)在 B 景點(diǎn)在小路的投影處 . 直線(xiàn)與圓的方程在平面幾何中的應(yīng)用 [ 例 4] 如圖所示，在圓 O 上任取 C 點(diǎn)為圓心，作圓 C 與 圓 O 的直徑 AB 相切于 D ，圓 C 與 圓 O 交于點(diǎn) E ， F ，且 EF 與 CD 相交于 H .求證： EF 平分CD . ∴ 圓 O ： x2＋ y2＝ r2， [ 證明 ] 以 AB 所在直線(xiàn)為 x 軸， O 為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系．如圖所示，設(shè) | AB |＝ 2 r ， D ( a, 0) ，則 | CD |＝ r 2 － a 2 ， ∴ C ( a ， r 2 － a 2 ) ， 圓 C ： ( x － a )2＋ ( y － r2－ a2)2＝ r2－ a2. 兩方程作差得直線(xiàn) EF 的方程為 2 ax ＋ 2 r2－ a2
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