北師大版高中數(shù)學(xué)選修1-211回歸分析(編輯修改稿)
2024-12-23 15:04 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 此時 x 與 y 之間有確定性的線性關(guān)系 。 如 圖 （ d） 所示 。 圖５—４ ( a)R2 = 0xy 圖 (a) x 圖5—4(b)R2 = xy 圖 (b) x 圖5—4(c)R = xy 圖 (c) x 圖5—4(d)R2 = 1xy 圖 (d) x 圖5—4(e)R2 = 0xy 圖 (e) x 從上述討論可以看出 ， 相關(guān)系數(shù) r 表示兩個隨機(jī)變量 x 與 y 之間線性相關(guān)的密切程度 。 ｜ r｜ 越大 ， 愈接近于 1， x 與 y 之間的線性相關(guān)也就愈密切 。 但必須指出 ， 相關(guān)系數(shù) r 只表示線性相關(guān)的密切程度 ， 當(dāng) r 很小 ， 甚至等于零時 ， 并不一定說明 x 與 y 之間就不存在其它關(guān)系 。 如 圖 515(e)所示 ， 雖然 r = 0， 但從散點(diǎn)分布看 ， x 與 y 之間存在著明顯的曲線關(guān)系 ， 只不過這種關(guān)系不是線性關(guān)系罷了 。 相關(guān)系數(shù)的絕對值究竟多大才能認(rèn)為兩個變量是相關(guān)的呢 ？或回歸方程才有意義呢 ？ → F檢驗(yàn)： 假設(shè)： H0： b = 0， F為： 殘回殘差平方和回歸平方和ffF//?（ 5—34） 可見 r 檢驗(yàn)與 F 檢驗(yàn)的作用是一致的 ， 只用一種即可 。 可查表得出 F??（ 1， m－ 2） ， 當(dāng)： F＞ 特別顯著； ＞ F＞ 時 ， 顯著； ＞ F＞ 時 ， 較顯著； F＞ 時 ， 不顯著 。 （ 1）先把數(shù)據(jù)在 Excel中成列輸入到電子表格中； （ 2）點(diǎn)擊下拉菜單的“ 工具 ”按鈕，鼠標(biāo)箭頭移動到“ 數(shù)據(jù)分析 ”項(xiàng)下，點(diǎn)擊左鍵，出現(xiàn)數(shù)據(jù)分析對話框，在對話框中選擇“ 回歸 ”，點(diǎn)擊“ 確定 ”按鈕，出現(xiàn)回歸對話框，按對話框中的提示，選擇對話框中的某些功能，即可得出與直線回歸有關(guān)的很多參數(shù)。 （ 3）利用計(jì)算出的參數(shù)，即可寫出回歸方程。 利用 Excel在計(jì)算機(jī)中進(jìn)行線性回歸的方法 2 曲線回歸 在實(shí)際問題中 ， 變量之間常常不是直線關(guān)系 。 這時 ， 通常是選配一條比較接近的曲線 ， 通過變量變換把非線性方程加以線性化 ， 然后對線性化的方程應(yīng)用最小乘法求解回歸方程 。 最小二乘法的一個前提條件是函數(shù) y = f（ x） 的具體形式為已知 ， 即要求首先確定 x 與 y 之間內(nèi)在關(guān)系的函數(shù)類型 。 函數(shù)的形式可能是各種各樣的 ， 具體形式的確定或假設(shè) ， 一般有下述兩個途徑：一是根據(jù)有關(guān)的物理知識 ， 確定兩個變量之間的函數(shù)類型；二是把觀測數(shù)據(jù)劃在坐標(biāo)紙上 ， 將散點(diǎn)圖與已知函數(shù)曲線對比 ， 選取最接近散點(diǎn)分布的曲線公式進(jìn)行試算 。 常見的一些非線性函數(shù)及其線性化方法如下 。 曲線回歸 xbay ??1（ 1）雙曲線， 型，見 圖 。 bvauxvyu ???? 則令 ,1,1（ 2） 指數(shù)曲線 ， ， 見 圖 。 型bxaey ?bvcuacxvyu ????? 則令 ,ln,ln （ 3） 指數(shù)曲線 ， ， 見 圖 。 型xbaey /?bvcuacxvyu ????? 則令 ,ln,/1,ln （ 4） 冪函數(shù)曲線 ， ， 見 圖 。 型baxy ?bvcuacxvyu ????? 則令 ,lg,lg,lg圖 (a) 雙曲線 ( a ) a 0, b 04 2 0 2 4 6 8 10 12 14xy圖 (b) 雙曲線 (b) a 0, b 0 xy圖 (a) 指數(shù)曲線 ( a ) b 005101520251 0 1 2xy圖 (b) 指數(shù)曲線 (b) b00246810121 0 1 2xy圖 (a) 指數(shù)曲線 ( a ) b0010203040506070800 1 2 3 4xy圖 (b) 指數(shù)曲線 ( b ) b0024681012141618200 1 2 3 4 5 6 7 8xy圖 (a) 冪函數(shù)曲線 ( a ) b0 xyb 10 b 1 b = 1 圖 (b) 冪函數(shù)曲線 (b) b0 xyb － 1 b=－ 1 － 1 b 0 （ 5） 對數(shù)曲線 ， ， 見 圖 。 型xbay lg??bvauxvyu ???? 則令 ,lg, （ 6） S曲線 ， ， 見 圖 。 型xbeay ??? 1bvauevyu x ???? ? 則令 ,1 （ 7 ） 對 數(shù) 拋 物 曲線 ， ， 見 圖 。 型2)( l n)( l nln xcxbay ???2,ln,ln cvbvauxvyu ????? 則令圖 (a) 對數(shù)曲線 ( a ) b010xy圖 (b) 對數(shù)曲線 (a) b020 xy圖 S曲線 06xy圖 (a) 對數(shù)拋物線 70xyb 0, c 0 50xy圖 (b) 對數(shù)拋物線 b 0, c 0 如上所述 ， 許多曲線都可以通過變換化為直線 ， 可以按直線擬合的辦法來處理 。 必須注意 ！ 所配曲線的回歸中 ， r、 S、 F 等的計(jì)算稍有不同 。u、 v 等僅僅是為了變量變換 ， 使曲線方程變?yōu)橹本€方程 ， 然而要求的是所配曲線與觀測數(shù)據(jù)擬合較好 ， 所以計(jì)算 r、 S、 F 等時 ，應(yīng)首先根據(jù)已建立的回歸方程 ， 用 xi 依次代入 ， 得到 yi 后再計(jì)算 殘差平方和 及總平方和 ， 于是： ???miii yy12)?( ???mii yy12)(21212)()?(1????????miimiiyyyyR （ 5—36） 2)?(12?????myySmiii （ 5—37） 殘回殘差平方和回歸平方和ffF//?（ 5—38） 下面舉例說明曲線回歸的一般計(jì)算方法 。 例 煉鋼廠出鋼用鋼包在使用過程中 ， 由于鋼液及爐渣對耐火材料的浸蝕 ， 其容積不斷增大 。 鋼包的容積 （ 用盛滿鋼水的重量 kg 表示 ） 與相應(yīng)的使用次數(shù)列于 表 54中 。 求： x、 y之間的關(guān)系式： 表 54 試驗(yàn)數(shù)據(jù) 使用次數(shù) x 2 3 4 5 7 8 10容積 y 1 0 6 . 4 2 1 0 8 . 2 0 1 0 9 . 5 8 1 0 9 . 5 0 1 1 0 . 0 0 1 0 9 . 9 3 1 1 0 . 4 9使用次數(shù) x 11 14 15 16 18 19容積 y 1 1 0 . 5 9 1 1 0 . 6 0 1 1 0 . 9 0 1 1 0 . 7 6 1 1 1 . 0 0 1 1 1 . 2 0 解： 首先按實(shí)測數(shù)據(jù)做散點(diǎn)圖 ， 如 圖 。
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